✅ 9. Sınıf Matematik: Benzer üçgenler oluşturma Test Çöz

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ olmak üzere, $|AB|=4$ cm, $|DE|=8$ cm ve $|BC|=5$ cm olduğuna göre, $|EF|$ kaç cm'dir?

Aşağıda verilen açı ölçülerine sahip $\triangle ABC$ ve $\triangle KLM$ üçgenleri için hangi benzerlik bağıntısı doğrudur?
$\triangle ABC$'de: $m(\angle A) = 50^\circ$, $m(\angle B) = 70^\circ$
$\triangle KLM$'de: $m(\angle K) = 50^\circ$, $m(\angle M) = 60^\circ$

Aşağıdaki şekilde $|AB|=6$ cm, $|DE|=9$ cm ve $|BC|=4$ cm'dir. $A, C, E$ ve $B, C, D$ noktaları doğrusaldır. $AB \parallel DE$ olduğuna göre, $|CD|$ kaç cm'dir?
$$
\begin{array}{c}
\text{A} \\
\text{/} \\
\text{B}-----\text{C}-----\text{D} \\
\text{\\} \\
\text{E}
\end{array}
$$
(Not: Şekil, A noktasından C'ye, B noktasından C'ye, C noktasından D'ye, C noktasından E'ye ve D noktasından E'ye doğru parçaları ile oluşturulmuş bir kelebek benzerliği şeklidir. A ve B noktaları sol üstte, D ve E noktaları sağ altta, C noktası ortadadır.)

Aşağıda kenar uzunlukları ve birer açısı verilen $\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$ üçgenleri için hangi benzerlik bağıntısı doğrudur?
$\triangle ABC$'de: $|AB|=6$ cm, $|BC|=9$ cm, $m(\angle B)=40^\circ$
$\triangle DEF$'de: $|DE|=4$ cm, $|EF|=6$ cm, $m(\angle E)=40^\circ$

Kenar uzunlukları sırasıyla $3$ cm, $4$ cm ve $5$ cm olan bir $\triangle ABC$ üçgeni ile kenar uzunlukları sırasıyla $6$ cm, $8$ cm ve $10$ cm olan bir $\triangle DEF$ üçgeni veriliyor. Buna göre, bu iki üçgen arasındaki benzerlik bağıntısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ olmak üzere, benzerlik oranı $ \frac{1}{3} $ olduğuna göre, $\triangle ABC$'nin çevresi $12$ cm ise $\triangle DEF$'nin çevresi kaç cm'dir?

Aşağıdaki şekilde $DE \parallel BC$, $|AD|=3$ cm, $|DB|=2$ cm ve $|DE|=4$ cm olduğuna göre, $|BC|$ kaç cm'dir?
$$
\begin{array}{c}
\text{A} \\
\text{/ \ } \\
\text{D}----\text{E} \\
\text{/ \ } \\
\text{B}-------\text{C}
\end{array}
$$
(Not: Şekil, A tepe noktasından aşağıya doğru, D ve E noktaları BC kenarına paralel bir doğru üzerinde olan, iç içe geçmiş $\triangle ADE$ ve $\triangle ABC$ üçgenlerini göstermektedir.)

Aşağıdaki şekilde $m(\angle ABC)=90^\circ$ ve $BD \perp AC$'dir. $|AD|=4$ cm ve $|BD|=6$ cm olduğuna göre, $|DC|$ kaç cm'dir?
$$
\begin{array}{c}
\text{B} \\
\text{/|\ } \\
\text{/ | \ } \\
\text{/ | \ } \\
\text{A}----\text{D}----\text{C}
\end{array}
$$
(Not: Şekil, B köşesi dik açı olan bir $\triangle ABC$ üçgenidir. B'den AC kenarına BD dikmesi indirilmiştir.)

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ olmak üzere, benzerlik oranı $ \frac{2}{3} $ olduğuna göre, $\triangle DEF$'nin alanı $45$ cm$^2$ ise $\triangle ABC$'nin alanı kaç cm$^2$'dir?

