💡 8. Sınıf Matematik: Lgs Denemesi Çözümlü Örnekler

Bu problemde, hem 120'yi hem de 180'i tam bölen en büyük sayıyı bulmamız gerekiyor. Bu da En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kavramına karşılık gelir. 📌

• Adım 1: 120 ve 180 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
• 120'nin asal çarpanları:
  \[ 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \]
• 180'in asal çarpanları:
  \[ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \]
• Adım 2: EBOB'u bulmak için ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanları çarparız.
• Ortak çarpanlar \(2^2\), \(3^1\) ve \(5^1\)'tir.
• Adım 3: EBOB değerini hesaplayalım.
• EBOB(120, 180) = \( 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)

Yani, bir pakette en fazla 60 kurabiye olabilir. ✅

Bu üslü ifadeler sorusunu çözmek için tüm sayıları aynı tabanda yazmaya çalışmalıyız. Bu durumda 5 tabanı uygun olacaktır. 💡

• Adım 1: \(25\) sayısını 5 tabanında yazalım.
  \( 25 = 5^2 \) olduğu için, \( 25^3 = (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 \) olur.
• Adım 2: Şimdi işlemi yeniden yazalım ve parantez içindeki çarpma işlemini yapalım.
  \( (5^{-2} \times 5^6) \div 5^4 \)
  Çarpma işleminde tabanlar aynıysa üsler toplanır: \( 5^{-2+6} = 5^4 \)
• Adım 3: Son olarak bölme işlemini yapalım.
  \( 5^4 \div 5^4 \)
  Bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır: \( 5^{4-4} = 5^0 \)
• Adım 4: Her sayının 0. kuvveti 1'e eşittir (0 hariç).
  \( 5^0 = 1 \)

İşlemin sonucu 1'dir. ✅

Dikdörtgenin alanını bulmak için kenar uzunluklarını çarpmamız gerekir. Kareköklü ifadelerde çarpma işlemi yapmadan önce, kök dışına çıkarılabilecek kısımları çıkarmak işlemi kolaylaştırır. 📌

• Adım 1: Kenar uzunluklarını \( a\sqrt{b} \) şeklinde yazalım.
• \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) cm
• \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) cm
• Adım 2: Dikdörtgenin alanını bulmak için bu iki kenar uzunluğunu çarpalım.
• Alan = \( (2\sqrt{3}) \times (3\sqrt{3}) \)
• Adım 3: Çarpma işlemini yaparken, kök dışındaki sayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılır.
• Alan = \( (2 \times 3) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \)
• Alan = \( 6 \times \sqrt{9} \)
• Alan = \( 6 \times 3 \)
• Alan = \( 18 \)

Dikdörtgenin alanı 18 cm\(^2\)'dir. ✅

Daire grafiğindeki açılar, toplam öğrenci sayısının belirli oranlarını temsil eder. Toplam daire açısı \(360^\circ\)'dir. 💡

• Adım 1: Öncelikle "Diğer meyveleri sevenler" kısmının merkez açısını bulalım.
• Toplam açı = \( 360^\circ \)
• Elma + Muz + Portakal = \( 90^\circ + 120^\circ + 60^\circ = 270^\circ \)
• Diğer = \( 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \)
• Adım 2: Muz seven öğrenci sayısı ve açısı bilindiği için, açılar ile öğrenci sayıları arasında bir oran kurabiliriz.
• \( 120^\circ \) açıya sahip muz seven öğrenci sayısı 30'dur.
• Yani, her \( 120^\circ \) için 30 öğrenci düşmektedir.
• Bir derecenin kaç öğrenciye karşılık geldiğini bulabiliriz: \( 30 \div 120 = 0.25 \) öğrenci/derece.
• Adım 3: Elma seven öğrenci sayısını bulalım. Elma sevenlerin merkez açısı \( 90^\circ \)'dir.
• Elma seven öğrenci sayısı = \( 90^\circ \times 0.25 \)
• Elma seven öğrenci sayısı = \( 22.5 \)
• Ancak öğrenci sayısı buçuklu olamaz. Orantı yoluyla tekrar kontrol edelim.
• Oran-Orantı Yöntemi:
  \( 120^\circ \) ------ \( 30 \) öğrenci
  \( 90^\circ \) -------- \( x \) öğrenci
• Çapraz çarpım yaparak \( x \) değerini bulalım:
  \( 120 \times x = 90 \times 30 \)
  \( 120x = 2700 \)
  \( x = 2700 \div 120 \)
  \( x = 22.5 \)

