💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlik, Öklid Ve Pisagor Teoremleri, Üçgende Açı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlik, Öklid Ve Pisagor Teoremleri, Üçgende Açı Çözümlü Örnekler
Açıları arasında \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 50^\circ \) ve kenarları arasında \( |BC| = |EF| = 8 \) cm bağıntıları bulunmaktadır.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Verilen bilgiler şunlardır:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 70^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 50^\circ \)
- \( |BC| = |EF| = 8 \) cm
Öncelikle, bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için üçüncü açıyı bulalım:
- ABC üçgeninde \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- DEF üçgeninde \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
Şimdi elimizdeki bilgilere göre eşlik kurallarından hangisinin uygulandığını kontrol edelim:
- İki üçgenin de tüm açıları eşit: \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \), \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \)
- \( |BC| \) kenarı, ABC üçgeninde B ve C açıları arasında kalan kenar değildir. Benzer şekilde \( |EF| \) kenarı da DEF üçgeninde E ve F açıları arasında kalan kenar değildir.
- Ancak, Açı-Açı-Kenar (AAK) eşlik kuralına göre, iki üçgenin iki açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenar uzunlukları eşitse, bu iki üçgen eştir.
- Burada \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \), \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \) ve C açısının karşısındaki kenar \( |AB| \) veya B açısının karşısındaki kenar \( |AC| \) değildir. Verilen kenar \( |BC| \) ve bu kenarın karşısındaki açı A açısıdır.
- Yani, \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \) ve \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \) açılarının eşitliği ile birlikte, A açısının karşısındaki kenar \( |BC| \) ve D açısının karşısındaki kenar \( |EF| \) eşit verilmiştir.
- Dolayısıyla, AAK (Açı-Açı-Kenar) veya Açı-Kenar-Açı (AKA) kuralı da kullanılabilir. Burada, \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \), \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \) ve bu iki açının arasındaki kenarın eşitliği (AKA) kontrol edilmelidir. Ancak verilen kenar \( |BC| \) ve \( |EF| \) olduğu için bu kurala uymuyor.
- En uygun kural Açı-Açı-Açı (AAA) benzerliği ve bir kenar eşitliği veya Açı-Açı-Kenar (AAK) eşliğidir.
✅ Sonuç olarak, \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \) ve \( |BC| = |EF| \) olduğundan, bu iki üçgen eştir. Yani \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \).
A noktası tepe noktası olmak üzere, D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
Verilen bilgilere göre bir üçgen ve içinde paralel bir doğru parçası bulunmaktadır. Bu durum Temel Benzerlik Teoremi'ni (Thales Teoremi) akla getirir.
- \( DE \parallel BC \) olduğu için, \( \triangle ADE \) üçgeni ile \( \triangle ABC \) üçgeni benzerdir.
- Benzerlik oranı, kenarların oranları cinsinden ifade edilebilir.
Verilen uzunlukları yazalım:
- \( |AD| = 4 \) cm
- \( |DB| = 6 \) cm
- \( |AE| = 3 \) cm
- \( |EC| = x \) (Bunu bulmak istiyoruz.)
Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, paralel doğruların ayırdığı parçaların oranları eşittir:
\[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]Şimdi verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{4}{6} = \frac{3}{x} \]İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\[ 4 \cdot x = 6 \cdot 3 \] \[ 4x = 18 \]Her iki tarafı 4'e bölelim:
\[ x = \frac{18}{4} \] \[ x = \frac{9}{2} \] \[ x = 4.5 \] ✅ Yani, \( |EC| \) uzunluğu 4.5 cm'dir.Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
Bir dik üçgende kenarlar arasındaki ilişkiyi Pisagor Teoremi ile bulabiliriz.
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Dik kenarlar \( a \) ve \( b \), hipotenüs \( c \) olmak üzere:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]Verilen değerler:
- Bir dik kenar \( a = 6 \) cm
- Diğer dik kenar \( b = 8 \) cm
- Hipotenüs \( c \) (Bunu bulmak istiyoruz.)
