💡 9. Sınıf Matematik: Açılar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Açılar Çözümlü Örnekler
Açının ölçüsünü \(x\) ile gösterelim. 💡
Bir açının tümleri, o açıyı \(90^\circ\) ye tamamlayan açıdır. Yani, \(90^\circ - x\).
Bir açının bütünleri, o açıyı \(180^\circ\) ye tamamlayan açıdır. Yani, \(180^\circ - x\).
Soruda verilen bilgiye göre, tümleri ile bütünlerinin toplamı \(210^\circ\) dir. Denklemi kuralım:
\[ (90^\circ - x) + (180^\circ - x) = 210^\circ \]Denklemi adım adım çözelim:
\[ 270^\circ - 2x = 210^\circ \] \[ 270^\circ - 210^\circ = 2x \] \[ 60^\circ = 2x \] \[ x = \frac{60^\circ}{2} \] \[ x = 30^\circ \]Bu durumda, aradığımız açının ölçüsü \(30^\circ\) dir. ✅
👉 İki doğru kesiştiğinde oluşan açılardan biri \(70^\circ\) ise, onun ters açısı da aynı ölçüye sahiptir. 📌 Ters açılar birbirine eşittir.
Bu nedenle, \(70^\circ\) açısının ters açısı da \(70^\circ\) dir. ✅
👉 Verilen \(70^\circ\) açıya komşu ve bütünler olan açı, bu açıyı \(180^\circ\) ye tamamlayan açıdır. Komşu ve bütünler açılar, bir doğru açı oluşturur ve toplamları \(180^\circ\) dir. 💡
Bu açıyı bulmak için \(180^\circ\) den \(70^\circ\) yi çıkarırız:
\[ 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]Bu durumda, komşu ve bütünler açının ölçüsü \(110^\circ\) dir. ✅
a) \(d_2\) doğrusunun üstünde ve solunda yer alan açının ölçüsünü bulunuz.
b) \(d_2\) doğrusunun altında ve sağında yer alan açının ölçüsünü bulunuz. 💡
📌 Verilen açı: \(A_1 = 115^\circ\) ( \(d_1\) doğrusunun üstünde ve solunda).
a) \(d_2\) doğrusunun üstünde ve solunda yer alan açı, \(A_1\) açısının yöndeş açısıdır. Paralel doğrular arasında yöndeş açıların ölçüleri eşittir. 👉
Bu nedenle, bu açının ölçüsü de \(115^\circ\) dir. ✅
b) \(d_2\) doğrusunun altında ve sağında yer alan açı, \(A_1\) açısının dış ters açısıdır. Paralel doğrular arasında dış ters açıların ölçüleri de eşittir. 👉
Bu nedenle, bu açının ölçüsü de \(115^\circ\) dir. ✅
📌 Paralel iki doğruyu kesen bir doğru olduğunda, iç bölgede ve birbirine bakan açılara karşı durumlu açılar denir. Bu açılar bütünlerdir, yani toplamları \(180^\circ\) dir. 💡
👉 Verilen açı \(85^\circ\) olduğuna göre, diğer karşı durumlu açıyı bulmak için \(180^\circ\) den çıkarırız.
\[ 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \]Bu nedenle, diğer karşı durumlu açının ölçüsü \(95^\circ\) dir. ✅
📌 Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \(180^\circ\) dir. Bu temel bir üçgen özelliğidir. 💡
👉 Verilen açıları toplayıp \(180^\circ\) den çıkararak \(C\) açısının ölçüsünü bulabiliriz.
\[ A + B + C = 180^\circ \] \[ 60^\circ + 55^\circ + C = 180^\circ \] \[ 115^\circ + C = 180^\circ \] \[ C = 180^\circ - 115^\circ \] \[ C = 65^\circ \]\(C\) açısının ölçüsü \(65^\circ\) dir. ✅
📌 Bir üçgende herhangi bir köşedeki dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bu, açılar konusunda sıklıkla kullanılan önemli bir kuraldır. 💡
👉 \(S\) köşesindeki dış açıyı bulmak için, kendisine komşu olmayan \(P\) ve \(R\) iç açılarının ölçülerini toplarız.
\[ Dış \ Açı (\angle S_{dış}) = \angle P + \angle R \] \[ Dış \ Açı (\angle S_{dış}) = 70^\circ + 45^\circ \] \[ Dış \ Açı (\angle S_{dış}) = 115^\circ \]\(S\) köşesindeki dış açının ölçüsü \(115^\circ\) dir. ✅
💡 Alternatif Çözüm: Önce \(S\) iç açısını buluruz. Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan:
\(S_{iç} = 180^\circ - (\angle P + \angle R) = 180^\circ - (70^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).
Daha sonra \(S\) dış açısı, \(S\) iç açısının bütünleri olduğu için \(180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\) olarak bulunur. Her iki yol da aynı sonuca ulaşır!
📌 Bu soruda paralel doğrular ile üçgenin iç açıları toplamı kurallarını birlikte kullanacağız. İlk olarak, paralel doğrular arasındaki iç ters açılar kuralını uygulayalım. 💡
👉 \(k // l\) olduğu için, \(AB\) doğru parçası bir kesen görevi görür. \(k\) doğrusu ile \(AB\) doğru parçası arasında oluşan \(35^\circ\) lik açı (\(\angle KAB\)), \(l\) doğrusu ile \(AB\) doğru parçası arasında oluşan \(\angle ABC\) açısının iç tersidir. İç ters açıların ölçüleri eşit olduğundan:
\[ \angle ABC = 35^\circ \]👉 Şimdi \(ABC\) üçgeninin iç açılarını biliyoruz: \(\angle ABC = 35^\circ\) ve \(\angle ACB = 70^\circ\) (soruda \(\angle ACB\) olarak belirtilmiştir). Bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\) olduğu için, \(\angle BAC\) açısını bulabiliriz.
\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \] \[ \angle BAC + 35^\circ + 70^\circ = 180^\circ \] \[ \angle BAC + 105^\circ = 180^\circ \] \[ \angle BAC = 180^\circ - 105^\circ \] \[ \angle BAC = 75^\circ \]\(BAC\) açısının ölçüsü \(75^\circ\) dir. ✅
📌 Testerenin bıçağı ve dayanak noktası, birbiriyle kesişen iki doğru parçası gibi düşünülebilir. Bu durumda, bıçak ile dayanak noktası arasında oluşan açılar, geometrideki ters açılara örnek teşkil eder. 💡
👉 Ters açıların en önemli özelliği, ölçülerinin her zaman birbirine eşit olmasıdır. Testerenin ayarlandığı açı (iç açı) \(60^\circ\) ise, bıçağın tahta parçasının diğer tarafında oluşturduğu açı da bu açının ters açısıdır.
Bu nedenle, tahta parçasının diğer tarafında oluşan açının ölçüsü de \(60^\circ\) dir. ✅
Bu prensip, günlük hayatta makas, menteşeler, köprü ayakları gibi birçok durumda karşımıza çıkar ve basit bir açı bilgisiyle pratik problemler çözmemizi sağlar.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-acilar/sorular