Aşağıdaki şekilde $DE \parallel BC$, $|AD|=x$ cm, $|DB|=2x$ cm ve $|DE|=5$ cm olduğuna göre, $|BC|$ kaç cm'dir?
$$
\begin{array}{c}
\text{A} \\
\text{/ \ } \\
\text{D}----\text{E} \\
\text{/ \ } \\
\text{B}-------\text{C}
\end{array}
$$
(Not: Şekil, A tepe noktasından aşağıya doğru, D ve E noktaları BC kenarına paralel bir doğru üzerinde olan, iç içe geçmiş $\triangle ADE$ ve $\triangle ABC$ üçgenlerini göstermektedir.)

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ olmak üzere, benzerlik oranı $ \frac{3}{4} $ olduğuna göre, $\triangle ABC$'nin A köşesinden çizilen açıortay uzunluğu $9$ cm ise $\triangle DEF$'nin D köşesinden çizilen açıortay uzunluğu kaç cm'dir?

Aşağıdaki şekilde $AB \parallel CD \parallel EF$'dir. $|AB|=8$ cm, $|CD|=12$ cm olduğuna göre, $|EF|$ kaç cm'dir?
$$
\begin{array}{c}
\text{A}--------\text{B} \\
\text{| \ / |} \\
\text{| \ / |} \\
\text{E}----\text{F} \\
\text{| / \ |} \\
\text{| / \ |} \\
\text{D}--------\text{C}
\end{array}
$$
(Not: Şekil, AB ve CD paralel kenarları olan bir yamuktur. E ve F noktaları sırasıyla AD ve BC kenarları üzerindedir ve EF, AB ve CD'ye paraleldir. Köşegenler AC ve BD çizilmemiştir, ancak benzerlik için kesişim noktası E olarak düşünülmelidir.)
Bu şekil, aslında bir yamukta köşegenlerin kesişim noktasından geçen paralel doğru parçasının uzunluğunu soruyor. Ancak şekil çizimi biraz yanıltıcı. Genelde bu tür sorularda köşegenlerin kesişim noktası belirtilir.
Şekli yeniden yorumlayalım: $A, E, D$ ve $B, F, C$ noktaları doğrusaldır. $AB \parallel EF \parallel DC$.
Bu durumda Thales benzerliği ve kelebek benzerliği bir arada kullanılır.
$\triangle ADE$ ve $\triangle BFC$ yerine, $\triangle DAB$ ve $\triangle DCB$ üçgenlerini düşünerek $EF$ uzunluğunu bulmalıyız.
Bu bir yamukta orta taban benzerliği değil, genel bir paralel doğru parçası.
Köşegenleri çizelim: AC ve BD. Kesim noktasına K diyelim.
$\triangle ABK \sim \triangle CDK$. Benzerlik oranı $ \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $.
Bu oran $ \frac{|AK|}{|CK|} = \frac{|BK|}{|DK|} = \frac{2}{3} $'tür.
Şimdi $EF$ doğrusu K noktasından geçiyor mu? Şekilde E ve F noktaları AD ve BC kenarları üzerinde gösterilmiş. Bu durumda E ve F, köşegenlerin kesişim noktasından geçmiyor.
Sorunun şekli, E'nin AD üzerinde, F'nin BC üzerinde olduğunu belirtiyor.
Yani $A, E, D$ ve $B, F, C$ noktaları doğrusaldır.
Bu durumda $\triangle AEF \sim \triangle ADC$ ve $\triangle BEF \sim \triangle BCD$.
Veya $\triangle DEF \sim \triangle DAB$ ve $\triangle CEF \sim \triangle CAB$.
Bu durumda oranları yazalım:
$\triangle ADE$ ve $\triangle ABC$ üçgenleri benzer değildir.
$\triangle DAB$ ve $\triangle DEF$ benzer değildir.
Şekil tanımı: "Aşağıdaki şekilde $AB \parallel CD \parallel EF$'dir. $|AB|=8$ cm, $|CD|=12$ cm olduğuna göre, $|EF|$ kaç cm'dir?"
Bu bir yamukta, paralel kenarlara paralel olan bir doğru parçasının uzunluğunu bulma problemidir.
Bu durumda, kelebek benzerliği kullanmak yerine, bir köşeden paralel çizerek çözebiliriz.
A noktasından DC'ye paralel bir doğru çizelim. Bu doğru BC'yi G noktasında, EF'yi H noktasında kessin.
O zaman $ABCH$ ve $AHGD$ birer paralelkenar olur.
$|AH| = |BG| = |CD| = 12$. Hayır, bu yanlış.
A noktasından DC'ye paralel çizersek, $ABCH$ bir paralelkenar olmaz.
A noktasından BC'ye paralel çizersek, $ABCF$ bir paralelkenar olmaz.
Doğru yaklaşım:
D noktasından AB'ye paralel bir doğru çizelim. Bu doğru BC'yi K noktasında, EF'yi L noktasında kessin.
O zaman $ABLD$ bir paralelkenar olur.
$|AL| = |DB|$, $|AD| = |LB|$.
Bu yöntem 9. sınıf müfredatında daha çok yamukta alan veya uzunluk hesaplamalarında kullanılır.
Benzerlik ile çözmek için:
$\triangle ADE$ ve $\triangle ABC$ benzer değildir.
$\triangle BFC$ ve $\triangle BAC$ benzer değildir.
Ancak, $EF \parallel AB \parallel CD$ olduğu için, temel benzerlik teoremini kullanabiliriz.
$\triangle AEF$ ve $\triangle ADC$ benzer değildir.
$\triangle BEF$ ve $\triangle BCD$ benzer değildir.
Bu durumda, $\triangle DAB$ ve $\triangle DEF$ benzer değildir.
$\triangle CAB$ ve $\triangle CEF$ benzer değildir.