Şimdi değerleri Pisagor Teoremi formülünde yerine yazalım:
\[ 6^2 + 8^2 = c^2 \]Kareleri alalım:
\[ 36 + 64 = c^2 \]Toplama işlemini yapalım:
\[ 100 = c^2 \]Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım:
\[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \] ✅ Dolayısıyla, bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.A köşesinden hipotenüs BC'ye bir AH yüksekliği çizilmiştir.
Eğer \( |BH| = 4 \) cm ve \( |HC| = 9 \) cm ise, AH yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz.
Bu problem, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulmak için Öklid Teoremleri'nden birini kullanmamızı gerektirir.
Öklid'in Yükseklik Teoremi'ne göre, dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Yükseklik \( h \), hipotenüs üzerindeki parçalar \( p \) ve \( k \) olmak üzere:
\[ h^2 = p \cdot k \]Verilen değerler:
- \( |BH| = p = 4 \) cm
- \( |HC| = k = 9 \) cm
- \( |AH| = h \) (Bunu bulmak istiyoruz.)
Şimdi değerleri Öklid Yükseklik Teoremi formülünde yerine yazalım:
\[ h^2 = 4 \cdot 9 \]Çarpma işlemini yapalım:
\[ h^2 = 36 \]Her iki tarafın karekökünü alarak \( h \) değerini bulalım:
\[ h = \sqrt{36} \] \[ h = 6 \] ✅ Dolayısıyla, AH yüksekliğinin uzunluğu 6 cm'dir.Bu üçgenin en büyük açısının ölçüsünü bulunuz.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak \( x \) değerini bulabiliriz.
Verilen açı ölçülerini toplayıp \( 180^\circ \)'ye eşitleyelim:
\[ m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \] \[ (2x+10) + (3x-20) + (x+30) = 180 \]Benzer terimleri bir araya getirelim:
\[ (2x + 3x + x) + (10 - 20 + 30) = 180 \] \[ 6x + 20 = 180 \]Şimdi denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
- Her iki taraftan 20 çıkaralım: \[ 6x = 180 - 20 \] \[ 6x = 160 \]
- Her iki tarafı 6'ya bölelim: \[ x = \frac{160}{6} \] \[ x = \frac{80}{3} \]
Şimdi bulduğumuz \( x \) değerini her bir açının ölçüsünde yerine koyarak açıları hesaplayalım:
- \( m(\widehat{A}) = 2x+10 = 2 \left( \frac{80}{3} \right) + 10 = \frac{160}{3} + \frac{30}{3} = \frac{190}{3} \approx 63.33^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = 3x-20 = 3 \left( \frac{80}{3} \right) - 20 = 80 - 20 = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = x+30 = \frac{80}{3} + 30 = \frac{80}{3} + \frac{90}{3} = \frac{170}{3} \approx 56.67^\circ \)
Açıları karşılaştıralım:
- \( m(\widehat{A}) \approx 63.33^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) \approx 56.67^\circ \)
Aynı anda, direkten belirli bir uzaklıkta duran bir çocuğun boyu 1.2 metre ve gölgesinin uzunluğu 0.9 metredir.
Çocuğun gölgesi ile direğin gölgesi aynı noktada birleştiğine göre, çocuk direkten kaç metre uzaklıkta durmaktadır? (Çocuğun ve direğin yere dik olduğunu varsayınız.)
Bu problemde, güneş ışınları paralel geldiği için direk ve çocuğun oluşturduğu üçgenler benzer üçgenler oluşturur.
Şekli zihnimizde canlandıralım:
- Sokak lambası direği (AB) ve gölgesi (BC) bir dik üçgen (ABC) oluşturur.
- Çocuk (DE) ve gölgesi (EC) de bir dik üçgen (DEC) oluşturur.
- Gölgenin aynı noktada birleşmesi, C noktasının hem direğin gölgesinin ucu hem de çocuğun gölgesinin ucu olduğu anlamına gelir.
- Bu durumda, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEC \) benzerdir (açı-açı benzerliği).
Verilen değerler:
- Direğin yüksekliği \( |AB| = 4 \) metre
- Direğin gölgesinin uzunluğu \( |BC| = 3 \) metre
- Çocuğun boyu \( |DE| = 1.2 \) metre
- Çocuğun gölgesinin uzunluğu \( |EC| = 0.9 \) metre
Çocuk ile direk arasındaki uzaklığa \( x \) diyelim. Bu durumda \( |BE| = x \).
