💡 9. Sınıf Edebiyat: Standart sapma Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için şu adımları izleyelim:

• Adım 1: Aritmetik Ortalamayı Hesaplama
  Önce notların aritmetik ortalamasını bulalım.
  Ortalama \( \bar{x} = \frac{70 + 80 + 90 + 60 + 100}{5} = \frac{300}{5} = 60 \)
• Adım 2: Her Bir Verinin Ortalamadan Farkının Karesini Alma
  Her bir notun ortalamadan farkını alıp karesini hesaplayalım.
  \( (70-60)^2 = 10^2 = 100 \)
  \( (80-60)^2 = 20^2 = 400 \)
  \( (90-60)^2 = 30^2 = 900 \)
  \( (60-60)^2 = 0^2 = 0 \)
  \( (100-60)^2 = 40^2 = 1600 \)
• Adım 3: Kare Farkların Ortalamasını (Varyansı) Hesaplama
  Bulduğumuz kare farkların ortalamasını alalım.
  Varyans \( \sigma^2 = \frac{100 + 400 + 900 + 0 + 1600}{5} = \frac{3000}{5} = 600 \)
• Adım 4: Standart Sapmayı Hesaplama
  Varyansın karekökünü alarak standart sapmayı bulalım.
  Standart Sapma \( \sigma = \sqrt{600} \approx 24.49 \)

Sonuç olarak, bu notların standart sapması yaklaşık 24.49'dur. ✅

Standart sapmayı adım adım hesaplayalım:

• Adım 1: Aritmetik Ortalama
  Verilen sayıların toplamını, veri sayısına bölelim.
  Ortalama \( \bar{x} = \frac{50 + 55 + 60 + 45 + 70 + 65}{6} = \frac{345}{6} = 57.5 \) kg
• Adım 2: Ortalamadan Farkların Kareleri
  Her bir veri noktasının ortalamadan farkının karesini alalım.
  \( (50 - 57.5)^2 = (-7.5)^2 = 56.25 \)
  \( (55 - 57.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25 \)
  \( (60 - 57.5)^2 = (2.5)^2 = 6.25 \)
  \( (45 - 57.5)^2 = (-12.5)^2 = 156.25 \)
  \( (70 - 57.5)^2 = (12.5)^2 = 156.25 \)
  \( (65 - 57.5)^2 = (7.5)^2 = 56.25 \)
• Adım 3: Varyans (Kare Farkların Ortalaması)
  Bulduğumuz kare farkları toplayıp veri sayısına bölelim.
  Varyans \( \sigma^2 = \frac{56.25 + 6.25 + 6.25 + 156.25 + 156.25 + 56.25}{6} = \frac{437.5}{6} \approx 72.92 \)
• Adım 4: Standart Sapma
  Varyansın karekökünü alalım.
  Standart Sapma \( \sigma = \sqrt{72.92} \approx 8.54 \) kg

Bu manavın sattığı elma miktarlarının standart sapması yaklaşık 8.54 kg'dır. 📈

Bu soruyu çözmek için öncelikle her iki durumdaki standart sapmayı hesaplayıp karşılaştırmalıyız:

• Durum 1: Orijinal Notlar (80, 70, 90, 60)
  Ortalama \( \bar{x}_1 = \frac{80 + 70 + 90 + 60}{4} = \frac{300}{4} = 75 \)
  Kare farklar: \( (80-75)^2=25, (70-75)^2=25, (90-75)^2=225, (60-75)^2=225 \)
  Varyans \( \sigma_1^2 = \frac{25 + 25 + 225 + 225}{4} = \frac{500}{4} = 125 \)
  Standart Sapma \( \sigma_1 = \sqrt{125} \approx 11.18 \)
• Durum 2: Bir Nota 10 Puan Eklendi (90, 70, 90, 60)
  Ortalama \( \bar{x}_2 = \frac{90 + 70 + 90 + 60}{4} = \frac{310}{4} = 77.5 \)
  Kare farklar: \( (90-77.5)^2=156.25, (70-77.5)^2=56.25, (90-77.5)^2=156.25, (60-77.5)^2=306.25 \)
  Varyans \( \sigma_2^2 = \frac{156.25 + 56.25 + 156.25 + 306.25}{4} = \frac{675}{4} = 168.75 \)
  Standart Sapma \( \sigma_2 = \sqrt{168.75} \approx 12.99 \)

Karşılaştırma:
\( \sigma_1 \approx 11.18 \) ve \( \sigma_2 \approx 12.99 \). Görüldüğü gibi, \( \sigma_2 > \sigma_1 \). 🤔
Açıklama: Bir veri setine değer eklemek veya çıkarmak, ortalamayı değiştirir. Eğer eklenen değer ortalamadan uzaksa, veri setindeki dağılım artar. Bu durumda, 80 olan notun 90'a yükselmesi, ortalamayı 75'ten 77.5'e çekmiş ve veri setinin genel dağılımını (yayılımını) artırmıştır. Bu nedenle standart sapma \( \sigma_2 \), \( \sigma_1 \)'den daha büyük olmuştur. ⬆️