Şekli doğru anlamak kritik. Şekil, E'nin AD üzerinde, F'nin BC üzerinde olduğunu gösteriyor.
Bu tür bir problemde, genellikle bir köşegen çizilir ve iki farklı benzerlik kullanılır.
AC köşegenini çizelim. AC, EF'yi K noktasında kessin.
O zaman $EK \parallel DC$ ve $KF \parallel AB$.
$\triangle AEK \sim \triangle ADC$.
$ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|EK|}{|DC|} $.
$\triangle CKF \sim \triangle CAB$.
$ \frac{|CF|}{|CB|} = \frac{|KF|}{|AB|} $.
Ancak $ \frac{|AE|}{|AD|} $ ve $ \frac{|CF|}{|CB|} $ oranları hakkında bilgi yok.
Bu oranlar eşit olmalıdır. Yani $ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|CF|}{|CB|} $.
Bu durumda $ \frac{|EK|}{|DC|} = \frac{|KF|}{|AB|} $.
Bu bilgi yeterli değil.

Bu problem yamukta paralel doğru parçasının uzunluğu formülüyle çözülür:
$|EF| = \frac{|AB| \cdot |DE| + |CD| \cdot |AE|}{|AD|}$
Bu formül 9. sınıf müfredatında doğrudan verilmez, benzerlikten türetilir.
Şekilde E ve F noktaları AD ve BC kenarlarının üzerinde.
AC köşegenini çizelim ve EF'yi K noktasında kessin.
$EK \parallel DC$ ve $KF \parallel AB$.
$\triangle AEK \sim \triangle ADC$. Benzerlik oranı $k_1 = \frac{|AE|}{|AD|}$.
$|EK| = k_1 \cdot |DC|$.
$\triangle CFK \sim \triangle CBA$. Benzerlik oranı $k_2 = \frac{|CF|}{|CB|}$.
$|KF| = k_2 \cdot |AB|$.
Ancak $EF \parallel AB \parallel CD$ olduğundan, Thales teoreminden $ \frac{|AE|}{|ED|} = \frac{|BF|}{|FC|} $ diyebiliriz.
Bu da $ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|BF|}{|BC|} $ anlamına gelmez.
Ancak $ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|AK|}{|AC|} $ ve $ \frac{|CF|}{|CB|} = \frac{|CK|}{|CA|} $.
Ve $ \frac{|AK|}{|AC|} + \frac{|CK|}{|AC|} = 1 $.
Bu durumda $ \frac{|AE|}{|AD|} + \frac{|ED|}{|AD|} = 1 $.
Ve $ \frac{|CF|}{|CB|} + \frac{|BF|}{|CB|} = 1 $.

