💡 8. Sınıf Matematik: Üslü İfadeler Çözümlü Örnekler

Bu tür sorularda önce üslü ifadelerin değerlerini tek tek bulup, sonra toplama ve çıkarma işlemlerini yapmalıyız. 💡

• 👉 Negatif tabanlı üslü ifadeler: Üs tek sayı ise sonuç negatif, çift sayı ise sonuç pozitiftir.
• \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \)
• \( 3^2 = 3 \times 3 = 9 \)
• \( (-1)^7 = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) = -1 \)

Şimdi bulduğumuz değerleri ana işlemde yerine yazalım: \[ -8 + 9 - (-1) \] İki eksinin yan yana gelmesi artı yapar: \( -(-1) = +1 \). \[ -8 + 9 + 1 \] Önce toplama işlemlerini yapalım: \[ (-8 + 9) + 1 = 1 + 1 = 2 \]
✅ Sonuç: İşlemin sonucu \(2\)dir.

Bu soruda üssün üssü kuralını ve negatif üs kavramını kullanacağız. Ayrıca tabanları eşitlemeye dikkat etmeliyiz. 📌

• 👉 Üssün üssü kuralı: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
• \( (2^{-2})^3 = 2^{-2 \times 3} = 2^{-6} \)
• 👉 Negatif üs kuralı: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• \( 2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \)
• Şimdi diğer terimi hesaplayalım: \( 4^2 = 4 \times 4 = 16 \)
• İşlemin son hali: \( \frac{1}{64} \times 16 \)
• Çarpma işlemini yapalım: \( \frac{16}{64} \)
• Sadeleştirme yapalım (her iki tarafı 16'ya bölelim): \( \frac{16 \div 16}{64 \div 16} = \frac{1}{4} \)

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( \frac{1}{4} \)tür.

Bu soruda çarpma ve bölme işlemlerini yaparken tabanları eşitleme kuralını kullanacağız. Tüm sayıları 3 tabanında yazabiliriz. 💡

• Öncelikle tüm terimleri 3 tabanında yazalım:
• \( 3^5 \) zaten 3 tabanında.
• \( 9^2 = (3^2)^2 \). Üssün üssü kuralından \( (3^2)^2 = 3^{2 \times 2} = 3^4 \).
• \( 27^{-1} = (3^3)^{-1} \). Üssün üssü kuralından \( (3^3)^{-1} = 3^{3 \times (-1)} = 3^{-3} \).

Şimdi işlemi yeniden yazalım: \[ 3^5 \times 3^4 \div 3^{-3} \]

• 👉 Çarpma işleminde tabanlar aynıysa üsler toplanır: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• \( 3^5 \times 3^4 = 3^{5+4} = 3^9 \)
• 👉 Bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır: \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)
• \( 3^9 \div 3^{-3} = 3^{9 - (-3)} \)
• İki eksinin yan yana gelmesi artı yapar: \( 9 - (-3) = 9 + 3 = 12 \)
• Yani sonuç \( 3^{12} \) olur.

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 3^{12} \)dir.

Yine tabanları eşitleme ve üslü ifadelerle çarpma-bölme kurallarını kullanacağız. Tüm sayıları 5 tabanında yazabiliriz. 📌

• Öncelikle tüm terimleri 5 tabanında yazalım:
• \( 25^3 = (5^2)^3 \). Üssün üssü kuralından \( (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 \).
• \( 5^{-4} \) ve \( 5^2 \) zaten 5 tabanında.

Şimdi işlemi yeniden yazalım: \[ (5^6 \times 5^{-4}) \div 5^2 \]

• Önce parantez içindeki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynıysa üsler toplanır:
• \( 5^6 \times 5^{-4} = 5^{6 + (-4)} = 5^{6-4} = 5^2 \)
• Şimdi bölme işlemini yapalım. Tabanlar aynıysa üsler çıkarılır:
• \( 5^2 \div 5^2 = 5^{2-2} = 5^0 \)
• 👉 Bir sayının 0. kuvveti her zaman 1'dir (0 hariç).
• \( 5^0 = 1 \)

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \(1\)dir.

Bir sayıyı bilimsel gösterimle ifade etmek için sayıyı \( a \times 10^n \) şeklinde yazmamız gerekir. Burada \( 1 \le |a| < 10 \) olmalı ve \( n \) bir tam sayı olmalıdır. 💡

• Verilen sayı: \( 150.000.000 \)
• Öncelikle sayının katsayısını \( 1 \) ile \( 10 \) arasına getirmeliyiz. Bunun için virgülü (sayının en sonunda varsayılan) sola doğru kaydırmalıyız.
• \( 150.000.000 \rightarrow 15.000.000,0 \)
• \( 1.500.000,00 \)
• \( 150.000,000 \)
• \( 15.000,0000 \)
• \( 1.500,00000 \)
• \( 150,000000 \)
• \( 15,0000000 \)
• \( 1,50000000 \)
• Virgülü 8 basamak sola kaydırdığımızda \( 1,5 \) sayısını elde ederiz.
• Virgülü sola kaydırdığımızda üs pozitif olur ve kaydırdığımız basamak sayısı kadar artar.
• Bu durumda \( n = 8 \) olur.