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir:
\[ \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|EC|}{|BC|} \]Değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{1.2}{4} = \frac{0.9}{3} \]Bu oranlar zaten birbirine eşit mi bakalım:
\[ \frac{1.2}{4} = 0.3 \] \[ \frac{0.9}{3} = 0.3 \]Oranlar eşit, bu da benzerliği doğrular. Ancak bizden çocuğun direğe olan uzaklığı isteniyor. Bu durumda \( |BC| \) direğin toplam gölge uzunluğu, \( |EC| \) ise çocuğun gölge uzunluğudur.
Çocuğun direkten uzaklığı \( |BE| \) ise, bu uzaklık \( |BC| - |EC| \) olarak bulunur.
\[ |BE| = |BC| - |EC| \] \[ |BE| = 3 - 0.9 \] \[ |BE| = 2.1 \] ✅ Çocuk direkten 2.1 metre uzaklıkta durmaktadır.Merdivenin alt ucu, duvardan 6 metre uzaklıktadır.
Merdivenin üst ucu duvarda kaç metre yüksekliğe ulaşmaktadır? (Duvarın yer ile dik açı yaptığını varsayınız.)
Bu senaryo, merdiven, duvar ve zemin arasında bir dik üçgen oluşturur. Bu durumda Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz.
Şekli zihnimizde canlandıralım:
- Merdiven hipotenüsü oluşturur (\( c \)).
- Duvarın yerden merdivenin ulaştığı yüksekliği bir dik kenarı oluşturur (\( a \)).
- Merdivenin alt ucunun duvara olan uzaklığı diğer dik kenarı oluşturur (\( b \)).
Verilen değerler:
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) \( c = 10 \) metre
- Merdivenin alt ucunun duvara uzaklığı (bir dik kenar) \( b = 6 \) metre
- Merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik (diğer dik kenar) \( a \) (Bunu bulmak istiyoruz.)
Pisagor Teoremi formülü:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]Şimdi verilen değerleri yerine yazalım:
\[ a^2 + 6^2 = 10^2 \]Kareleri alalım:
\[ a^2 + 36 = 100 \]Denklemi \( a^2 \) için çözelim:
- Her iki taraftan 36 çıkaralım: \[ a^2 = 100 - 36 \] \[ a^2 = 64 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ a = \sqrt{64} \] \[ a = 8 \]
Haritanın ölçeği 1:200.000 olarak verilmiştir.
Bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklığın kaç kilometre olduğunu bulunuz.
Bu problem, benzerlik kavramının günlük hayattaki en yaygın uygulamalarından biri olan harita ölçeği kullanımını içerir.
Harita ölçeği 1:200.000 demek, haritadaki 1 birim uzunluğun gerçekte 200.000 birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
Verilen değerler:
- Haritadaki uzaklık = 5 cm
- Ölçek = 1:200.000
Gerçek uzaklığı bulmak için haritadaki uzaklığı ölçek faktörü ile çarpmamız gerekir.
Gerçek Uzaklık (cm cinsinden) = Haritadaki Uzaklık \( \times \) Ölçek Faktörü
\[ \text{Gerçek Uzaklık} = 5 \text{ cm} \times 200.000 \] \[ \text{Gerçek Uzaklık} = 1.000.000 \text{ cm} \]Şimdi bu değeri kilometreye çevirmemiz gerekiyor. Birimleri dönüştürelim:
- 1 metre = 100 cm
- 1 kilometre = 1000 metre
Önce santimetreyi metreye çevirelim:
\[ 1.000.000 \text{ cm} = \frac{1.000.000}{100} \text{ metre} = 10.000 \text{ metre} \]Şimdi metreyi kilometreye çevirelim:
\[ 10.000 \text{ metre} = \frac{10.000}{1000} \text{ kilometre} = 10 \text{ kilometre} \] ✅ Bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık 10 kilometredir.Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-ve-benzerlik-oklid-ve-pisagor-teoremleri-ucgende-aci/sorular