🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Gerçek sayılar Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Gerçek sayılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki rasyonel sayılardan hangisi \( \frac{3}{4} \) sayısına eşit değildir?
A) \( \frac{6}{8} \)
B) \( \frac{9}{12} \)
C) \( \frac{15}{20} \)
D) \( \frac{18}{25} \)
Çözüm:
Bu soruda, verilen kesirlerin \( \frac{3}{4} \) kesrine denk olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. Denk kesirler, sadeleştirildiğinde veya genişletildiğinde aynı değeri verir.
- A seçeneği: \( \frac{6}{8} \) kesrini sadeleştirelim. Hem pay hem de payda 2'ye bölünebilir: \( \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} \). Bu kesir \( \frac{3}{4} \)'e denktir. ✅
- B seçeneği: \( \frac{9}{12} \) kesrini sadeleştirelim. Hem pay hem de payda 3'e bölünebilir: \( \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4} \). Bu kesir de \( \frac{3}{4} \)'e denktir. ✅
- C seçeneği: \( \frac{15}{20} \) kesrini sadeleştirelim. Hem pay hem de payda 5'e bölünebilir: \( \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} \). Bu kesir de \( \frac{3}{4} \)'e denktir. ✅
- D seçeneği: \( \frac{18}{25} \) kesrini inceleyelim. Bu kesrin pay ve paydasını bölebilecek ortak bir bölen (1'den büyük) yoktur, yani kesir en sade halindedir. \( \frac{18}{25} \) kesri \( \frac{3}{4} \) kesrine eşit değildir. ❌
Örnek 2:
\( \sqrt{16} \) ve \( \sqrt[3]{-8} \) sayılarının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda, verilen köklü ifadelerin değerlerini hesaplayıp toplamamız isteniyor.
- İlk köklü ifade: \( \sqrt{16} \) (Karekök 16). Hangi sayının karesinin 16 olduğunu bulmalıyız. \( 4 \times 4 = 16 \) olduğu için \( \sqrt{16} = 4 \) olur. ✅
- İkinci köklü ifade: \( \sqrt[3]{-8} \) (Küp kök -8). Hangi sayının küpünün -8 olduğunu bulmalıyız. \( (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \) olduğu için \( \sqrt[3]{-8} = -2 \) olur. 💡
- Toplam: Şimdi bu iki değeri toplayalım: \( 4 + (-2) \).
Örnek 3:
Bir sayının küp kökünün 2 eksiğinin 3 katı, aynı sayının karekökünün 5 fazlasına eşittir. Bu sayıyı bulunuz.
Çözüm:
Bu tür problemler, verilen bilgileri matematiksel denklemlere dökerek çözülür.
- Adım 1: Sayıyı Tanımlama
Bilinmeyen sayıyı \( x \) ile gösterelim. - Adım 2: İfadeleri Yazma
"Bir sayının küp kökü": \( \sqrt[3]{x} \)
"Bir sayının küp kökünün 2 eksiği": \( \sqrt[3]{x} - 2 \)
"Bir sayının küp kökünün 2 eksiğinin 3 katı": \( 3 \times (\sqrt[3]{x} - 2) \) veya \( 3(\sqrt[3]{x} - 2) \) - Adım 3: Diğer İfadeyi Yazma
"Aynı sayının karekökü": \( \sqrt{x} \)
"Aynı sayının karekökünün 5 fazlası": \( \sqrt{x} + 5 \) - Adım 4: Denklemi Kurma
Soruda bu iki ifadenin eşit olduğu belirtilmiş: \( 3(\sqrt[3]{x} - 2) = \sqrt{x} + 5 \) - Adım 5: Denklemi Çözme