Böylece bilimsel gösterim: \[ 1,5 \times 10^8 \]
✅ Sonuç: Dünya'nın Güneş'e olan uzaklığının bilimsel gösterimi \( 1,5 \times 10^8 \) kilometredir.

Bu tür üslü ifadeleri sıralarken ya tabanları ya da üsleri eşitlemeye çalışırız. Bu soruda üsleri eşitlemek daha kolay olacaktır. 📌

• Verilen sayılar: \( A = 2^{30} \), \( B = 3^{20} \), \( C = 5^{10} \)
• Üsler \( 30, 20, 10 \) sayılarıdır. Bu sayıların en büyük ortak böleni \( 10 \)dur.
• Bu nedenle her sayının üssünü \( 10 \) olarak yazmaya çalışalım:
• \( A = 2^{30} = 2^{3 \times 10} = (2^3)^{10} = 8^{10} \)
• \( B = 3^{20} = 3^{2 \times 10} = (3^2)^{10} = 9^{10} \)
• \( C = 5^{10} \). Bu zaten üssü 10 olan bir sayı.

Şimdi sayıların yeni hallerini karşılaştıralım:

• \( A = 8^{10} \)
• \( B = 9^{10} \)
• \( C = 5^{10} \)

👉 Artık tüm sayıların üsleri aynıdır. Üsler aynı olduğunda, tabanı büyük olan sayı daha büyüktür.

• Tabanları karşılaştıralım: \( 5 < 8 < 9 \)
• Bu durumda sıralama şu şekilde olacaktır: \( C < A < B \)

✅ Sonuç: Sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı \( C < A < B \) şeklindedir.

Bu problem, katlama ve üslü ifadeler arasındaki ilişkiyi gösteren klasik bir örnektir. Her katlamada katman sayısı 2 katına çıkar. 💡

• Başlangıçta (0. katlama): 1 katman vardır. Bu \( 2^0 \) olarak düşünülebilir.
• 1. katlama sonunda: Katman sayısı 2 katına çıkar. \( 1 \times 2 = 2 \) katman. Bu \( 2^1 \)dir.
• 2. katlama sonunda: Katman sayısı tekrar 2 katına çıkar. \( 2 \times 2 = 4 \) katman. Bu \( 2^2 \)dir.
• 3. katlama sonunda: Katman sayısı \( 4 \times 2 = 8 \) katman. Bu \( 2^3 \)tür.
• Bu örüntüye göre, katlama sayısı \( n \) olduğunda oluşan katman sayısı \( 2^n \) olacaktır.
• Soruda kâğıdın 5 kez katlandığı belirtiliyor. Yani \( n=5 \).
• Oluşan katman sayısı \( 2^5 \) olacaktır.
• Şimdi \( 2^5 \) değerini hesaplayalım:
• \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)

✅ Sonuç: Kâğıt 5 kez katlandığında toplam \( 2^5 \) yani 32 katman oluşur.

Bu problemde bakterilerin üremesi üslü ifadelerle modellenebilir. Her 30 dakikada bir sayı 2 katına çıkıyor, bu da 2'nin kuvvetleri şeklinde bir artış anlamına gelir. 📈

• Öncelikle toplam süreyi (3 saat) 30 dakikalık periyotlara bölelim.
• 1 saat = 60 dakika.
• 3 saat = \( 3 \times 60 = 180 \) dakika.
• Her 30 dakikada bir katlandığı için, 180 dakikada kaç katlanma gerçekleştiğini bulalım:
• Katlanma sayısı = \( \frac{180 \text{ dakika}}{30 \text{ dakika/katlanma}} = 6 \) katlanma.
• Başlangıçta 100 bakteri vardı.
• Her katlanmada bakteri sayısı 2 katına çıktığı için, 6 katlanma sonunda bakteri sayısı \( 2^6 \) kat artacaktır.
• Önce \( 2^6 \) değerini hesaplayalım:
• \( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \)
• Başlangıçtaki bakteri sayısıyla bu artış miktarını çarpalım:
• Toplam bakteri sayısı = Başlangıç sayısı \( \times \) Katlanma faktörü
• Toplam bakteri sayısı = \( 100 \times 64 = 6400 \)

✅ Sonuç: 3 saat sonra ortamda 6400 bakteri bulunur.