💡 8. Sınıf Matematik: Tam sayi kuvvetleri Çözümlü Örnekler

Negatif kuvvet, tabandaki sayının çarpmaya göre tersinin alınacağı anlamına gelir. Adım adım çözelim:

• Adım 1: Negatif kuvvetten kurtulmak için sayıyı paydaya göndeririz:
  \( 4^{-3} = \frac{1}{4^3} \)
• Adım 2: Paydadaki üslü ifadenin değerini hesaplarız:
  \( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)
• Adım 3: Sonucu rasyonel sayı olarak yazarız:
  \( \frac{1}{64} \)

✅ Cevap: \( \frac{1}{64} \)

Üslü ifadelerde parantezin yeri ve kuvvetin çift/tek olması sonucu etkiler:

• I. İfade: \( (-2)^{4} \) ifadesinde kuvvet parantezin dışındadır. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
  \( (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16 \)
• II. İfade: \( -2^{4} \) ifadesinde kuvvet sadece 2 sayısına aittir, önündeki eksi işareti işleme en son dahil edilir.
  \( -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16 \)

💡 Not: Parantez yoksa veya kuvvet parantezin içindeyse işaret etkilenmez!

✅ Sonuçlar: 16 ve -16

Bir rasyonel sayıyı üslü biçimde yazmak için şu adımları izleriz:

• Adım 1: Paydadaki 32 sayısını 2'nin kuvveti olarak yazalım.
  \( 32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 \)
• Adım 2: İfadeyi \( \frac{1}{2^5} \) şeklinde güncelleyelim.
• Adım 3: Paydadaki bir üslü ifadeyi paya çıkarmak için kuvvetin işaretini değiştiririz.
  \( \frac{1}{2^5} = 2^{-5} \)

✅ Cevap: \( 2^{-5} \)

Ondalık sayıları üslü olarak hesaplarken önce rasyonel sayıya çevirmek kolaylık sağlar:

• Adım 1: 0,5 sayısını kesir olarak yazalım:
  \( 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
• Adım 2: Şimdi kuvveti uygulayalım:
  \( (\frac{1}{2})^{-3} \)
• Adım 3: Negatif kuvvetten kurtulmak için kesri ters çevirelim:
  \( (\frac{2}{1})^3 = 2^3 \)
• Adım 4: Değeri hesaplayalım:
  \( 2^3 = 8 \)

✅ Cevap: 8

İşlem önceliğine ve kuvvet kurallarına dikkat ederek çözelim:

• 1. Terim: \( (-1)^{2024} \) -> Negatif sayının çift kuvveti +1'dir.
• 2. Terim: \( (-1)^{2025} \) -> Negatif sayının tek kuvveti -1'dir.
• 3. Terim: \( 5^{-1} \times 5^{1} \) -> Tabanlar aynıysa üsler toplanır: \( 5^{-1+1} = 5^0 \). Her sayının sıfırıncı kuvveti (sıfır hariç) 1'dir.
• Toplam: \( (+1) + (-1) + 1 = 1 \)

✅ Cevap: 1

Kütlenin sürekli yarıya düşmesi, her adımda \( \frac{1}{2} \) ile çarpmak veya \( 2^{-1} \) ile çarpmak demektir.

• Başlangıç: 1 gram
• 1. Saat Sonunda: \( 1 \times 2^{-1} \)
• 2. Saat Sonunda: \( 1 \times 2^{-1} \times 2^{-1} = 2^{-2} \)
• ...
• 5. Saat Sonunda: Başlangıç kütlesi 5 kez yarıya ineceği için \( 2^{-5} \) gram olur.

👉 Değerini hesaplamak istersek: \( \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} \) gramdır.

✅ Cevap: \( 2^{-5} \)

Adım adım ilerleyerek puan değişimini hesaplayalım:

• 1. Basamak Puanı: \( 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 \) puan.
• 2. Basamak Puanı: 1. basamağın \( 2^{-2} \) katı alınır.
  \( 2^8 \times 2^{-2} = 2^{8-2} = 2^6 \)
• 3. Basamak Puanı: 2. basamağın \( 2^{-2} \) katı alınır.
  \( 2^6 \times 2^{-2} = 2^{6-2} = 2^4 \)

Puanın sayısal değeri: \( 2^4 = 16 \)

✅ Cevap: 16

Kağıt her katlandığında görünen yüzey alanı yarıya düşer:

• 1. Katlama: Alan \( \frac{1}{2} \) katına iner (\( 2^{-1} \)).
• 2. Katlama: Alan tekrar yarıya iner: \( 2^{-1} \times 2^{-1} = 2^{-2} \).
• 3. Katlama: Alan bir kez daha yarıya iner: \( 2^{-2} \times 2^{-1} = 2^{-3} \).

Oran sorulduğu için başlangıç alanının \( 2^{-3} \) katı olduğunu söyleyebiliriz.
\( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)

✅ Cevap: \( 2^{-3} \) (veya 8'de 1'i)