💡 8. Sınıf Matematik: Olasılık Çözümlü Örnekler

Olasılık hesaplaması için temel formül şudur:

Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durum Sayısı)

• İstenen Durum: Kırmızı bilye gelmesi. Torbada 3 kırmızı bilye var.
• Tüm Olası Durumlar: Torbadaki toplam bilye sayısı. \( 3 + 5 = 8 \) bilye var.
• Olasılık: Kırmızı gelme olasılığı = \( \frac{3}{8} \)

✅ Sonuç: Kırmızı gelme olasılığı \( \frac{3}{8} \)'dir.

Zar atıldığında olası tüm sonuçlar şunlardır: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Toplam 6 olası durum vardır.

• İstenen Durum: Gelen sayının tek sayı olması. Tek sayılar {1, 3, 5}'tir. Yani 3 istenen durum vardır.
• Tüm Olası Durumlar: Zarda 6 yüz olduğu için 6 olası durum vardır.
• Olasılık: Tek sayı gelme olasılığı = \( \frac{\text{Tek Sayı Sayısı}}{\text{Toplam Sayı Sayısı}} = \frac{3}{6} \)

Bu kesir sadeleştirilebilir: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

💡 İpucu: Olasılık değerleri her zaman 0 ile 1 arasındadır.

✅ Sonuç: Tek sayı gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir.

Öncelikle 1'den 20'ye kadar olan sayılar arasındaki asal sayıları belirleyelim:

Asal sayılar: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Toplam 8 asal sayı vardır.

• İstenen Durum: Çekilen kartın numarasının asal sayı olması. Bu durumda 8 farklı kart çekilebilir.
• Tüm Olası Durumlar: Torbada 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış toplam 20 kart bulunmaktadır.
• Olasılık: Asal sayı gelme olasılığı = \( \frac{\text{Asal Sayı Adedi}}{\text{Toplam Kart Adedi}} = \frac{8}{20} \)

Bu kesri sadeleştirelim:

\( \frac{8}{20} = \frac{4 \times 2}{4 \times 5} = \frac{2}{5} \)

✅ Sonuç: Asal sayı gelme olasılığı \( \frac{2}{5} \)'tir.

Olasılık formülünü kullanarak bu soruyu çözebiliriz:

Olasılık = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \)

Burada:

• Olasılık = \( \frac{3}{100} \)
• Tüm Olası Durum Sayısı = Toplam ürün sayısı = 100
• İstenen Durum Sayısı = Bozuk ürün sayısı (bunu bulmamız gerekiyor)

Formülde yerine koyalım:

\( \frac{3}{100} = \frac{\text{Bozuk Ürün Sayısı}}{100} \)

Bu eşitlikten bozuk ürün sayısını bulmak için her iki tarafı 100 ile çarpabiliriz:

\( \text{Bozuk Ürün Sayısı} = \frac{3}{100} \times 100 = 3 \)

✅ Sonuç: Marketin 3 adet bozuk ürünü vardır.

Bu tür sorularda tüm durumların olasılığından, istenmeyen durumun olasılığını çıkarmak daha kolaydır.

Tüm Olası Durumlar: Her para için 2 sonuç vardır (Yazı veya Tura). 5 para atıldığı için toplam olası durum sayısı \( 2^5 = 32 \)'dir.

İstenmeyen Durum: En az birinin yazı gelmemesi durumu, yani hiçbirinin yazı gelmemesi durumudur. Bu da tüm paraların tura gelmesi anlamına gelir.

• Tüm paraların tura gelme durumu sadece 1'dir (Tura, Tura, Tura, Tura, Tura).
• Bu durumun olasılığı = \( \frac{1}{32} \).

İstenen Durum: En az birinin yazı gelmesi.

Olasılık = (Tüm Olası Durumların Olasılığı) - (İstenmeyen Durumun Olasılığı)

Olasılık = \( 1 - \frac{1}{32} \)

\( 1 - \frac{1}{32} = \frac{32}{32} - \frac{1}{32} = \frac{31}{32} \)

✅ Sonuç: En az birinin yazı gelme olasılığı \( \frac{31}{32} \)'dir.