Bu problem için klasik benzerlik çözümü:
AC köşegenini çizelim ve EF'yi K noktasında kessin.
1. $\triangle AEK \sim \triangle ADC$ (AA benzerliği, $m(\angle A)$ ortak, $EK \parallel DC$)
$ \frac{|EK|}{|DC|} = \frac{|AE|}{|AD|} $
2. $\triangle CFK \sim \triangle CBA$ (AA benzerliği, $m(\angle C)$ ortak, $KF \parallel AB$)
$ \frac{|KF|}{|AB|} = \frac{|CF|}{|CB|} $

Ayrıca, $EF \parallel AB \parallel CD$ olduğundan, temel orantı teoreminden (Thales)
$ \frac{|AE|}{|ED|} = \frac{|BF|}{|FC|} $ diyebiliriz.
Bu oranlara $m$ ve $n$ diyelim. $|AE|=m$, $|ED|=n$.
O zaman $|AD|=m+n$.
$ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{m}{m+n} $.
$ \frac{|CF|}{|CB|} = \frac{n}{m+n} $ (çünkü $ \frac{|BF|}{|FC|} = \frac{m}{n} \implies |BF|=mk, |FC|=nk \implies |CB|=(m+n)k $. $ \frac{|CF|}{|CB|} = \frac{nk}{(m+n)k} = \frac{n}{m+n} $).
Yani $ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|BF|}{|BC|} $ ve $ \frac{|ED|}{|AD|} = \frac{|FC|}{|BC|} $. Bu doğru.

Şimdi $|EK|$ ve $|KF|$ değerlerini bulalım.
$|EK| = |DC| \cdot \frac{|AE|}{|AD|}$
$|KF| = |AB| \cdot \frac{|FC|}{|BC|}$
Burada $ \frac{|AE|}{|AD|} $ ve $ \frac{|FC|}{|BC|} $ oranları hakkında bilgi yok.
Bu tür sorularda, genellikle $E$ ve $F$ noktaları, köşegenlerin kesişim noktasından geçen doğru üzerindedir.
Ancak şekil bunu göstermiyor, E AD üzerinde, F BC üzerinde.
Sorunun metni "Aşağıdaki şekilde $AB \parallel CD \parallel EF$'dir." diyor. Bu bir yamukta paralel doğru parçası.
Bu durumda, $|EF|$ uzunluğu için harmonik ortalama formülüne benzer bir durum ortaya çıkar.
$ \frac{1}{|EF|} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{|AB|} + \frac{1}{|CD|} \right) $ bu orta taban için.
Bu formül, E ve F orta noktalar olduğunda geçerlidir.
Genel formül: $|EF| = \frac{|AB| \cdot |CD|}{|AB| + |CD|}$ bu köşegenlerin kesişim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasının uzunluğunun yarısıdır. Yani $|EF|$ burada kesişim noktasından geçen doğru parçasının tamamı değil, yarısıdır.
Eğer $E$ ve $F$ köşegenlerin kesişim noktasından geçen doğru üzerindeyse, $EF$ uzunluğu $ \frac{2 \cdot |AB| \cdot |CD|}{|AB| + |CD|} $ olur.
Ancak şekil E'nin AD üzerinde, F'nin BC üzerinde olduğunu gösteriyor.
Bu durumda, $|EF|$ uzunluğu için bir formül yoktur, benzerlik ile çözülmelidir.
Çözüm için bir köşegen çizelim. AC köşegenini çizelim. EF'yi K noktasında kessin.
$\triangle AEK \sim \triangle ADC$.
$\triangle CFK \sim \triangle CBA$.
Bu soruyu çözmek için $ \frac{|AE|}{|ED|} $ oranına ihtiyacımız var.
Eğer bu oran verilmemişse, soru eksiktir veya $E$ ve $F$ noktaları özel bir konumdadır.
9. sınıf müfredatında bu tür bir soru genellikle $E$ ve $F$ noktaları köşegenlerin kesişim noktasından geçen doğru üzerinde olduğunda sorulur.
Eğer öyleyse, $AB \parallel EF \parallel CD$ ve $K$ köşegenlerin kesişim noktası ise,
$\triangle ABK \sim \triangle CDK$. Benzerlik oranı $ \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $.
Yani $|AK| = 2m$, $|KC| = 3m$.
$|BK| = 2n$, $|KD| = 3n$.
Şimdi $\triangle KEF$ ve $\triangle KAB$ benzerdir.
$ \frac{|KE|}{|KA|} = \frac{|KF|}{|KB|} = \frac{|EF|}{|AB|} $.
$ \frac{|KC|}{|AC|} = \frac{3m}{5m} = \frac{3}{5} $.
$\triangle KEF \sim \triangle KAB$ değil, $\triangle KEF \sim \triangle KDC$ ve $\triangle KFE \sim \triangle KBA$.
$\triangle KDC$ ve $\triangle KEF$ benzerdir.
$ \frac{|KE|}{|KD|} = \frac{|KF|}{|KC|} = \frac{|EF|}{|DC|} $.
$ \frac{|KE|}{|KD|} = \frac{|KE|}{3n} $.
$\triangle KAB$ ve $\triangle KEF$ benzerdir.
$ \frac{|KE|}{|KA|} = \frac{|KF|}{|KB|} = \frac{|EF|}{|AB|} $.
$ \frac{|KE|}{|KA|} = \frac{|KE|}{2m} $.

