💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmik yapılar içindeki mantık bağlaçları ve niteleyicileri çözümleyebilme Çözümlü Örnekler

Öncelikle her bir önermenin doğruluk değerini belirleyelim:

• p önermesi: 3 sayısı sadece 1'e ve kendisine bölündüğü için asal bir sayıdır. Bu nedenle \( p \equiv 1 \) olur.
• q önermesi: En küçük pozitif tam sayı 1'dir, 0 bir tam sayıdır ancak pozitif veya negatif değildir (nötrdür). Bu nedenle \( q \equiv 0 \) olur.

Şimdi ve (\( \wedge \)) bağlacı kuralını uygulayalım:

• \( p \wedge q \equiv 1 \wedge 0 \)
• Ve bağlacında sonucun 1 olması için her iki önermenin de 1 olması gerekir.
• Bu durumda \( 1 \wedge 0 \equiv 0 \) olarak bulunur. ✅

İse (\( \Rightarrow \)) bağlacının sonucunun 0 olması için tek bir durum vardır: 1 \(\Rightarrow\) 0 \(\equiv\) 0.

Bu kuralı sorumuza uygulayalım:

• \( (p \vee q') \Rightarrow q \equiv 0 \) ise;
• Sol taraf: \( p \vee q' \equiv 1 \)
• Sağ taraf: \( q \equiv 0 \) olmalıdır.

Bulduğumuz \( q \equiv 0 \) değerini sol taraftaki ifadede yerine yazalım:

• \( q \equiv 0 \) ise \( q' \equiv 1 \) olur.
• \( p \vee 1 \equiv 1 \) ifadesinde, veya (\( \vee \)) bağlacı gereği \( p \) değeri 0 veya 1 olabilir.
• Ancak soruda \( q \equiv 0 \) kesinleşmiştir.
• Sonuç olarak: \( p \) önermesi 0 veya 1 olabilir, \( q \) önermesi kesinlikle 0'dır.

Algoritmadaki mantıksal koşulu her iki değer için inceleyelim:

\( x = 12 \) için:

• \( (12 > 5) \wedge (12 < 12) \)
• \( 1 \wedge 0 \equiv 0 \) (Çünkü 12, 12'den küçük değildir).
• Koşul yanlış olduğu için ekranda GEÇERSİZ yazar. ❌

\( x = 7 \) için:

• \( (7 > 5) \wedge (7 < 12) \)
• \( 1 \wedge 1 \equiv 1 \) (Çünkü 7 hem 5'ten büyük hem de 12'den küçüktür).
• Koşul doğru olduğu için ekranda UYGUN yazar. ✅

Verilen durumu sembolik mantık diline çevirelim:

• Algoritma: \( p \vee q \Rightarrow r \)
• Lambanın yanmaması durumu: \( r \equiv 0 \)

Sistemin çalışması için \( p \vee q \) durumunun sonucu lamba durumunu belirler. Lambanın yanmaması (\( r \equiv 0 \)) için veya bağlacı ile bağlanan koşulların gerçekleşmemesi gerekir:

• \( p \vee q \equiv 0 \) olmalıdır.
• Veya (\( \vee \)) bağlacında sonucun 0 olması için her iki önermenin de 0 olması gerekir.
• \( p \equiv 0 \) (Hava karanlık değil, yani aydınlık).
• \( q \equiv 0 \) (Hareket algılanmamış).

Sonuç: Lamba yanmıyorsa hava aydınlıktır VE hareket yoktur. 💡

Her iki açık önermeyi sağlayan \( x \) tam sayılarını bulalım:

p(x) için:

• \( x + 3 < 7 \)
• \( x < 4 \)
• Doğruluk Kümesi: \( \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \)

q(x) için:

• \( x^2 = 9 \)
• Karesi 9 olan tam sayılar \( 3 \) ve \( -3 \)'tür.
• Doğruluk Kümesi: \( \{-3, 3\} \)

Bileşik önermeyi oluşturan iki parçayı ayrı ayrı inceleyelim:

• Birinci parça (\( \forall \)): "Her reel sayının karesi 0'dan büyük veya eşittir." Bu ifade doğrudur, çünkü hiçbir reel sayının karesi negatif olamaz. Değeri 1'dir.
• İkinci parça (\( \exists \)): "Bazı tam sayılar için \( x + 1 < 0 \)'dır." Bu ifadeyi sağlayan en az bir tam sayı var mı bakalım. Örneğin \( x = -5 \) için \( -5 + 1 = -4 < 0 \) olur. Koşul sağlandığı için bu ifade de doğrudur. Değeri 1'dir.

Şimdi ve (\( \wedge \)) bağlacı ile birleştirelim:

• \( 1 \wedge 1 \equiv 1 \)
• Bileşik önermenin doğruluk değeri 1 olarak bulunur. 🎯

Öncelikle verilen bilgileri önermelere dönüştürelim:

• \( a \): Alışveriş > 100 TL (Müşteri 150 TL harcadığı için \( a \equiv 1 \))
• \( b \): İlk alışveriş (Müşteri ilk alışverişini yapmadığı için \( b \equiv 0 \))
• \( c \): Özel üye (Müşteri özel üye olduğu için \( c \equiv 1 \))

Algoritma yapısı: \( a \wedge (b \vee c) \)

• Değerleri yerine yazalım: \( 1 \wedge (0 \vee 1) \)
• Parantez içi: \( 0 \vee 1 \equiv 1 \)
• Sonuç: \( 1 \wedge 1 \equiv 1 \)

Sonuç: Doğruluk değeri 1 çıktığı için bu müşteriye indirim uygulanır. 🛍️

1. Adım: Sembolik İfade

• "Bazı" kelimesi varlıksal niteleyici olan \( \exists \) sembolü ile gösterilir.
• "Tam sayılar" kümesi \( \mathbb{Z} \) ile gösterilir.
• Önerme: \( q: \exists x \in \mathbb{Z}, x^2 < 10 \)

2. Adım: Olumsuzunu (Değilini) Bulma

Mantık kurallarına göre bir niteleyicinin olumsuzu alınırken:

• \( \exists \) sembolü \( \forall \) sembolüne dönüşür.
• \( < \) sembolü \( \geq \) sembolüne dönüşür.
• \( q': \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 \geq 10 \)

Sözel İfadesi: "Her tam sayının karesi 10'dan büyük veya eşittir." ✍️