Bu durumda, aradığımız açının ölçüsü \(30^\circ\) dir. ✅
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri \(70^\circ\) ise, bu açıya komşu ve bütünler olan açının ölçüsünü ve ters olan açının ölçüsünü bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
👉 İki doğru kesiştiğinde oluşan açılardan biri \(70^\circ\) ise, onun ters açısı da aynı ölçüye sahiptir. 📌 Ters açılar birbirine eşittir.
Bu nedenle, \(70^\circ\) açısının ters açısı da \(70^\circ\) dir. ✅
👉 Verilen \(70^\circ\) açıya komşu ve bütünler olan açı, bu açıyı \(180^\circ\) ye tamamlayan açıdır. Komşu ve bütünler açılar, bir doğru açı oluşturur ve toplamları \(180^\circ\) dir. 💡
Bu açıyı bulmak için \(180^\circ\) den \(70^\circ\) yi çıkarırız:
\[ 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]
Bu durumda, komşu ve bütünler açının ölçüsü \(110^\circ\) dir. ✅
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\(d_1\) ve \(d_2\) doğruları birbirine paraleldir (\(d_1 // d_2\)). Bu iki doğruyu kesen bir \(d_3\) doğrusu çizilmiştir. Kesen \(d_3\) ile \(d_1\) doğrusu arasında oluşan açılardan biri \(115^\circ\) dir. Bu açı, \(d_1\) doğrusunun üstünde ve solunda yer almaktadır. Buna göre, a) \(d_2\) doğrusunun üstünde ve solunda yer alan açının ölçüsünü bulunuz. b) \(d_2\) doğrusunun altında ve sağında yer alan açının ölçüsünü bulunuz. 💡
Çözüm ve Açıklama
📌 Verilen açı: \(A_1 = 115^\circ\) ( \(d_1\) doğrusunun üstünde ve solunda).
a) \(d_2\) doğrusunun üstünde ve solunda yer alan açı, \(A_1\) açısının yöndeş açısıdır. Paralel doğrular arasında yöndeş açıların ölçüleri eşittir. 👉
Bu nedenle, bu açının ölçüsü de \(115^\circ\) dir. ✅
b) \(d_2\) doğrusunun altında ve sağında yer alan açı, \(A_1\) açısının dış ters açısıdır. Paralel doğrular arasında dış ters açıların ölçüleri de eşittir. 👉
Bu nedenle, bu açının ölçüsü de \(115^\circ\) dir. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\(k // l\) olmak üzere, \(k\) ve \(l\) paralel doğrularını kesen bir \(m\) doğrusu çiziliyor. Kesen \(m\) doğrusu ile \(k\) doğrusu arasında, iç bölgede ve birbirine bakan açılardan biri \(85^\circ\) dir. Buna göre, \(l\) doğrusu ile kesen \(m\) doğrusu arasında, iç bölgede ve diğer açıya bakan açının ölçüsü kaç derecedir? (Yani, karşı durumlu açıları bulunuz.) 🧐
Çözüm ve Açıklama
📌 Paralel iki doğruyu kesen bir doğru olduğunda, iç bölgede ve birbirine bakan açılara karşı durumlu açılar denir. Bu açılar bütünlerdir, yani toplamları \(180^\circ\) dir. 💡
👉 Verilen açı \(85^\circ\) olduğuna göre, diğer karşı durumlu açıyı bulmak için \(180^\circ\) den çıkarırız.
\[ 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \]
Bu nedenle, diğer karşı durumlu açının ölçüsü \(95^\circ\) dir. ✅
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir \(ABC\) üçgeninde, \(A\) açısının ölçüsü \(60^\circ\), \(B\) açısının ölçüsü \(55^\circ\) dir. Buna göre, \(C\) açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm ve Açıklama
📌 Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \(180^\circ\) dir. Bu temel bir üçgen özelliğidir. 💡
👉 Verilen açıları toplayıp \(180^\circ\) den çıkararak \(C\) açısının ölçüsünü bulabiliriz.
