Basamak Ders Notu

Sayıların yazılışında rakamların bulunduğu konuma basamak, rakamların bulunduğu basamağa göre aldığı değere ise basamak değeri denir. Onluk tabanda (günlük hayatta kullandığımız sayma sisteminde) her basamak, sağdan sola doğru \( 10 \)'un kuvvetleri şeklinde ilerler.

📌 Basamak Kavramı ve Sayı Değeri

Bir sayıda rakamın kendisini ifade eden değere sayı değeri denir. Rakamın bulunduğu basamaktan dolayı kazandığı değere ise basamak değeri denir.

• Birler Basamağı: Basamak değeri rakamın \( 1 \) ile çarpılmasıyla bulunur.
• Onlar Basamağı: Basamak değeri rakamın \( 10 \) ile çarpılmasıyla bulunur.
• Yüzler Basamağı: Basamak değeri rakamın \( 100 \) ile çarpılmasıyla bulunur.
• Binler Basamağı: Basamak değeri rakamın \( 1000 \) ile çarpılmasıyla bulunur.

✏️ Sayıların Çözümlenmesi

Bir sayının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasına çözümleme denir. \( a, b, c, d \) birer rakam olmak üzere;

1. İki Basamaklı Sayılar

\( ab \) iki basamaklı bir sayı olsun. Çözümlemesi şu şekildedir:

\[ ab = 10a + b \]

2. Üç Basamaklı Sayılar

\( abc \) üç basamaklı bir sayı olsun. Çözümlemesi şu şekildedir:

\[ abc = 100a + 10b + c \]

3. Dört Basamaklı Sayılar

\( abcd \) dört basamaklı bir sayı olsun. Çözümlemesi şu şekildedir:

\[ abcd = 1000a + 100b + 10c + d \]

⚡ Önemli Kural: İki basamaklı \( ab \) ve \( ba \) sayılarının toplamı ve farkı pratik olarak şöyle hesaplanır:

\( ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b) \)
\( ab - ba = (10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) \)

📊 Basamak İşlemleri Özeti

Sayı	Çözümlenmiş Hali
\( ab \)	\( 10a + b \)
\( ba \)	\( 10b + a \)
\( aba \)	\( 101a + 10b \)
\( abc - cba \)	\( 99(a - c) \)

💡 Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1

İki basamaklı \( ab \) sayısı, rakamları toplamının \( 4 \) katına eşittir. Buna göre \( a + b \) toplamı kaçtır?

Çözüm:

Verilen eşitliği yazalım ve çözümlere ayıralım:

\[ ab = 4(a + b) \] \[ 10a + b = 4a + 4b \]

Benzer terimleri eşitliğin her iki tarafına toplayalım:

\[ 10a - 4a = 4b - b \] \[ 6a = 3b \]

Eşitliğin her iki tarafını \( 3 \) ile bölelim:

\[ 2a = b \]

\( a \) ve \( b \) birer rakam ve \( ab \) iki basamaklı sayı olduğu için \( a \neq 0 \) olmalıdır.

• \( a = 1 \) için \( b = 2 \) olur. Sayı: \( 12 \)
• \( a = 2 \) için \( b = 4 \) olur. Sayı: \( 24 \)
• \( a = 3 \) için \( b = 6 \) olur. Sayı: \( 36 \)
• \( a = 4 \) için \( b = 8 \) olur. Sayı: \( 48 \)

Örneğin \( a = 1 \) ve \( b = 2 \) seçilirse \( a + b = 1 + 2 = 3 \) bulunur.

Örnek 2

Rakamları farklı iki basamaklı en büyük pozitif tam sayı ile iki basamaklı en küçük negatif tam sayının toplamı kaçtır?

Çözüm:

• Rakamları farklı iki basamaklı en büyük pozitif tam sayı: \( 98 \)
• İki basamaklı en küçük negatif tam sayı: \( -99 \)

Bu iki sayının toplamını hesaplayalım:

\[ 98 + (-99) = -1 \]

Örnek 3

\( ab \) ve \( ba \) iki basamaklı doğal sayılardır. \( ab + ba = 132 \) olduğuna göre, kaç farklı \( ab \) sayısı yazılabilir?

Çözüm:

İki basamaklı sayıların toplam kuralını uygulayalım:

\[ ab + ba = 11(a + b) = 132 \]

Her iki tarafı \( 11 \)'e bölelim:

\[ a + b = 12 \]

\( a \) ve \( b \) rakamları için mümkün olan değer çiftleri (\( a \neq 0 \) ve \( b \neq 0 \)):

• \( a = 3, b = 9 \rightarrow 39 \)
• \( a = 4, b = 8 \rightarrow 48 \)
• \( a = 5, b = 7 \rightarrow 57 \)
• \( a = 6, b = 6 \rightarrow 66 \)
• \( a = 7, b = 5 \rightarrow 75 \)
• \( a = 8, b = 4 \rightarrow 84 \)
• \( a = 9, b = 3 \rightarrow 93 \)

Toplamda \( 7 \) farklı \( ab \) sayısı yazılabilir.