Burada bir hata var gibi duruyor. Öğrenci sayısı tam sayı olmalı. Soruyu kontrol edelim. Ah, evet, \( 30 \div 120 = 1/4 \). Yani her \( 1^\circ \) için \( 1/4 \) öğrenci var.
O zaman elma seven öğrenci sayısı \( 90^\circ \times (1/4) = 90/4 = 22.5 \) olur.
Bu durum, başlangıçtaki öğrenci sayılarının tam sayı olmadığını veya bu sorunun kurgusunda bir hata olduğunu gösterir.
LGS sorularında öğrenci sayısı gibi değerler genellikle tam sayı çıkar. Bu durumda, ya verilen sayılar uygun değildir ya da soruyu daha dikkatli okumalıyız.
Eğer 30 öğrenci 120 dereceye denk geliyorsa, 1 derece \( 30/120 = 1/4 \) öğrenciye denk gelir.
90 derece ise \( 90 \times (1/4) = 22.5 \) öğrenciye denk gelir.
Bu sonuç, soruda verilen sayılarla elde edilen doğru matematiksel sonuçtur. Ancak LGS'de beklenen cevaplar tam sayı olduğundan, bu tür bir durumla karşılaşıldığında, soruyu tekrar gözden geçirmek faydalı olabilir.
Bu durumda, soruyu "Muz seven öğrenci sayısı 40 olsaydı" şeklinde düzeltirsek daha mantıklı bir tam sayı sonuç elde edebiliriz. Ama soruyu değiştiremeyeceğimiz için, mevcut verilerle devam edelim. Düzeltme: LGS sorularında bu tarz durumlar yaşanmaz. Verilen sayılar tam sayı sonuç verecek şekilde ayarlanır. Bu örnekte bir hata oluşmuştur. Soruyu tekrar kurgulayalım. YENİ SORU METNİ VE ÇÖZÜMÜ: [TEXT] Bir sınıfta öğrencilerin en sevdiği meyvelerle ilgili yapılan anket sonuçları aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir. 📊

• Elma sevenler: \( 90^\circ \)
• Muz sevenler: \( 120^\circ \)
• Portakal sevenler: \( 60^\circ \)
• Diğer meyveleri sevenler: Kalan kısım

Bu sınıfta 40 öğrenci muz sevdiğine göre, elma seven öğrenci sayısı kaçtır? 🍎🍌🍊 [SOLUTION] Daire grafiğindeki açılar, toplam öğrenci sayısının belirli oranlarını temsil eder. Toplam daire açısı \(360^\circ\)'dir. 💡

• Adım 1: Öncelikle "Diğer meyveleri sevenler" kısmının merkez açısını bulalım.
• Toplam açı = \( 360^\circ \)
• Elma + Muz + Portakal = \( 90^\circ + 120^\circ + 60^\circ = 270^\circ \)
• Diğer = \( 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \)
• Adım 2: Muz seven öğrenci sayısı ve açısı bilindiği için, açılar ile öğrenci sayıları arasında bir oran kurabiliriz.
• \( 120^\circ \) açıya sahip muz seven öğrenci sayısı 40'tır.
• Yani, \( 120^\circ \) --- \( 40 \) öğrenci ilişkisi var.
• Adım 3: Elma seven öğrenci sayısını bulalım. Elma sevenlerin merkez açısı \( 90^\circ \)'dir.
• Oran-Orantı Yöntemi:
  \( 120^\circ \) ------ \( 40 \) öğrenci
  \( 90^\circ \) -------- \( x \) öğrenci
• Çapraz çarpım yaparak \( x \) değerini bulalım:
  \( 120 \times x = 90 \times 40 \)
  \( 120x = 3600 \)
  \( x = 3600 \div 120 \)
  \( x = 30 \)

Elma seven öğrenci sayısı 30'dur. ✅

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını ifade eder. İstenen olayın sayısının, tüm olası durumların sayısına oranlanmasıyla bulunur. 🎲

• Adım 1: Torbadaki toplam top sayısını bulalım.
• Kırmızı top sayısı = 5
• Mavi top sayısı = 3
• Sarı top sayısı = 2
• Toplam top sayısı = \( 5 + 3 + 2 = 10 \)
• Yani, tüm olası durumların sayısı 10'dur.
• Adım 2: İstenen durumun sayısını belirleyelim.
• İstenen durum, çekilen topun kırmızı olmasıdır.
• Kırmızı top sayısı = 5
• Adım 3: Olasılık formülünü kullanarak hesaplama yapalım.
• Olasılık = (İstenen durum sayısı) / (Tüm olası durumların sayısı)
• Kırmızı top çekme olasılığı = \( 5 \div 10 \)
• Kırmızı top çekme olasılığı = \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. ✅

Bu ifade bir tam kare özdeşliğidir. \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) özdeşliğini kullanarak çözebiliriz. 💡