\[ A + B + C = 180^\circ \]
\[ 60^\circ + 55^\circ + C = 180^\circ \]
\[ 115^\circ + C = 180^\circ \]
\[ C = 180^\circ - 115^\circ \]
\[ C = 65^\circ \]
\(C\) açısının ölçüsü \(65^\circ\) dir. ✅
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir \(PRS\) üçgeninde, \(P\) açısının ölçüsü \(70^\circ\) ve \(R\) açısının ölçüsü \(45^\circ\) dir. \(S\) köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir? 📏
Çözüm ve Açıklama
📌 Bir üçgende herhangi bir köşedeki dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bu, açılar konusunda sıklıkla kullanılan önemli bir kuraldır. 💡
👉 \(S\) köşesindeki dış açıyı bulmak için, kendisine komşu olmayan \(P\) ve \(R\) iç açılarının ölçülerini toplarız.
\[ Dış \ Açı (\angle S_{dış}) = \angle P + \angle R \]
\[ Dış \ Açı (\angle S_{dış}) = 70^\circ + 45^\circ \]
\[ Dış \ Açı (\angle S_{dış}) = 115^\circ \]
\(S\) köşesindeki dış açının ölçüsü \(115^\circ\) dir. ✅
💡 Alternatif Çözüm: Önce \(S\) iç açısını buluruz. Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan: \(S_{iç} = 180^\circ - (\angle P + \angle R) = 180^\circ - (70^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\). Daha sonra \(S\) dış açısı, \(S\) iç açısının bütünleri olduğu için \(180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\) olarak bulunur. Her iki yol da aynı sonuca ulaşır!
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir kağıda, birbirine paralel iki \(k\) ve \(l\) doğrusu çizilmiştir. \(k\) doğrusu üzerinde bir \(A\) noktası, \(l\) doğrusu üzerinde ise \(B\) ve \(C\) noktaları işaretlenmiştir. \(AB\) doğru parçası çizildiğinde, \(k\) doğrusu ile \(AB\) doğru parçası arasında oluşan ve iç bölgede kalan açı (\(\angle KAB\)) \(35^\circ\) olarak ölçülmüştür. (\(K\) noktası \(A\) noktasının \(k\) doğrusu üzerindeki sol tarafında bir nokta olarak düşünülebilir.) \(AC\) doğru parçası çizildiğinde ise, \(l\) doğrusu ile \(AC\) doğru parçası arasında oluşan ve iç bölgede kalan açı (\(\angle ACB\)) \(70^\circ\) olarak ölçülmüştür. Buna göre, \(BAC\) açısının ölçüsü (\(\angle BAC\)) kaç derecedir? 🤔 (Burada \(A\) noktası \(k\) üzerinde, \(B\) ve \(C\) noktaları \(l\) üzerinde ve \(B\), \(C\) noktaları \(l\) üzerinde farklı yerlerdedir.)
Çözüm ve Açıklama
📌 Bu soruda paralel doğrular ile üçgenin iç açıları toplamı kurallarını birlikte kullanacağız. İlk olarak, paralel doğrular arasındaki iç ters açılar kuralını uygulayalım. 💡
👉 \(k // l\) olduğu için, \(AB\) doğru parçası bir kesen görevi görür. \(k\) doğrusu ile \(AB\) doğru parçası arasında oluşan \(35^\circ\) lik açı (\(\angle KAB\)), \(l\) doğrusu ile \(AB\) doğru parçası arasında oluşan \(\angle ABC\) açısının iç tersidir. İç ters açıların ölçüleri eşit olduğundan:
\[ \angle ABC = 35^\circ \]
👉 Şimdi \(ABC\) üçgeninin iç açılarını biliyoruz: \(\angle ABC = 35^\circ\) ve \(\angle ACB = 70^\circ\) (soruda \(\angle ACB\) olarak belirtilmiştir). Bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\) olduğu için, \(\angle BAC\) açısını bulabiliriz.