Fırının üretimindeki değişkenliği standart sapma ile ölçelim:

• Adım 1: Aritmetik Ortalama
  Günlük ekmek üretimlerinin ortalamasını bulalım.
  Ortalama \( \bar{x} = \frac{150 + 160 + 140 + 170 + 180}{5} = \frac{800}{5} = 160 \) adet
• Adım 2: Ortalamadan Farkların Kareleri
  Her gün üretilen ekmek sayısının ortalamadan farkının karesini hesaplayalım.
  \( (150-160)^2 = (-10)^2 = 100 \)
  \( (160-160)^2 = 0^2 = 0 \)
  \( (140-160)^2 = (-20)^2 = 400 \)
  \( (170-160)^2 = 10^2 = 100 \)
  \( (180-160)^2 = 20^2 = 400 \)
• Adım 3: Varyans (Kare Farkların Ortalaması)
  Hesapladığımız kare farkların ortalamasını alalım.
  Varyans \( \sigma^2 = \frac{100 + 0 + 400 + 100 + 400}{5} = \frac{1000}{5} = 200 \)
• Adım 4: Standart Sapma
  Varyansın karekökünü alarak standart sapmayı bulalım.
  Standart Sapma \( \sigma = \sqrt{200} \approx 14.14 \) adet

Yorum:
Fırının ekmek üretimindeki standart sapma yaklaşık 14.14 adettir. Bu değer, günlük üretim miktarlarının ortalamadan ortalama ne kadar saptığını gösterir. Daha yüksek bir standart sapma, üretimde daha fazla dalgalanma olduğunu ifade ederken, daha düşük bir standart sapma daha istikrarlı bir üretim sürecini gösterir. Bu değer, orta düzeyde bir değişkenlik olduğunu düşündürmektedir. ⚖️

Bu problemi çözmek için öncelikle mevcut durumu ve sonra yeni durumu analiz edelim:

• Mevcut Durum:
  Grup sayısı \( n_1 = 7 \)
  Yaş ortalaması \( \bar{x}_1 = 25 \)
  Standart sapma \( \sigma_1 = 5 \)
  Toplam yaş \( T_1 = n_1 \times \bar{x}_1 = 7 \times 25 = 175 \)
  Varyans \( \sigma_1^2 = 25 \)
  Kare farkların toplamı \( \sum (x_i - \bar{x}_1)^2 = n_1 \times \sigma_1^2 = 7 \times 25 = 175 \)
• Yeni Durum:
  Gruba katılan kişi yaşı = 30
  Yeni grup sayısı \( n_2 = n_1 + 1 = 7 + 1 = 8 \)
  Yeni toplam yaş \( T_2 = T_1 + 30 = 175 + 30 = 205 \)
  Yeni yaş ortalaması \( \bar{x}_2 = \frac{T_2}{n_2} = \frac{205}{8} = 25.625 \)
• Yeni Standart Sapma Hesabı:
  Yeni standart sapmayı hesaplamak için her bir kişinin yeni ortalamadan farkının karesini alıp toplamalıyız. Ancak bu, mevcut veriler olmadan doğrudan mümkün değildir. Standart sapmanın değişimi, yeni eklenen değerin mevcut ortalamadan ne kadar uzak olduğuna bağlıdır. Katılan kişinin yaşı (30), mevcut ortalamadan (25) daha yüksektir. Bu durum, veri setindeki yayılımı artıracaktır. Kesin hesaplama için ilk 7 kişinin yaşlarını bilmek gerekir. Ancak, ortalamanın artması ve dağılımın genişlemesi beklenebilir. ⬆️
  Not: Bu tür sorular, genellikle ortalamanın ve standart sapmanın nasıl etkilendiğini kavramaya yöneliktir. Kesin standart sapma değeri, ilk 7 kişinin yaş dağılımını bilmeden hesaplanamaz. Ancak, yeni ortalamanın 25.625'e yükseldiği kesindir.

Yeni grubun yaş ortalaması 25.625 olacaktır. Standart sapma ise, ortalamadan daha yüksek bir değer eklendiği için artacaktır. 📈

Boy uzunluklarının standart sapmasını adım adım bulalım:

• Adım 1: Aritmetik Ortalama
  Verilen boy uzunluklarının ortalamasını hesaplayalım.
  Ortalama \( \bar{x} = \frac{155 + 160 + 150 + 165 + 158 + 162}{6} = \frac{950}{6} \approx 158.33 \) cm
• Adım 2: Ortalamadan Farkların Kareleri
  Her bir boy uzunluğunun ortalamadan farkının karesini alalım.
  \( (155 - 158.33)^2 \approx (-3.33)^2 \approx 11.09 \)
  \( (160 - 158.33)^2 \approx (1.67)^2 \approx 2.79 \)
  \( (150 - 158.33)^2 \approx (-8.33)^2 \approx 69.39 \)
  \( (165 - 158.33)^2 \approx (6.67)^2 \approx 44.49 \)
  \( (158 - 158.33)^2 \approx (-0.33)^2 \approx 0.11 \)
  \( (162 - 158.33)^2 \approx (3.67)^2 \approx 13.47 \)
• Adım 3: Varyans (Kare Farkların Ortalaması)
  Bulduğumuz kare farkları toplayıp veri sayısına bölelim.
  Varyans \( \sigma^2 = \frac{11.09 + 2.79 + 69.39 + 44.49 + 0.11 + 13.47}{6} = \frac{141.34}{6} \approx 23.56 \)
• Adım 4: Standart Sapma
  Varyansın karekökünü alalım.
  Standart Sapma \( \sigma = \sqrt{23.56} \approx 4.85 \) cm

Bu öğrencilerin boy uzunluklarının standart sapması yaklaşık 4.85 cm'dir. Bu, boyların ortalama etrafında ne kadar yayıldığını gösterir. 📏

Şirketin karındaki dalgalanmayı standart sapma ile inceleyelim:

• Adım 1: Aritmetik Ortalama
  Dört çeyrekteki karın ortalamasını hesaplayalım.
  Ortalama \( \bar{x} = \frac{12 + 15 + 10 + 18}{4} = \frac{55}{4} = 13.75 \) milyon TL
• Adım 2: Ortalamadan Farkların Kareleri
  Her bir çeyrek karının ortalamadan farkının karesini alalım.
  \( (12 - 13.75)^2 = (-1.75)^2 = 3.0625 \)
  \( (15 - 13.75)^2 = (1.25)^2 = 1.5625 \)
  \( (10 - 13.75)^2 = (-3.75)^2 = 14.0625 \)
  \( (18 - 13.75)^2 = (4.25)^2 = 18.0625 \)
• Adım 3: Varyans (Kare Farkların Ortalaması)
  Bulduğumuz kare farkların ortalamasını alalım.
  Varyans \( \sigma^2 = \frac{3.0625 + 1.5625 + 14.0625 + 18.0625}{4} = \frac{36.75}{4} = 9.1875 \)
• Adım 4: Standart Sapma
  Varyansın karekökünü alalım.
  Standart Sapma \( \sigma = \sqrt{9.1875} \approx 3.03 \) milyon TL

Yorum:
Şirketin son 4 çeyrekteki karının standart sapması yaklaşık 3.03 milyon TL'dir. Bu değer, şirketin karında ortalama etrafında belirli bir dalgalanma olduğunu göstermektedir. Standart sapmanın bu seviyede olması, karın çeyrekten çeyreğe orta düzeyde değiştiğini ifade eder. 📊

Standart sapmanın 0 olması, veri setindeki tüm değerlerin birbirine eşit olduğu anlamına gelir. 💡

Şöyle açıklayalım:

• Standart sapma, verilerin aritmetik ortalamadan ne kadar yayıldığını ölçer.
• Eğer standart sapma 0 ise, bu, verilerin ortalamadan hiçbir sapma göstermediği anlamına gelir.
• Bu durum ancak ve ancak veri setindeki tüm değerlerin birbirine eşit olmasıyla mümkündür.

Örnek:
Eğer bir veri seti {5, 5, 5, 5} ise:
Ortalama \( \bar{x} = \frac{5+5+5+5}{4} = 5 \)
Her bir verinin ortalamadan farkı 0'dır: \( (5-5)=0 \).
Kare farkların ortalaması (varyans) 0 olur: \( \frac{0+0+0+0}{4} = 0 \).
Standart sapma \( \sigma = \sqrt{0} = 0 \). ✅

Dolayısıyla, standart sapması 0 olan bir veri seti, homojen bir veri setidir; yani tüm elemanları aynıdır.

Bu soruyu çözmek için standart sapmanın ne anlama geldiğini hatırlayalım:

• Standart Sapma: Bir veri setindeki değerlerin, ortalamadan ne kadar uzakta yayıldığını gösteren bir ölçüdür.
• Yorumlama:
• Daha küçük bir standart sapma, verilerin ortalamaya daha yakın olduğunu ve dolayısıyla daha homojen (daha az değişken) olduğunu gösterir.
• Daha büyük bir standart sapma, verilerin ortalamadan daha uzak yayıldığını ve dolayısıyla daha heterojen (daha çok değişken) olduğunu gösterir.

Uygulama:

• Grup A'nın standart sapması: 15
• Grup B'nin standart sapması: 8

Grup B'nin standart sapması (8), Grup A'nın standart sapmasından (15) daha küçüktür. 📉

Sonuç:
Bu nedenle, Grup B'nin sınav sonuçları, Grup A'nın sınav sonuçlarına göre daha homojendir. Yani, Grup B'deki öğrencilerin puanları birbirine daha yakındır ve ortalamadan daha az sapma göstermektedir. 👍