💡 9. Sınıf Edebiyat: Mantık Çözümlü Örnekler

Doğru bir önerme, doğruluğu veya yanlışlığı kesin olarak bilinebilen ifadelerdir.

• A seçeneğindeki ifade yanlıştır. Çünkü 2, 4, 6 gibi çift sayılar tek sayı değildir.
• B seçeneğindeki ifade doğrudur. 2 ile 3'ün toplamı 5'tir.
• C seçeneğindeki ifade bir dilek veya tahmindir. Doğruluğu kesin değildir.
• D seçeneğindeki ifade yanlıştır. En büyük negatif tam sayı -1'dir.

Bu nedenle doğru cevap B seçeneğidir. ✅

Verilen önerme "p ise q" biçimindedir. Burada:

• p: "Bugün hava güneşli"
• q: "Pikniğe gideriz"

Önermenin karşıt tersi ise "q' değil ise p' değil" biçimindedir.

• q' değil: "Pikniğe gitmeyiz."
• p' değil: "Bugün hava güneşli değil."

Bu durumda karşıt tersi önermesi: "Pikniğe gitmezsek, bugün hava güneşli değil demektir." olur. 👉

Verilen önermelerin doğruluk değerleri şöyledir:

• p ≡ 1
• q ≡ 1
• r ≡ 0

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• p ∧ q : 1 ∧ 1 ≡ 1 (Doğru)
• p ∨ r : 1 ∨ 0 ≡ 1 (Doğru)
• p ⇒ r : 1 ⇒ 0 ≡ 0 (Yanlış)
• q ⇔ r : 1 ⇔ 0 ≡ 0 (Yanlış)
• p' ∨ q : 0 ∨ 1 ≡ 1 (Doğru)
• p ∧ r' : 1 ∧ 1 ≡ 1 (Doğru)

Birden fazla seçeneğin doğruluk değeri 1 çıkmıştır. Soruda "hangisinin" diye sorulduğu için, bu tür sorularda genellikle ilk doğru bulunan cevap veya seçeneklerdeki ilk doğru ifade dikkate alınır. Eğer seçenekler verilseydi, o seçeneklere göre net bir cevap olurdu. Ancak genel mantıkla, p ∧ q bileşik önermesi 1'dir. 💡

Bu tür genelleme içeren önermelerin olumsuzu alınırken, "herkes" ifadesi "bazıları" veya "en az bir kişi" şeklinde değişir ve cümlenin yüklemi de olumsuza çevrilir.

• "Herkes zekidir." önermesinin olumsuzu: "Bazı insanlar zeki değildir." veya "En az bir kişi zeki değildir." şeklinde olur.

Bu, mantıkta niceleyicilerin (∀: her, ∃: bazı) kullanımıyla ilgilidir. 📌

(p ∨ q) ⇒ r' önermesinin doğruluk değerinin 0 olması için, bir "ise" (⇒) bağlacında sonucun 0 olması gerekir. Bu durum yalnızca 1 ⇒ 0 şeklinde gerçekleşir.

Bu durumda:

• (p ∨ q) ≡ 1 olmalıdır.
• r' ≡ 0 olmalıdır.

Şimdi bu bilgileri kullanarak önermelerin doğruluk değerlerini bulalım:

• r' ≡ 0 ise, r ≡ 1'dir. Bu, "Can 11 yaşındadır" önermesinin doğru olduğu anlamına gelir. Yani Can 11 yaşındadır.
• (p ∨ q) ≡ 1 olması için p veya q'dan en az birinin doğru olması gerekir.
• Eğer p doğruysa (Ayşe 10 yaşındaysa) ve q yanlışsa (Burcu 12 yaşında değilse), (1 ∨ 0) ≡ 1 olur.
• Eğer p yanlışsa (Ayşe 10 yaşında değilse) ve q doğruysa (Burcu 12 yaşındaysa), (0 ∨ 1) ≡ 1 olur.
• Eğer hem p hem de q doğruysa (Ayşe 10 yaşında ve Burcu 12 yaşındaysa), (1 ∨ 1) ≡ 1 olur.

Ancak soruda yaşları sırasıyla istediği için, genellikle bu tür sorularda her bir önermenin kendi başına bir durumu temsil ettiği varsayılır. En net senaryo, p'nin doğru ve q'nun yanlış olmasıdır, çünkü (p ∨ q) ifadesinin 1 olması için bu yeterlidir ve diğer durumlar da mümkündür. Ancak sorunun tek bir cevabı olması için, p'nin doğru ve q'nun yanlış olduğunu varsayalım (veya tam tersi). Eğer p doğruysa Ayşe 10 yaşındadır. Eğer q yanlışsa Burcu 12 yaşında değildir.

En olası çözüm:

• Can'ın yaşı: 11 (çünkü r ≡ 1)
• Ayşe'nin yaşı: 10 (çünkü p ≡ 1, (p ∨ q) ≡ 1 olması için yeterli)
• Burcu'nun yaşı: 12'den farklı bir sayı olmalı (çünkü q ≡ 0 varsaydık ki (p ∨ q) ≡ 1 olsun). Eğer soruda tek bir yaş belirtilmesi gerekiyorsa, bu durumda Ayşe (10), Burcu (12'den farklı), Can (11) şeklinde olur. Ancak eğer p ve q'nun doğrulukları farklı kombinasyonlarda da (p ∨ q) ≡ 1 yapıyorsa, bu durum belirsizlik yaratır.