Bir marangoz, bir tahta parçasını kesmek için açı ayarlı bir testere kullanmaktadır. Testerenin bıçağı ile dayanak noktası arasındaki açı \(60^\circ\) olarak ayarlanmıştır. Testere bu ayarda çalışırken, bıçağın kestiği tahta parçasının diğer tarafında oluşan açının ölçüsü kaç derecedir? (Testerenin bıçağı ve dayanak noktası kesişen iki doğru parçası gibi düşünülebilir.) ✂️
Çözüm ve Açıklama
📌 Testerenin bıçağı ve dayanak noktası, birbiriyle kesişen iki doğru parçası gibi düşünülebilir. Bu durumda, bıçak ile dayanak noktası arasında oluşan açılar, geometrideki ters açılara örnek teşkil eder. 💡
👉 Ters açıların en önemli özelliği, ölçülerinin her zaman birbirine eşit olmasıdır. Testerenin ayarlandığı açı (iç açı) \(60^\circ\) ise, bıçağın tahta parçasının diğer tarafında oluşturduğu açı da bu açının ters açısıdır.
Bu nedenle, tahta parçasının diğer tarafında oluşan açının ölçüsü de \(60^\circ\) dir. ✅
Bu prensip, günlük hayatta makas, menteşeler, köprü ayakları gibi birçok durumda karşımıza çıkar ve basit bir açı bilgisiyle pratik problemler çözmemizi sağlar.
9. Sınıf Matematik: Açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir açının tümleri ile bütünlerinin toplamı \(210^\circ\) ise, bu açının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Açının ölçüsünü \(x\) ile gösterelim. 💡
Bir açının tümleri, o açıyı \(90^\circ\) ye tamamlayan açıdır. Yani, \(90^\circ - x\).
Bir açının bütünleri, o açıyı \(180^\circ\) ye tamamlayan açıdır. Yani, \(180^\circ - x\).
Soruda verilen bilgiye göre, tümleri ile bütünlerinin toplamı \(210^\circ\) dir. Denklemi kuralım:
Bu durumda, aradığımız açının ölçüsü \(30^\circ\) dir. ✅
Örnek 2:
Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri \(70^\circ\) ise, bu açıya komşu ve bütünler olan açının ölçüsünü ve ters olan açının ölçüsünü bulunuz. 📐
Çözüm:
👉 İki doğru kesiştiğinde oluşan açılardan biri \(70^\circ\) ise, onun ters açısı da aynı ölçüye sahiptir. 📌 Ters açılar birbirine eşittir.
Bu nedenle, \(70^\circ\) açısının ters açısı da \(70^\circ\) dir. ✅
👉 Verilen \(70^\circ\) açıya komşu ve bütünler olan açı, bu açıyı \(180^\circ\) ye tamamlayan açıdır. Komşu ve bütünler açılar, bir doğru açı oluşturur ve toplamları \(180^\circ\) dir. 💡
Bu açıyı bulmak için \(180^\circ\) den \(70^\circ\) yi çıkarırız:
\[ 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]
Bu durumda, komşu ve bütünler açının ölçüsü \(110^\circ\) dir. ✅
Örnek 3:
\(d_1\) ve \(d_2\) doğruları birbirine paraleldir (\(d_1 // d_2\)). Bu iki doğruyu kesen bir \(d_3\) doğrusu çizilmiştir. Kesen \(d_3\) ile \(d_1\) doğrusu arasında oluşan açılardan biri \(115^\circ\) dir. Bu açı, \(d_1\) doğrusunun üstünde ve solunda yer almaktadır. Buna göre, a) \(d_2\) doğrusunun üstünde ve solunda yer alan açının ölçüsünü bulunuz. b) \(d_2\) doğrusunun altında ve sağında yer alan açının ölçüsünü bulunuz. 💡
Çözüm:
📌 Verilen açı: \(A_1 = 115^\circ\) ( \(d_1\) doğrusunun üstünde ve solunda).
