Ebob Ders Notu

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinden en büyüğüne bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir. LGS Matematik sınavında EBOB konusu, özellikle günlük hayat problemlerinin modellenmesi ve parçadan bütüne değil, bütünden parçaya gidiş sorularında sıkça karşımıza çıkmaktadır.

📌 EBOB Bulma Yöntemleri

EBOB hesaplanırken iki temel pratik yöntem kullanılır:

1. Ortak Asal Çarpanlar Algoritması

Sayılar yan yana yazılır ve asal sayılara bölünür. Her iki sayıyı da aynı anda bölen asal sayılar işaretlenir. İşaretlenen asal sayıların çarpımı EBOB'u verir.

Örnek olarak \( 24 \) ve \( 36 \) sayılarını ele alalım:

Her iki sayıyı da tam bölen ortak asal çarpanlar \( 2 \), \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.

EBOB\( (24, 36) = 2 \times 2 \times 3 = 12 \) olarak bulunur.

2. Asal Çarpanların Üslü Biçimi İle EBOB Bulma

Sayılar asal çarpanlarının üslü ifadesi şeklinde yazılır. Ortak olan asal tabanlardan üssü en küçük olanlar seçilir ve birbiriyle çarpılır.

Örneğin; \( a = 2^3 \times 3^2 \times 5 \) ve \( b = 2^2 \times 3^3 \times 7 \) sayıları verilsin.

Ortak tabanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür. Üssü küçük olanları seçeriz:

EBOB\( (a, b) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \) bulunur.

⚡ EBOB'un Kritik Özellikleri

• Aralarında Asal Sayılar: Birden başka ortak böleni olmayan sayıların EBOB'u her zaman \( 1 \)'dir. Örneğin; EBOB\( (8, 15) = 1 \).
• Birbirinin Katı Olan Sayılar: Birbirinin tam katı olan iki doğal sayının EBOB'u küçük olan sayıya eşittir. Örneğin; \( 15 \) ve \( 45 \) sayılarında EBOB\( (15, 45) = 15 \)'tir.
• Çarpım Bağıntısı: İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir: \( a \times b = EBOB(a, b) \times EKOK(a, b) \)

🎯 LGS Mantığıyla EBOB Problemleri

LGS sorularında bir problemin EBOB problemi olduğunu anlamak için sorudaki mantığı kavramak gerekir. Eğer büyük parçalardan daha küçük ve eş parçalar elde ediliyorsa orada EBOB vardır.

Soruda EBOB Olduğunu Nasıl Anlarsın?
• Çuvallar, bidonlar, depolar eşit kapasiteli kaplara paylaştırılıyorsa,
• Tarla veya bahçelerin etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,
• Uzun çubuklar, kumaşlar veya teller eşit uzunlukta kesiliyorsa,
• Dikdörtgen şeklindeki bir yüzey eşit büyüklükte kare fayanslarla kaplanıyorsa EBOB kullanılır.

📊 Karşılaştırma Tablosu: Problem Tipleri

Problem Türü	EBOB'un Temsil Ettiği Değer
Tarla Çevresine Direk/Ağaç Dikme	İki direk veya ağaç arasındaki mesafe
Sıvı/Tahıl Paylaştırma	Kullanılacak bir kabın maksimum hacmi/kütlesi
Çubuk/Kumaş Kesme	Kesilen eş parçalardan birinin uzunluğu
Kare Fayans Kaplama	Kaplanacak kare fayansın bir kenar uzunluğu

✏️ LGS Tipi Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1: Bidon Paylaştırma Problemi

Bir imalathanede bulunan \( 48 \) kg bal ve \( 60 kg \) pekmez, birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit kütleli kavanozlara doldurulacaktır. Bu işlem için en az kaç kavanoz gereklidir?

Çözüm:

En az sayıda kavanoz kullanılması için kavanozların alabileceği kütlenin en büyük olması gerekir. Bu nedenle \( 48 \) ve \( 60 \)'ın EBOB'u bulunur.

\( 48 = 2^4 \times 3 \)

\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

EBOB\( (48, 60) = 2^2 \times 3 = 12 \) kg (Bir kavanozun maksimum kapasitesi)

Gerekli kavanoz sayıları:

Bal için: \( 48 \div 12 = 4 \) adet

Pekmez için: \( 60 \div 12 = 5 \) adet

Toplam kavanoz sayısı: \( 4 + 5 = 9 \) adet bulunur.

Örnek 2: Bahçe Çevresine Direk Dikme Problemi

Kenar uzunlukları \( 40 \) metre ve \( 56 \) metre olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin etrafına, köşelerine de gelmek şartıyla eşit aralıklarla direk dikilecektir. Bu iş için en az kaç direk gereklidir?

Çözüm:

Direk sayısının en az olması için iki direk arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir. Bu mesafe \( 40 \) ve \( 56 \) sayılarının EBOB'udur.

\( 40 = 2^3 \times 5 \)

\( 56 = 2^3 \times 7 \)

EBOB\( (40, 56) = 2^3 = 8 \) metre (İki direk arasındaki mesafe)

Bahçenin Çevresi = \( 2 \times (40 + 56) = 2 \times 96 = 192 \) metre

Toplam Direk Sayısı = Çevre \( \div \) İki Direk Arası Mesafe

Toplam Direk Sayısı = \( 192 \div 8 = 24 \) adet direk gereklidir.