Bu durumda, $|EF|$ uzunluğu için formül: $|EF| = \frac{2 \cdot |AB| \cdot |CD|}{|AB| + |CD|}$ değildir. Bu, köşegenlerin kesişim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasının uzunluğudur.
Bu sorunun şekli, E'nin AD üzerinde, F'nin BC üzerinde olduğunu gösteriyor.
Bu durumda, $|EF|$ uzunluğu için, $ \frac{|AE|}{|ED|} $ oranına ihtiyaç vardır.
Eğer bu oran verilmemişse, soru eksiktir veya $E$ ve $F$ noktaları özel bir konumdadır (örneğin orta noktalar).
Eğer E ve F orta noktalar ise, $|EF| = \frac{|AB| + |CD|}{2} = \frac{8+12}{2} = 10$. Bu da şıklarda yok.

Bu durumda, soru "köşegenlerin kesişim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasının uzunluğu"nu soruyor olmalı. Şekil çizimi bu durumu tam olarak yansıtmıyor olabilir.
Eğer $E$ ve $F$ noktaları köşegenlerin kesişim noktasından geçen doğru üzerindeyse,
$|EF| = \frac{|AB| \cdot |CD|}{|AB| + |CD|}$ formülüyle bulunur. Bu formül, $EF$ doğru parçasının uzunluğunun yarısını verir.
Tamamı için $|EF| = \frac{2 \cdot |AB| \cdot |CD|}{|AB| + |CD|}$ formülü kullanılır.
$|EF| = \frac{2 \cdot 8 \cdot 12}{8 + 12} = \frac{2 \cdot 96}{20} = \frac{192}{20} = \frac{48}{5}$.
Bu şıklarda yok.

Geri dönelim: Şekilde E ve F noktaları AD ve BC kenarları üzerindedir.
Bu durumda, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ veya $\triangle BFC \sim \triangle BAC$ gibi benzerlikler yoktur.
Ancak, $\triangle AEF$ ve $\triangle ADC$ benzerdir. Hayır, bu da değil.
$\triangle DAB$ ve $\triangle DEF$ benzer değildir.
$\triangle CAB$ ve $\triangle CEF$ benzer değildir.

Bu soru tipi için standart bir benzerlik çözümü vardır:
D noktasından BC'ye paralel bir doğru çizelim. Bu doğru AB'yi G noktasında, EF'yi H noktasında kessin.
$DGCB$ bir paralelkenar olur. $|DG| = |CB|$.
$AB \parallel DC \parallel EF$.
$|DG| = |CB|$.
Bu yöntem de benzerlikten çok paralelkenar özelliklerini kullanır.

En yaygın 9. sınıf benzerlik problemi çözümü:
AC köşegenini çizelim, EF'yi K noktasında kessin.
$\triangle AKE \sim \triangle ACD$ (AA benzerliği)
$ \frac{|AK|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|KE|}{|CD|} $
$\triangle CKF \sim \triangle CAB$ (AA benzerliği)
$ \frac{|CK|}{|AC|} = \frac{|CF|}{|CB|} = \frac{|KF|}{|AB|} $
Burada $ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|BF|}{|BC|} $ olduğu varsayılır. Bu doğru değildir.
$ \frac{|AE|}{|ED|} = \frac{|BF|}{|FC|} $ (Temel Orantı Teoremi)
Bu durumda $ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|BF|}{|BC|} $ değildir.
$ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|AE|}{|AE|+|ED|} $ ve $ \frac{|BF|}{|BC|} = \frac{|BF|}{|BF|+|FC|} $.
Bu oranlar eşit değildir.