a) \(d_2\) doğrusunun üstünde ve solunda yer alan açı, \(A_1\) açısının yöndeş açısıdır. Paralel doğrular arasında yöndeş açıların ölçüleri eşittir. 👉
Bu nedenle, bu açının ölçüsü de \(115^\circ\) dir. ✅
b) \(d_2\) doğrusunun altında ve sağında yer alan açı, \(A_1\) açısının dış ters açısıdır. Paralel doğrular arasında dış ters açıların ölçüleri de eşittir. 👉
Bu nedenle, bu açının ölçüsü de \(115^\circ\) dir. ✅
Örnek 4:
\(k // l\) olmak üzere, \(k\) ve \(l\) paralel doğrularını kesen bir \(m\) doğrusu çiziliyor. Kesen \(m\) doğrusu ile \(k\) doğrusu arasında, iç bölgede ve birbirine bakan açılardan biri \(85^\circ\) dir. Buna göre, \(l\) doğrusu ile kesen \(m\) doğrusu arasında, iç bölgede ve diğer açıya bakan açının ölçüsü kaç derecedir? (Yani, karşı durumlu açıları bulunuz.) 🧐
Çözüm:
📌 Paralel iki doğruyu kesen bir doğru olduğunda, iç bölgede ve birbirine bakan açılara karşı durumlu açılar denir. Bu açılar bütünlerdir, yani toplamları \(180^\circ\) dir. 💡
👉 Verilen açı \(85^\circ\) olduğuna göre, diğer karşı durumlu açıyı bulmak için \(180^\circ\) den çıkarırız.
\[ 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \]
Bu nedenle, diğer karşı durumlu açının ölçüsü \(95^\circ\) dir. ✅
Örnek 5:
Bir \(ABC\) üçgeninde, \(A\) açısının ölçüsü \(60^\circ\), \(B\) açısının ölçüsü \(55^\circ\) dir. Buna göre, \(C\) açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
📌 Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \(180^\circ\) dir. Bu temel bir üçgen özelliğidir. 💡
👉 Verilen açıları toplayıp \(180^\circ\) den çıkararak \(C\) açısının ölçüsünü bulabiliriz.
\[ A + B + C = 180^\circ \]
\[ 60^\circ + 55^\circ + C = 180^\circ \]
\[ 115^\circ + C = 180^\circ \]
\[ C = 180^\circ - 115^\circ \]
\[ C = 65^\circ \]
\(C\) açısının ölçüsü \(65^\circ\) dir. ✅
Örnek 6:
Bir \(PRS\) üçgeninde, \(P\) açısının ölçüsü \(70^\circ\) ve \(R\) açısının ölçüsü \(45^\circ\) dir. \(S\) köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir? 📏
Çözüm:
📌 Bir üçgende herhangi bir köşedeki dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bu, açılar konusunda sıklıkla kullanılan önemli bir kuraldır. 💡
👉 \(S\) köşesindeki dış açıyı bulmak için, kendisine komşu olmayan \(P\) ve \(R\) iç açılarının ölçülerini toplarız.
\[ Dış \ Açı (\angle S_{dış}) = \angle P + \angle R \]
\[ Dış \ Açı (\angle S_{dış}) = 70^\circ + 45^\circ \]
\[ Dış \ Açı (\angle S_{dış}) = 115^\circ \]
\(S\) köşesindeki dış açının ölçüsü \(115^\circ\) dir. ✅
💡 Alternatif Çözüm: Önce \(S\) iç açısını buluruz. Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan: \(S_{iç} = 180^\circ - (\angle P + \angle R) = 180^\circ - (70^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\). Daha sonra \(S\) dış açısı, \(S\) iç açısının bütünleri olduğu için \(180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\) olarak bulunur. Her iki yol da aynı sonuca ulaşır!