Bir deste iskambil kartında 52 kart bulunur.

• Papaz Kartları: Her renkten bir tane olmak üzere 4 papaz kartı vardır (Maça Papazı, Kupa Papazı, Karo Papazı, Hazine Papazı).
• Kupa Kartları: Kupa renginde 13 kart vardır (As, 2, 3, ..., 10, Vale, Kız, Papaz).
• Ortak Kart: Kupa Papazı hem papazdır hem de kupadır.

İstenen Durum: Kartın papaz veya kupa olması.

Bu durumu hesaplarken Kupa Papazı'nı iki kere saymamak için dikkatli olmalıyız.

İstenen Durum Sayısı = (Papaz Sayısı) + (Kupa Sayısı) - (Hem Papaz Hem Kupa Olan Kart Sayısı)

İstenen Durum Sayısı = \( 4 + 13 - 1 = 16 \)

Tüm Olası Durumlar: Destede toplam 52 kart vardır.

Olasılık: Papaz veya kupa gelme olasılığı = \( \frac{16}{52} \)

Bu kesri sadeleştirelim:

\( \frac{16}{52} = \frac{4 \times 4}{4 \times 13} = \frac{4}{13} \)

✅ Sonuç: Kartın papaz veya kupa olma olasılığı \( \frac{4}{13} \)'tür.

İlk durumda sınıftaki öğrenci sayısını ve kız öğrenci sayısını kullanarak olasılığı kontrol edelim:

• İlk Durumda Toplam Öğrenci Sayısı = \( 12 \text{ (kız)} + 18 \text{ (erkek)} = 30 \)
• İlk Durumda Kız Gelme Olasılığı = \( \frac{\text{Kız Sayısı}}{\text{Toplam Öğrenci Sayısı}} = \frac{12}{30} \)
• Kesri sadeleştirelim: \( \frac{12}{30} = \frac{6 \times 2}{6 \times 5} = \frac{2}{5} \). Bu, verilen olasılıkla uyuşmaktadır.

Şimdi sınıfa 3 erkek öğrenci daha katıldığında yeni durumu hesaplayalım:

• Yeni Durumda Kız Sayısı = 12 (değişmez)
• Yeni Durumda Erkek Sayısı = \( 18 + 3 = 21 \)
• Yeni Durumda Toplam Öğrenci Sayısı = \( 12 \text{ (kız)} + 21 \text{ (erkek)} = 33 \)

Yeni Durumda Kız Gelme Olasılığı:

Olasılık = \( \frac{\text{Kız Sayısı}}{\text{Yeni Toplam Öğrenci Sayısı}} = \frac{12}{33} \)

Bu kesri sadeleştirelim:

\( \frac{12}{33} = \frac{3 \times 4}{3 \times 11} = \frac{4}{11} \)

✅ Sonuç: Yeni durumda sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı \( \frac{4}{11} \)'dir.

Bu soruyu olasılık ve kesir bilgimizi kullanarak çözebiliriz.

Olasılık, bir durumun gerçekleşme oranını gösterir. Burada çantalı yolcu olma olasılığı \( \frac{3}{5} \)'tir.

Bu, her 5 yolcudan 3'ünün çantasının olduğu anlamına gelir.

Duraktaki toplam yolcu sayısı 25'tir.

Çantalı yolcu sayısını bulmak için toplam yolcu sayısını olasılık kesri ile çarparız:

Çantalı Yolcu Sayısı = \( \text{Toplam Yolcu Sayısı} \times \text{Çantalı Yolcu Olasılığı} \)

Çantalı Yolcu Sayısı = \( 25 \times \frac{3}{5} \)

Hesaplamayı yapalım:

\( 25 \times \frac{3}{5} = \frac{25}{1} \times \frac{3}{5} = \frac{25 \times 3}{1 \times 5} = \frac{75}{5} \)

\( \frac{75}{5} = 15 \)

✅ Sonuç: Durakta bekleyen 25 yolcudan 15'inin elinde çanta vardır.