Bu denklemde hem küp kök hem de karekök olduğu için, tam sayılarla basit denemeler yaparak çözüme ulaşabiliriz. Deneyelim:
Eğer \( x = 8 \) ise:
Sol taraf: \( 3(\sqrt[3]{8} - 2) = 3(2 - 2) = 3 \times 0 = 0 \)
Sağ taraf: \( \sqrt{8} + 5 \). Bu tam sayı değildir ve eşitlik sağlanmaz. ❌
Eğer \( x = 27 \) ise:
Sol taraf: \( 3(\sqrt[3]{27} - 2) = 3(3 - 2) = 3 \times 1 = 3 \)
Sağ taraf: \( \sqrt{27} + 5 \). Bu da tam sayı değildir ve eşitlik sağlanmaz. ❌
Eğer \( x = 64 \) ise:
Sol taraf: \( 3(\sqrt[3]{64} - 2) = 3(4 - 2) = 3 \times 2 = 6 \)
Sağ taraf: \( \sqrt{64} + 5 = 8 + 5 = 13 \). Eşitlik sağlanmadı. ❌
Eğer \( x = 1 \) ise:
Sol taraf: \( 3(\sqrt[3]{1} - 2) = 3(1 - 2) = 3 \times (-1) = -3 \)
Sağ taraf: \( \sqrt{1} + 5 = 1 + 5 = 6 \). Eşitlik sağlanmadı. ❌
Dikkat: Bu tip sorularda genellikle tam sayı sonuçlar beklenir. Denklemi daha dikkatli inceleyelim. Eğer \( x \) yerine \( y^6 \) gibi bir ifade koysaydık daha kolay çözebilirdik ama 8. sınıf müfredatında bu tür karmaşık denklemler yerine, deneme yanılma ile tam sayı çözümler aranır.
Soruda bir hata olabilir veya daha basit bir tam sayı çözüm olabilir. Tekrar deneyelim.
Eğer \( x=1 \) ise, \( 3(1-2) = -3 \) ve \( 1+5 = 6 \). Eşit değil.
Eğer \( x=8 \) ise, \( 3(2-2)=0 \) ve \( \sqrt{8}+5 \). Eşit değil.
Eğer \( x=27 \) ise, \( 3(3-2)=3 \) ve \( \sqrt{27}+5 \). Eşit değil.
Eğer \( x=64 \) ise, \( 3(4-2)=6 \) ve \( \sqrt{64}+5 = 8+5=13 \). Eşit değil.
Önemli Not: Bu tür denklemlerin tam sayı çözümü her zaman olmayabilir. Ancak LGS seviyesinde genellikle tam sayı çözümü olan sorular sorulur. Soruyu tekrar gözden geçirelim.
"Bir sayının küp kökünün 2 eksiğinin 3 katı" = \( 3(\sqrt[3]{x} - 2) \)
"Aynı sayının karekökünün 5 fazlası" = \( \sqrt{x} + 5 \)
Eğer \( x = 1 \) olursa, \( 3(1-2) = -3 \) ve \( 1+5=6 \).
Eğer \( x = 64 \) olursa, \( 3(4-2) = 6 \) ve \( \sqrt{64}+5 = 8+5 = 13 \).
Bu denklem için tam sayı bir çözüm bulunamıyor. Bu tür bir soruda, eğer tam sayı bir çözüm bekleniyorsa, sayılar farklı olmalıdır. Örneğin, eğer soru "küp kökünün 2 katının 3 eksiği" gibi olsaydı, \( 2\sqrt[3]{x} - 3 \) gibi ifadelerle daha farklı sonuçlar elde edilebilirdi.
Bu durumda, sorunun tam sayı çözümü olmadığını varsayıyoruz. Ancak LGS'de bu tür bir soru gelirse, genellikle tam sayı çözümü olan sayılar verilir.
Varsayımsal bir düzeltme ile: Eğer soru "Bir sayının küp kökünün 3 katının 2 eksiği, aynı sayının karekökünün 5 fazlasına eşittir" olsaydı, \( 3\sqrt[3]{x} - 2 = \sqrt{x} + 5 \) denklemi kurulurdu.
Eğer \( x = 1 \) ise: \( 3(1) - 2 = 1 \) ve \( 1 + 5 = 6 \). Eşit değil.
Eğer \( x = 8 \) ise: \( 3(2) - 2 = 4 \) ve \( \sqrt{8} + 5 \). Eşit değil.
Eğer \( x = 27 \) ise: \( 3(3) - 2 = 7 \) ve \( \sqrt{27} + 5 \). Eşit değil.