Bu soru, yamukta paralel doğru parçasının uzunluğu formülünü türetmek için kullanılan benzerlikleri içeriyor.
AC köşegenini çizelim. EF'yi K noktasında kessin.
$\triangle AKE \sim \triangle ACD$.
$ \frac{|KE|}{|CD|} = \frac{|AE|}{|AD|} $.
$\triangle CKB \sim \triangle CKE$. Hayır.
$\triangle CFK \sim \triangle CBA$.
$ \frac{|KF|}{|AB|} = \frac{|CF|}{|CB|} $.
Bu iki oranın toplamı $|EF| = |KE| + |KF|$ verir.
Ama $ \frac{|AE|}{|AD|} $ ve $ \frac{|CF|}{|CB|} $ oranları hakkında bilgi yok.

Bu soru tipi, genellikle $E$ ve $F$ noktaları köşegenlerin kesişim noktasından geçen doğru üzerindeyse sorulur.
Eğer öyleyse, $|EF| = \frac{2 \cdot |AB| \cdot |CD|}{|AB| + |CD|}$ formülü kullanılır.
$|EF| = \frac{2 \cdot 8 \cdot 12}{8+12} = \frac{192}{20} = \frac{48}{5} = 9.6$.
Bu şıklarda var: [D] $ \frac{48}{5} $.
Şekil çizimi yanıltıcı olabilir, bu durumdaki E ve F noktaları AD ve BC kenarları üzerinde değil, köşegenlerin kesişim noktasından geçen doğru üzerindedir.
9. sınıf müfredatında bu formülün türetilmesi benzerlik ile yapılır.
$\triangle ABK \sim \triangle CDK$, benzerlik oranı $k = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
Yani $|AK| = 2x$, $|KC| = 3x$.
$|BK| = 2y$, $|KD| = 3y$.
Şimdi $EF$ doğru parçasının $K$ noktasından geçtiğini varsayalım.
$\triangle KEF \sim \triangle KAB$ (AA benzerliği, $m(\angle K)$ ortak, $EF \parallel AB$)
$ \frac{|EF|}{|AB|} = \frac{|KE|}{|KA|} = \frac{|KF|}{|KB|} $.
$\triangle KEF \sim \triangle KDC$ (AA benzerliği, $m(\angle K)$ ortak, $EF \parallel DC$)
$ \frac{|EF|}{|DC|} = \frac{|KE|}{|KD|} = \frac{|KF|}{|KC|} $.
Bu iki benzerlikten $|EF|$ bulunmaz.

Doğru türetme:
AC köşegenini çizelim. EF'yi K noktasında kessin.
$\triangle AKE \sim \triangle ACD$. $ \frac{|KE|}{|CD|} = \frac{|AK|}{|AC|} $.
$\triangle CKF \sim \triangle CAB$. $ \frac{|KF|}{|AB|} = \frac{|CK|}{|AC|} $.
Bu iki denklemi toplayalım:
$ \frac{|KE|}{|CD|} + \frac{|KF|}{|AB|} = \frac{|AK|}{|AC|} + \frac{|CK|}{|AC|} = \frac{|AK|+|CK|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|AC|} = 1 $.
Yani $ \frac{|KE|}{|CD|} + \frac{|KF|}{|AB|} = 1 $.
Bu durumda $|EF| = |KE| + |KF|$ değildir.
Bu formül, E ve F noktaları AD ve BC kenarları üzerinde olduğunda geçerlidir.
Ancak, $EF \parallel AB \parallel CD$ olduğundan, $ \frac{|AE|}{|ED|} = \frac{|BF|}{|FC|} $ (Temel Orantı Teoremi).
Bu oranlara $k$ diyelim: $ \frac{|AE|}{|ED|} = k $.
$|AE| = k \cdot |ED|$.
$|AD| = |AE| + |ED| = (k+1) \cdot |ED|$.
$ \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{k}{k+1} $.
$ \frac{|ED|}{|AD|} = \frac{1}{k+1} $.
Benzer şekilde, $ \frac{|BF|}{|FC|} = k $.
$ \frac{|BF|}{|BC|} = \frac{k}{k+1} $.
$ \frac{|FC|}{|BC|} = \frac{1}{k+1} $.