• Adım 1: Özdeşlikteki \(a\) ve \(b\) terimlerini belirleyelim.
• Burada \( a = 3x \) ve \( b = 2 \)'dir.
• Adım 2: Özdeşlik formülünü uygulayalım.
• \( (3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times (3x) \times (2) + (2)^2 \)
• Adım 3: İşlemleri sırasıyla yapalım.
• \( (3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2 \)
• \( 2 \times (3x) \times (2) = 12x \)
• \( (2)^2 = 4 \)
• Adım 4: Bulduğumuz terimleri bir araya getirelim.
• \( (3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4 \)

Cebirsel ifadenin en sade hâli \( 9x^2 - 12x + 4 \)'tür. ✅

Bu problem, iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi kurularak çözülebilir. 📌

• Adım 1: Bilinmeyenleri tanımlayalım.
• Otomobil sayısına \(x\) diyelim.
• Minibüs sayısına \(y\) diyelim.
• Adım 2: Toplam araç sayısından ilk denklemi oluşturalım.
• Otomobil sayısı + Minibüs sayısı = Toplam araç sayısı
  \( x + y = 30 \) (Denklem 1)
• Adım 3: Toplam gelirden ikinci denklemi oluşturalım.
• (Otomobil sayısı \( \times \) otomobil ücreti) + (Minibüs sayısı \( \times \) minibüs ücreti) = Toplam gelir
  \( 5x + 7y = 180 \) (Denklem 2)
• Adım 4: Denklemlerden birini yok etme metoduyla çözelim. Denklem 1'i \( -5 \) ile çarpıp Denklem 2 ile toplayabiliriz.
• \( -5(x + y) = -5(30) \Rightarrow -5x - 5y = -150 \)
• Şimdi bu yeni denklemi Denklem 2 ile toplayalım:
  \( (-5x - 5y) + (5x + 7y) = -150 + 180 \)
  \( (-5x + 5x) + (-5y + 7y) = 30 \)
  \( 0x + 2y = 30 \)
  \( 2y = 30 \)
• Adım 5: \(y\) değerini bulalım.
• \( y = 30 \div 2 \)
  \( y = 15 \)

Otoparktaki minibüs sayısı 15'tir. ✅

Bu problem, ortak bölenler ve eşitsizlik kavramlarını içeren bir günlük hayat örneğidir. 💡 Marangozun tahtayı eşit uzunlukta ve hiç fire kalmayacak şekilde kesmesi demek, raf uzunluğunun 240'ın bir böleni olması demektir.

• Adım 1: 240 sayısının bölenlerini bulalım.
• 240'ın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240.
• Adım 2: Raf uzunluğu için verilen eşitsizlik koşullarını uygulayalım.
• Bir rafın uzunluğu 40 cm'den kısa olmalıdır: \( \text{Raf Uzunluğu} < 40 \) cm
• Bir rafın uzunluğu 25 cm'den uzun olmalıdır: \( \text{Raf Uzunluğu} > 25 \) cm
• Yani, \( 25 < \text{Raf Uzunluğu} < 40 \) olmalıdır.
• Adım 3: 240'ın bölenleri arasından bu aralığa uyan sayıları bulalım.
• Bu aralıktaki bölenler: 30
• Adım 4: En fazla kaç cm uzunluğunda yapabileceğini belirleyelim.
• Bu aralıktaki tek bölen 30 olduğu için, marangoz bir rafı en fazla 30 cm uzunluğunda yapabilir.

Marangoz bir rafı en fazla 30 cm uzunluğunda yapabilir. ✅

Bu soru hem üçgenin alanını hem de dikdörtgenin alanını hesaplamayı ve ardından farklarını bulmayı gerektiren bir karşılaştırma problemidir. 💡

• Adım 1: ABC üçgeninin alanını hesaplayalım.
• Üçgenin alanı = \( \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} \)
• Taban (BC) = 15 cm
• Yükseklik = 8 cm
• Üçgenin alanı = \( \frac{15 \times 8}{2} = \frac{120}{2} = 60 \) cm\(^2\)
• Adım 2: Dikdörtgenin alanını hesaplayalım.
• Dikdörtgenin alanı = Kenar 1 \( \times \) Kenar 2
• Kenar 1 = 6 cm
• Kenar 2 = 10 cm
• Dikdörtgenin alanı = \( 6 \times 10 = 60 \) cm\(^2\)
• Adım 3: Üçgenin alanının dikdörtgenin alanından ne kadar fazla olduğunu bulalım.
• Fark = Üçgenin Alanı - Dikdörtgenin Alanı
• Fark = \( 60 - 60 = 0 \) cm\(^2\)

Bu ABC üçgeninin alanı, verilen dikdörtgenin alanından 0 cm\(^2\) fazladır. Yani alanları birbirine eşittir. ✅