Sorunun net bir cevabı olması için, genellikle şu yorum yapılır:

• r' ≡ 0 ⇒ r ≡ 1 (Can 11 yaşındadır)
• (p ∨ q) ≡ 1
• Eğer p ≡ 1 (Ayşe 10 yaşında) ve q ≡ 0 (Burcu 12 yaşında değil) ise, (1 ∨ 0) = 1 olur.
• Eğer p ≡ 0 (Ayşe 10 yaşında değil) ve q ≡ 1 (Burcu 12 yaşında) ise, (0 ∨ 1) = 1 olur.

Soruda yaşları sırasıyla istendiği için, en yaygın kabul gören yorum şudur: Ayşe (p), Burcu (q), Can (r). Bu durumda, eğer p doğruysa Ayşe 10, q yanlışsa Burcu 12 değil, r doğruysa Can 11 yaşındadır. Eğer p yanlışsa Ayşe 10 değil, q doğruysa Burcu 12, r doğruysa Can 11 yaşındadır.

Sorunun tek bir cevabı olması için genellikle p=1 ve q=0 kabul edilir.

Bu durumda yaşlar sırasıyla: Ayşe: 10, Burcu: 12'den farklı bir yaş (örneğin 13), Can: 11 olur. Eğer Burcu'nun yaşının da kesin belirtilmesi isteniyorsa, soruda ek bilgi olmalı. Ancak mevcut haliyle, Ayşe 10, Can 11, Burcu ise 12 değildir.

Önemli Not: Bu tür sorularda, önermelerin doğruluk değerlerinin tek bir kombinasyonunu sağlaması beklenir. Eğer p=1 ve q=1 olsaydı, (1 ∨ 1) = 1 olurdu. Eğer p=0 ve q=0 olsaydı, (0 ∨ 0) = 0 olurdu ki bu istenmiyor.

Dolayısıyla, en mantıklı ve tekil cevap için: Ayşe 10, Burcu 12'den farklı, Can 11'dir. Eğer soruda Burcu'nun yaşının da tam olarak verilmesi gerekiyorsa, muhtemelen p=1, q=0 ve Burcu'nun yaşının 12 olmadığı belirtilir.

Eğer p=0 ve q=1 olsaydı: Ayşe 10'dan farklı, Burcu 12, Can 11 olurdu.

Sorunun en net cevabı için, genellikle Ayşe: 10, Burcu: 12'den farklı, Can: 11 kabul edilir.

Bu durumu mantık önermeleriyle ifade edebiliriz:

• p: "100 TL ve üzeri alışveriş yaptınız."
• q: "Size %10 indirim uygulanır."

Kasa görevlisinin ifadesi, "p ise q" yani p ⇒ q biçimindedir. Bu, "Eğer 100 TL ve üzeri alışveriş yaparsanız, o zaman size %10 indirim uygulanır." anlamına gelir. 💡

Bir önermenin çelişki olması, doğruluk değerinin her zaman 0 olması demektir.

• p ∧ p' : Bir önermenin kendisiyle değilinin aynı anda doğru olması mümkün değildir. Bu nedenle bu ifade her zaman yanlıştır (0).
• p ∨ p' : Bir önermenin kendisi veya değili her zaman doğrudur (1).
• p ⇒ p : Bir önermenin kendisine koşullu önermesi her zaman doğrudur (1).

Bu nedenle, p ∧ p' bir çelişkidir. ✅

Verilen tabloya göre önermelerin doğruluk değerleri şunlardır:

• p ≡ 1
• q ≡ 0
• r ≡ 1

Şimdi bileşik önermeyi adım adım hesaplayalım:

1. p ⇔ q : p'nin q'ya denkliği. Eğer iki önerme aynı doğruluk değerine sahipse denktir (doğru, 1); farklıysa denk değildir (yanlış, 0).
• 1 ⇔ 0 ≡ 0
2. Şimdi bu sonucu r ile ∧ (ve) bağlacıyla birleştirelim:
• (p ⇔ q) ∧ r ≡ 0 ∧ 1
• 0 ∧ 1 ≡ 0

Bu nedenle, (p ⇔ q) ∧ r bileşik önermesinin doğruluk değeri 0'dır. ❌

Bu cümle, mantıkta koşullu önerme (ise bağlacı) olarak ifade edilir.

• p: "Bu akşam yemeğe gelirsin."
• q: "Sana sürprizim var."

Cümlenin mantıksal yapısı "p ⇒ q" şeklindedir. Bu, şu anlama gelir:

• Eğer arkadaşınız yemeğe gelirse (p doğru), o zaman sürprizin olması gerekir (q doğru olmalı ki önerme doğru olsun).
• Eğer arkadaşınız yemeğe gelmezse (p yanlış), o zaman sürprizin olup olmaması önermenin doğruluğunu etkilemez (q doğru da olsa yanlış da olsa, 0 ⇒ 1 veya 0 ⇒ 0 önermesi doğrudur).

Yani, arkadaşınızın sözünü tutması için tek şart, sizin yemeğe gitmeniz durumunda sürprizin olmasıdır. Sizin gitmeme durumunuzda ise sözünü tutmuş sayılır. 👉