💡 9. Sınıf Matematik: Bağlaç Çözümlü Örnekler

Önerme, doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak bilinen yargı bildiren ifadelerdir.

• A) "Hava ne kadar güzel!" bir ünlem cümlesidir, yargı bildirmez.
• B) "Yarın sinemaya gidelim mi?" bir soru cümlesidir, yargı bildirmez.
• C) "Ankara, Türkiye'nin başkentidir." ifadesi doğru bir yargı bildirdiği için bir önermedir. ✅
• D) "Bu kitabı okudun mu?" bir soru cümlesidir, yargı bildirmez.
• E) "Keşke bu sınavı geçebilseydim." bir dilek cümlesidir, yargı bildirmez.

Bu nedenle doğru cevap C şıkkıdır. 👉

Bir önermenin değili, o önermenin doğruluk değerini değiştiren önermedir.

• Verilen önerme: \( p \): "Bugün hava yağmurlu."
• Bu önermenin değili \( p' \) veya \( \neg p \) ile gösterilir.
• "Bugün hava yağmurlu." önermesinin olumsuzu "Bugün hava yağmurlu değildir." veya "Bugün hava açık." gibi bir ifade olur.

Dolayısıyla, önermenin değili "Bugün hava yağmurlu değildir." şeklindedir. 💡

Mantıksal VE (AND) bağlacı \( \land \) ile gösterilir. \( p \land q \) önermesi, hem \( p \) hem de \( q \) önermeleri doğru olduğunda doğrudur; diğer durumlarda yanlıştır.
Aşağıda doğruluk tablosu verilmiştir:
| \( p \) | \( q \) | \( p \land q \) | |---|---|---| | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 0 |
Burada '1' doğruluk değerini, '0' ise yanlışlık değerini temsil eder. ✅

Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• \( p \): "10 tek sayıdır." Bu ifade yanlıştır. Dolayısıyla \( p \equiv 0 \).
• \( q \): "2 çift sayıdır." Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla \( q \equiv 1 \).

Şimdi \( p \lor q \) önermesini inceleyelim. Mantıksal VEYA (OR) bağlacı \( \lor \) ile gösterilir. \( p \lor q \) önermesi, \( p \) veya \( q \) önermelerinden en az biri doğru olduğunda doğrudur.
\( p \lor q \equiv 0 \lor 1 \)
VEYA bağlacında, doğruluk değerlerinden biri 1 olduğu için sonuç 1'dir.
Dolayısıyla, \( p \lor q \) önermesinin doğruluk değeri 1'dir (Doğru). 👉

İki yönlü koşullu önerme (bikondisyonel) \( p \iff q \) bağlacı, \( p \) ve \( q \) önermelerinin doğruluk değerleri aynı olduğunda doğrudur. Farklı olduğunda ise yanlıştır.
Öğrencinin tablosundaki hata, \( p \) yanlış (0) iken \( q \) doğru (1) olduğunda \( p \iff q \) önermesinin doğruluk değerini 1 olarak belirtmesidir. Oysa bu durumda \( p \) ve \( q \) farklı doğruluk değerlerine sahip olduğu için önerme yanlış olmalıdır.
Doğru Doğruluk Tablosu:
| \( p \) | \( q \) | \( p \iff q \) | |---|---|---| | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | <-- Doğrusu budur. | 0 | 0 | 1 |
Bu nedenle, \( p \) yanlış ve \( q \) doğru iken \( p \iff q \) önermesi yanlış (0) olmalıdır. 💡

Bu ifade, koşullu önerme (implication) yapısındadır. Koşullu önermeler \( p \implies q \) şeklinde gösterilir.

• \( p \): "100 TL alışveriş yapmak"
• \( q \): "İndirim kazanmak"

Bu durumda ifade \( p \implies q \) şeklinde okunur: "Eğer 100 TL alışveriş yaparsan, o zaman indirim kazanırsın."
Bu önermenin yanlış olacağı tek durum, 100 TL alışveriş yapıp indirim kazanamamanızdır. Diğer tüm durumlarda (100 TL'den az alışveriş yapıp indirim kazanamamak, 100 TL'den az alışveriş yapıp indirim kazanmak -ki bu mantıken olmaz ama önerme mantığında mümkündür-, veya 100 TL alışveriş yapıp indirim kazanmak) koşullu önerme doğru kabul edilir. ✅
Bu, marketin vaadini yerine getirmesi durumunu garanti altına alır. 👉

Öncelikle verilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyelim:

• \( p \): "Her tam sayı çifttir." Bu ifade yanlıştır. Dolayısıyla \( p \equiv 0 \).
• \( q \): "Her tam sayı tektir." Bu ifade de yanlıştır. Dolayısıyla \( q \equiv 0 \).

Şimdi \( p \lor q \) önermesini hesaplayalım:
\( p \lor q \equiv 0 \lor 0 \)
VEYA bağlacında her iki önerme de yanlış olduğunda sonuç yanlıştır.
\( p \lor q \equiv 0 \)
Son olarak, \( (p \lor q)' \) önermesini bulalım. Bu, \( p \lor q \) önermesinin değilidir.
\( (p \lor q)' \equiv 0' \)
Bir önermenin değili, doğruluk değerini tersine çevirir. Yanlışın değili doğrudur.
\( (p \lor q)' \equiv 1 \)
Dolayısıyla, \( (p \lor q)' \) önermesinin doğruluk değeri 1'dir (Doğru). 💡

Koşullu önermenin denkliği \( a \implies b \equiv a' \lor b \) kuralı kullanılarak çözülebilir.
Verilen önerme: \( (p \land q) \implies r \)
Bu önermeyi \( a \implies b \) formatında düşünürsek, \( a = (p \land q) \) ve \( b = r \) olur.
Denklik kuralını uygulayalım:
\( (p \land q) \implies r \equiv (p \land q)' \lor r \)
De Morgan kuralına göre \( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \) olur.
Yerine koyarsak:
\( (p \land q)' \lor r \equiv (p' \lor q') \lor r \)
Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) \( (p' \lor q') \lor r \): Bu ifade, bulduğumuz denk ifade ile aynıdır. ✅
• B) \( p \implies (q \implies r) \equiv p \implies (q' \lor r) \equiv p' \lor (q' \lor r) \equiv p' \lor q' \lor r \). Bu da aynıdır.
• C) \( (p \implies r) \land (q \implies r) \equiv (p' \lor r) \land (q' \lor r) \). Bu denk değildir.
• D) \( (p \implies r) \lor (q \implies r) \equiv (p' \lor r) \lor (q' \lor r) \equiv p' \lor q' \lor r \). Bu da aynıdır.
• E) \( p \land (q \lor r) \). Bu denk değildir.

Seçenek A ve D de mantıksal olarak denktir. Ancak soruda sadece bir seçenek sorulduğu için ve A seçeneği doğrudan \( (p \land q)' \lor r \) biçiminde olduğu için, genellikle bu tür sorularda ilk bulunan denk ifade tercih edilir. B ve D seçenekleri de doğru denkliklerdir. Sorunun formatına göre A seçeneğini işaretleyelim. 👉