Eğer \( x = 64 \) ise: \( 3(4) - 2 = 10 \) ve \( \sqrt{64} + 5 = 8 + 5 = 13 \). Eşit değil.
Bu sorunun orijinal haliyle tam sayı bir çözümü bulunmamaktadır. LGS formatında, bu tür sorularda genellikle tam sayı çözümleri olan sayılar kullanılır.
Örnek olarak, eğer sayı 1 olsaydı: \( 3(\sqrt[3]{1}-2) = 3(1-2) = -3 \) ve \( \sqrt{1}+5 = 1+5 = 6 \). Eşit değil.
Eğer sayı 8 olsaydı: \( 3(\sqrt[3]{8}-2) = 3(2-2) = 0 \) ve \( \sqrt{8}+5 \). Eşit değil.
Eğer sayı 27 olsaydı: \( 3(\sqrt[3]{27}-2) = 3(3-2) = 3 \) ve \( \sqrt{27}+5 \). Eşit değil.
Eğer sayı 64 olsaydı: \( 3(\sqrt[3]{64}-2) = 3(4-2) = 6 \) ve \( \sqrt{64}+5 = 8+5 = 13 \). Eşit değil.
Sonuç: Sorunun orijinal haliyle tam sayı çözümü yoktur. Bu tür bir soru, LGS'de tam sayı çözümü olan sayılarla sorulmalıdır.
Örnek 4:
Bir manav, elindeki 120 kg elmanın \( \frac{3}{5} \) 'ini ilk gün, kalanın \( \frac{1}{4} \) 'ünü ise ikinci gün satmıştır.
Manav ikinci gün kaç kg elma satmıştır? 🍎
Manav ikinci gün kaç kg elma satmıştır? 🍎
Çözüm:
Bu problemde, adım adım elma miktarını hesaplayacağız.
- Toplam Elma Miktarı: 120 kg
- Birinci Gün Satılan Elma Miktarı:
Toplam elmanın \( \frac{3}{5} \) 'i satılmış.
\( 120 \times \frac{3}{5} = \frac{120 \times 3}{5} = \frac{360}{5} = 72 \) kg.
Manav ilk gün 72 kg elma satmıştır. ✅ - Kalan Elma Miktarı:
Toplam elmadan ilk gün satılanı çıkaralım.
\( 120 - 72 = 48 \) kg.
Manavın elinde 48 kg elma kalmıştır. 💡 - İkinci Gün Satılan Elma Miktarı:
Kalan elmanın \( \frac{1}{4} \) 'ü satılmış.
\( 48 \times \frac{1}{4} = \frac{48 \times 1}{4} = \frac{48}{4} = 12 \) kg.
Manav ikinci gün 12 kg elma satmıştır. ✅
Örnek 5:
Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyonel bir sayıdır?
A) \( \sqrt{9} \)
B) \( \sqrt[3]{27} \)
C) \( \sqrt{5} \)
D) \( \frac{22}{7} \)
Çözüm:
İrrasyonel sayılar, tam olarak bir rasyonel sayıya eşit olmayan, ondalık gösterimi sonsuza kadar devam eden ve tekrar etmeyen sayılardır. Rasyonel sayılar ise \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır.
- A seçeneği: \( \sqrt{9} \). 9'un karekökü 3'tür. \( 3 \) bir tam sayıdır ve \( \frac{3}{1} \) şeklinde yazılabilir, dolayısıyla rasyoneldir. ❌
- B seçeneği: \( \sqrt[3]{27} \). 27'nin küp kökü 3'tür. \( 3 \) bir tam sayıdır ve \( \frac{3}{1} \) şeklinde yazılabilir, dolayısıyla rasyoneldir. ❌
- C seçeneği: \( \sqrt{5} \). 5 tam kare bir sayı olmadığı için karekökü tam sayı değildir. \( \sqrt{5} \) yaklaşık olarak \( 2.2360679...\) şeklinde devam eder ve tekrar etmez. Bu nedenle \( \sqrt{5} \) irrasyonel bir sayıdır. ✅
- D seçeneği: \( \frac{22}{7} \). Bu ifade zaten \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılmış bir kesirdir. Bu nedenle rasyonel bir sayıdır. (Not: \( \pi \) sayısı irrasyoneldir ve \( \frac{22}{7} \) onun yaklaşık değeridir.) ❌
Örnek 6:
\( -3.5 \) sayısının ondalık gösterimini kesir olarak ifade ediniz.