Örnek 7:
Bir kağıda, birbirine paralel iki \(k\) ve \(l\) doğrusu çizilmiştir. \(k\) doğrusu üzerinde bir \(A\) noktası, \(l\) doğrusu üzerinde ise \(B\) ve \(C\) noktaları işaretlenmiştir. \(AB\) doğru parçası çizildiğinde, \(k\) doğrusu ile \(AB\) doğru parçası arasında oluşan ve iç bölgede kalan açı (\(\angle KAB\)) \(35^\circ\) olarak ölçülmüştür. (\(K\) noktası \(A\) noktasının \(k\) doğrusu üzerindeki sol tarafında bir nokta olarak düşünülebilir.) \(AC\) doğru parçası çizildiğinde ise, \(l\) doğrusu ile \(AC\) doğru parçası arasında oluşan ve iç bölgede kalan açı (\(\angle ACB\)) \(70^\circ\) olarak ölçülmüştür. Buna göre, \(BAC\) açısının ölçüsü (\(\angle BAC\)) kaç derecedir? 🤔 (Burada \(A\) noktası \(k\) üzerinde, \(B\) ve \(C\) noktaları \(l\) üzerinde ve \(B\), \(C\) noktaları \(l\) üzerinde farklı yerlerdedir.)
Çözüm:
📌 Bu soruda paralel doğrular ile üçgenin iç açıları toplamı kurallarını birlikte kullanacağız. İlk olarak, paralel doğrular arasındaki iç ters açılar kuralını uygulayalım. 💡
👉 \(k // l\) olduğu için, \(AB\) doğru parçası bir kesen görevi görür. \(k\) doğrusu ile \(AB\) doğru parçası arasında oluşan \(35^\circ\) lik açı (\(\angle KAB\)), \(l\) doğrusu ile \(AB\) doğru parçası arasında oluşan \(\angle ABC\) açısının iç tersidir. İç ters açıların ölçüleri eşit olduğundan:
\[ \angle ABC = 35^\circ \]
👉 Şimdi \(ABC\) üçgeninin iç açılarını biliyoruz: \(\angle ABC = 35^\circ\) ve \(\angle ACB = 70^\circ\) (soruda \(\angle ACB\) olarak belirtilmiştir). Bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\) olduğu için, \(\angle BAC\) açısını bulabiliriz.
Bir marangoz, bir tahta parçasını kesmek için açı ayarlı bir testere kullanmaktadır. Testerenin bıçağı ile dayanak noktası arasındaki açı \(60^\circ\) olarak ayarlanmıştır. Testere bu ayarda çalışırken, bıçağın kestiği tahta parçasının diğer tarafında oluşan açının ölçüsü kaç derecedir? (Testerenin bıçağı ve dayanak noktası kesişen iki doğru parçası gibi düşünülebilir.) ✂️
Çözüm:
📌 Testerenin bıçağı ve dayanak noktası, birbiriyle kesişen iki doğru parçası gibi düşünülebilir. Bu durumda, bıçak ile dayanak noktası arasında oluşan açılar, geometrideki ters açılara örnek teşkil eder. 💡
👉 Ters açıların en önemli özelliği, ölçülerinin her zaman birbirine eşit olmasıdır. Testerenin ayarlandığı açı (iç açı) \(60^\circ\) ise, bıçağın tahta parçasının diğer tarafında oluşturduğu açı da bu açının ters açısıdır.
Bu nedenle, tahta parçasının diğer tarafında oluşan açının ölçüsü de \(60^\circ\) dir. ✅
Bu prensip, günlük hayatta makas, menteşeler, köprü ayakları gibi birçok durumda karşımıza çıkar ve basit bir açı bilgisiyle pratik problemler çözmemizi sağlar.