Şimdi AC köşegenini çizelim, EF'yi K noktasında kessin.
$\triangle AKE \sim \triangle ACD$.
$ \frac{|KE|}{|CD|} = \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{k}{k+1} $.
$|KE| = |CD| \cdot \frac{k}{k+1} = 12 \cdot \frac{k}{k+1}$.
$\triangle CKF \sim \triangle CAB$.
$ \frac{|KF|}{|AB|} = \frac{|CK|}{|AC|} = \frac{|ED|}{|AD|} = \frac{1}{k+1} $.
$|KF| = |AB| \cdot \frac{1}{k+1} = 8 \cdot \frac{1}{k+1}$.
$|EF| = |KE| + |KF| = 12 \cdot \frac{k}{k+1} + 8 \cdot \frac{1}{k+1} = \frac{12k+8}{k+1}$.
Bu formül, $k$ oranına bağlıdır. Eğer $k$ verilmemişse, soru eksiktir.

Bu durumda, sorunun şekli ve metni, "köşegenlerin kesişim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasının uzunluğu"nu sormak istiyor olabilir. Bu durumda E ve F noktaları AD ve BC üzerinde değil, köşegenlerin kesişim noktasından geçen doğru üzerindedir.
Bu durumda çözüm:
Köşegenlerin kesişim noktasına K diyelim.
$\triangle KAB \sim \triangle KCD$. Benzerlik oranı $ \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $.
Bu oran $ \frac{|AK|}{|KC|} = \frac{|BK|}{|KD|} = \frac{2}{3} $.
Şimdi $EF$ doğru parçasının $K$ noktasından geçtiğini varsayalım.
$EF$ doğru parçasının $K$ noktasından geçen kısmı $EK$ ve $KF$ olarak ikiye ayrılır.
$\triangle KEF \sim \triangle KAB$ değildir.
$\triangle KEF \sim \triangle KDC$ değildir.
$\triangle KEF$ diye bir üçgen yoktur.
Doğru olan:
$EK \parallel CD$. $\triangle AKE \sim \triangle ACD$.
$ \frac{|EK|}{|CD|} = \frac{|AK|}{|AC|} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} $.
$|EK| = |CD| \cdot \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{2}{5} = \frac{24}{5}$.
$KF \parallel AB$. $\triangle CKF \sim \triangle CAB$.
$ \frac{|KF|}{|AB|} = \frac{|CK|}{|AC|} = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5} $.
$|KF| = |AB| \cdot \frac{3}{5} = 8 \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{5}$.
$|EF| = |EK| + |KF| = \frac{24}{5} + \frac{24}{5} = \frac{48}{5}$.
Bu çözüm, E ve F noktalarının köşegenlerin kesişim noktasından geçen doğru üzerinde olduğunu varsayar. Şekil çizimi bu durumu tam olarak yansıtmıyor olsa da, 9. sınıf müfredatında bu problem genellikle bu şekilde sorulur.
Doğru cevap $ \frac{48}{5} $.
[TEXT]
Aşağıdaki şekilde $AB \parallel CD \parallel EF$'dir. $|AB|=8$ cm, $|CD|=12$ cm olduğuna göre, $|EF|$ kaç cm'dir?
(Not: Şekilde $E$ noktası $AD$ üzerinde, $F$ noktası $BC$ üzerindedir. $EF$ doğru parçası, köşegenlerin kesişim noktasından geçmektedir.)

Aşağıdaki şekilde $m(\angle BAC) = m(\angle DEC)$'tir. $|AC|=10$ cm, $|CD|=4$ cm ve $|CE|=5$ cm olduğuna göre, $|BE|$ kaç cm'dir?
$$
\begin{array}{c}
\text{A} \\
\text{/ \ } \\
\text{/ \ } \\
\text{/ \ } \\
\text{B}------\text{D} \\
\text{\ /} \\
\text{E}-----\text{C}
\end{array}
$$
(Not: Şekil, C köşesi ortak olan, A, B, C ve D, E, C noktaları doğrusal olacak şekilde iç içe geçmiş $\triangle ABC$ ve $\triangle DEC$ üçgenlerini göstermektedir. A noktası sol üstte, B noktası sol altta, D noktası sağ altta, E noktası sağ üstte, C noktası ise ortadadır.)

ABCD bir dikdörtgendir. $|AB|=12$ cm ve $|BC|=9$ cm'dir. E noktası DC kenarı üzerindedir. C köşesi AE boyunca katlandığında AB kenarı üzerindeki F noktasına gelmektedir. Buna göre, $|DE|$ kaç cm'dir?