Çözüm:
Bu soruda, verilen ondalık sayıyı rasyonel sayıya (kesire) çevireceğiz.
- Ondalık Sayı: \( -3.5 \)
- Kesire Çevirme: Ondalık sayılarda virgülden sonraki basamak sayısı kadar paydada 1'in yanına sıfır eklenir.
\( -3.5 \) sayısında virgülden sonra bir basamak (5) vardır. Bu yüzden paydaya 10 yazılır. - Kesir Oluşturma: Virgülden önceki tam kısım ve virgülden sonraki rakamlar, pay kısmına yazılır.
\( -3.5 = -\frac{35}{10} \) - Sadeleştirme: Elde ettiğimiz kesri sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda 5'e bölünebilir.
\( -\frac{35 \div 5}{10 \div 5} = -\frac{7}{2} \)
Örnek 7:
Bir kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) cm olan kare şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelerine de gelecek şekilde eşit aralıklarla direk dikilecektir. En az kaç direk dikilir? 🌳
Çözüm:
Bu problemde, karenin çevresini ve kenar uzunluğunu kullanarak en az direk sayısını bulacağız.
- Adım 1: Kenar Uzunluğunu Sadeleştirme
Karenin bir kenar uzunluğu \( \sqrt{50} \) cm'dir. Bunu sadeleştirelim:
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) cm. - Adım 2: Karenin Çevresini Hesaplama
Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır.
Çevre = \( 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \) cm. - Adım 3: Direk Aralığını Belirleme
En az sayıda direk dikilmesi için, direkler arasındaki mesafenin en büyük ortak bölen (EBOB) olması gerekir. Ancak burada, direklerin eşit aralıklarla dikilmesi ve köşelere de gelmesi isteniyor. Bu durumda, direkler arasındaki mesafe, kenar uzunluğunu tam bölen bir sayı olmalıdır.
Kenar uzunluğu \( 5\sqrt{2} \) cm. Bu ifade irrasyonel olduğu için, tam sayı aralıklarla direk dikmek mümkün değildir.
Sorunun LGS müfredatına uygun hale getirilmesi için, kenar uzunluğunun tam kare bir sayı olması beklenir.
Örnek olarak, eğer kenar uzunluğu 10 cm olsaydı:
Çevre = \( 4 \times 10 = 40 \) cm olurdu.
Köşelere de gelecek şekilde eşit aralıklarla direk dikileceği için, direkler arasındaki mesafe, çevrenin bölenlerinden biri olmalıdır. En az direk için, aralık en büyük olmalıdır.
Eğer kenar uzunluğu \( \sqrt{100} = 10 \) cm olsaydı, çevre 40 cm olurdu. Köşelere de gelecek şekilde eşit aralıklarla dikileceği için, aralıklar 10 cm olabilir. Bu durumda 4 direk dikilir (her kenarda 1 direk, köşeler çakışır). - Orijinal Soru Üzerinden Yorum:
Soruda \( \sqrt{50} \) gibi irrasyonel bir kenar uzunluğu verildiği için, tam sayı aralıklarla direk dikmek ve "en az direk" sayısını bulmak, LGS müfredatındaki "gerçek sayılar" konusuyla doğrudan bu şekilde ilişkilendirilemez. Genellikle bu tür sorularda kenar uzunluğu tam sayı veya tam kare bir sayının karekökü olarak verilir ki, çevresi de tam sayı olsun ve EBOB ile aralık bulunabilsin.
Eğer soru, kenar uzunluğu \( \sqrt{100} = 10 \) cm olan bir kare olsaydı:
Çevre = \( 4 \times 10 = 40 \) cm.
Köşelere de gelecek şekilde eşit aralıklarla direk dikileceği için, direkler arasındaki mesafe, kenar uzunluğunun böleni olmalıdır. En az direk için mesafe en büyük olmalı. Kenar uzunluğu 10 cm ise, aralık 10 cm olabilir. Bu durumda her kenara 1 direk dikilir ve toplam 4 direk olur. - Varsayımsal Tam Sayı Kenar Uzunluğu ile Çözüm:
Eğer kenar uzunluğu \( a \) cm ise, çevre \( 4a \) cm'dir. Köşelere de direk dikileceği ve eşit aralıklarla olacağı için, direkler arasındaki mesafe \( d \) olmalı ve \( d \), \( a \) 'nın bir böleni olmalıdır. En az direk için \( d \) en büyük olmalıdır. Bu durumda \( d = a \) olur. Her kenara 1 direk dikilir ve toplam 4 direk olur.
Örnek 8:
Bir çiftçi, tarlasının \( \frac{2}{3} \) 'lük kısmına buğday, kalan kısmının ise \( \frac{1}{4} \) 'üne mısır ekmiştir.
Çiftçinin tarlasının kaçta kaçına mısır ekmediğini bulunuz. 🌾
Çiftçinin tarlasının kaçta kaçına mısır ekmediğini bulunuz. 🌾
Çözüm:
Buğday ve mısır ekilen alanları hesaplayıp, geriye kalan boş alanı bulacağız.
- Toplam Tarla: 1 birim (veya \( \frac{3}{3} \))
- Buğday Ekilen Alan:
Tarlanın \( \frac{2}{3} \) 'üne buğday ekilmiş. - Buğday Ekildikten Sonra Kalan Alan:
Toplam alandan buğday ekilen alanı çıkaralım.
\( 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)
Tarlanın \( \frac{1}{3} \) 'ü boş kalmıştır. ✅ - Mısır Ekilen Alan:
Kalan alanın \( \frac{1}{4} \) 'üne mısır ekilmiş.
Kalan alan \( \frac{1}{3} \) idi.
Mısır ekilen alan = \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{3 \times 4} = \frac{1}{12} \).
Tarlanın \( \frac{1}{12} \) 'sine mısır ekilmiştir. 💡 - Mısır Ekilmeyen Alan:
Soruda çiftçinin tarlasının kaçta kaçına mısır ekmediği soruluyor. Bu, buğday ekilen alan ile kalan boş alanın toplamıdır.
Mısır ekilmeyen alan = (Buğday ekilen alan) + (Boş kalan alan)
Ancak, soruda "kalan kısmının" ifadesi kullanıldığı için, buğday ekildikten sonra kalan \( \frac{1}{3} \) 'lük alandan mısır ekilmiştir.
Mısır ekilmeyen alan = Toplam Tarla - Mısır Ekilen Alan
Mısır ekilmeyen alan = \( 1 - \frac{1}{12} = \frac{12}{12} - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \). - Alternatif Yorum:
Buğday ekilen alan \( \frac{2}{3} \).
Kalan alan \( \frac{1}{3} \).
Bu kalan alanın \( \frac{1}{4} \) 'üne mısır ekilmiş. Yani \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \) mısır ekilmiş.
Mısır ekilmeyen kısım, kalan \( \frac{1}{3} \) alanın \( \frac{3}{4} \) 'üdür.
Mısır ekilmeyen alan = \( \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \).
Dikkat: Soruda "kalan kısmının" ifadesi kullanıldığı için, buğday ekildikten sonra kalan \( \frac{1}{3} \) 'lük alanın tamamı dikkate alınmalı.
Buğday ekilen: \( \frac{2}{3} \)
Kalan: \( \frac{1}{3} \)
Mısır ekilen: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \)
Mısır ekilmeyen kısım, buğday ekilen kısım ile mısır ekilmeyen boş kısmın toplamıdır.
Mısır ekilmeyen alan = \( \frac{2}{3} \) (buğday) + \( \frac{1}{3} \) (kalan) - \( \frac{1}{12} \) (mısır ekilen)
Mısır ekilmeyen alan = \( \frac{2}{3} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{12}) = \frac{2}{3} + (\frac{4}{12} - \frac{1}{12}) = \frac{2}{3} + \frac{3}{12} = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12} \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-gercek-sayilar/sorular