🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Çokgenlerin İç Dış Açıları Ve Köşegenleri Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Çokgenlerin İç Dış Açıları Ve Köşegenleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Düzgün çokgenlerde bir iç açının ölçüsünü bulmak için aşağıdaki adımları takip ederiz:
- 1. 📌 Öncelikle düzgün beşgenin kenar sayısını (n) belirleyelim. Beşgenin 5 kenarı vardır. Yani \( n=5 \).
- 2. 💡 Bir çokgenin iç açılar toplamı formülü \( (n-2) \times 180^\circ \) idi.
- 3. Beşgenin iç açılar toplamını hesaplayalım:
\( (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ \). - 4. 📏 Düzgün bir çokgende tüm iç açılar birbirine eşittir. Bu nedenle, bir iç açının ölçüsünü bulmak için toplamı kenar sayısına böleriz:
Bir iç açı \( = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ \). - ✅ Sonuç olarak, bir düzgün beşgenin bir iç açısı 108 derecedir.
Örnek 2:
Bir düzgün sekizgenin bir dış açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Düzgün çokgenlerde bir dış açının ölçüsünü bulmak oldukça basittir:
- 1. 📌 Tüm çokgenlerin dış açılar toplamı her zaman \( 360^\circ \)'dir.
- 2. 💡 Düzgün sekizgenin kenar sayısı (n) 8'dir.
- 3. Düzgün bir çokgende tüm dış açılar birbirine eşittir. Bu nedenle, bir dış açının ölçüsünü bulmak için dış açılar toplamını kenar sayısına böleriz:
Bir dış açı \( = \frac{360^\circ}{n} \). - 4. Düzgün sekizgen için hesaplama yapalım:
Bir dış açı \( = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \). - ✅ Yani, bir düzgün sekizgenin bir dış açısı 45 derecedir.
Örnek 3:
Bir dörtgenin iç açıları sırasıyla \( 70^\circ \), \( 110^\circ \), \( 85^\circ \) ve \( x \) derecedir. Buna göre \( x \) kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bir dörtgenin iç açılar toplamı bilgisini kullanarak \( x \) değerini bulabiliriz:
- 1. 📌 Bir dörtgenin 4 kenarı vardır. Yani \( n=4 \).
- 2. 💡 Bir çokgenin iç açılar toplamı formülü \( (n-2) \times 180^\circ \) idi.
- 3. Dörtgenin iç açılar toplamını hesaplayalım:
\( (4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ \). - 4. Verilen iç açıları toplayıp \( 360^\circ \) 'den çıkararak \( x \) değerini buluruz:
\( 70^\circ + 110^\circ + 85^\circ + x = 360^\circ \) - \( 265^\circ + x = 360^\circ \)
- \( x = 360^\circ - 265^\circ \)
- \( x = 95^\circ \).
- ✅ Buna göre, dörtgenin dördüncü iç açısı \( 95^\circ \)'dir.
Örnek 4:
Bir düzgün yedigenin bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı ve toplam köşegen sayısı kaçtır? 📏
Çözüm:
Çokgenlerin köşegen sayılarını bulmak için belirli formüller kullanırız:
- 1. 📌 Düzgün yedigenin kenar sayısı (n) 7'dir.
- 2. 💡 Bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı formülü \( n-3 \) idi.
- 3. Yedigen için bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısını hesaplayalım:
\( 7-3 = 4 \). - 4. 💡 Toplam köşegen sayısı formülü \( \frac{n \times (n-3)}{2} \) idi.
- 5. Yedigen için toplam köşegen sayısını hesaplayalım:
\( \frac{7 \times (7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14 \). - ✅ Sonuç olarak, bir düzgün yedigenin bir köşesinden 4 köşegen çizilebilir ve toplamda 14 köşegeni vardır.
Örnek 5:
Kenar sayısı n olan bir düzgün çokgenin bir iç açısı, bir dış açısının 4 katından \( 30^\circ \) fazladır. Bu düzgün çokgenin kenar sayısı (n) kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu tür problemleri çözmek için iç ve dış açılar arasındaki ilişkiden faydalanırız:
- 1. 📌 Bir düzgün çokgenin bir dış açısı \( \frac{360^\circ}{n} \) formülü ile bulunur.
- 2. 📌 Bir düzgün çokgenin bir iç açısı ise \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \) formülü ile bulunur.
- 3. Ayrıca, bir iç açı ile bir dış açının toplamı her zaman \( 180^\circ \) 'dir.
İç açı \( + \) Dış açı \( = 180^\circ \). - 4. Soruda verilen bilgiyi denkleme dökelim:
İç açı \( = 4 \times \) (Dış açı) \( + 30^\circ \). - 5. İç açı yerine \( 180^\circ - \) Dış açı yazarsak:
\( 180^\circ - \) Dış açı \( = 4 \times \) (Dış açı) \( + 30^\circ \). - 6. Dış açı terimini bir tarafa toplayalım:
\( 180^\circ - 30^\circ = 4 \times \) (Dış açı) \( + \) Dış açı
\( 150^\circ = 5 \times \) (Dış açı). - 7. Bir dış açının ölçüsünü bulalım:
Dış açı \( = \frac{150^\circ}{5} = 30^\circ \). - 8. Dış açı formülünü kullanarak kenar sayısını (n) bulalım:
\( \frac{360^\circ}{n} = 30^\circ \). - \( n = \frac{360^\circ}{30^\circ} \).
- \( n = 12 \).
- ✅ Bu düzgün çokgenin kenar sayısı 12'dir. Yani bir düzgün onikigendir.
Örnek 6:
Bir mimar, altıgen şeklindeki fayansları kullanarak bir zemin deseni oluşturmak istiyor. Fayanslar arasında hiç boşluk kalmaması ve üst üste binmemesi için her bir fayansın köşe açısının kaç derece olması gerekir? (Fayanslar düzgün çokgen şeklindedir.) 🏠
Çözüm:
Bu bir "döşeme" veya "mozaik" problemidir ve düzgün çokgenlerin iç açıları ile ilgilidir:
- 1. 📌 Zemin döşemesi yaparken, bir noktada birleşen çokgenlerin iç açılarının toplamı \( 360^\circ \) olmalıdır.
- 2. 💡 Fayanslar düzgün altıgen şeklindedir. Düzgün altıgenin kenar sayısı (n) 6'dır.
- 3. Önce bir düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsünü bulalım:
- a. İç açılar toplamı: \( (n-2) \times 180^\circ = (6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ \).
- b. Bir iç açı: \( \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \).
- 4. ❓ Şimdi düşünelim: Bir noktada kaç tane \( 120^\circ \) 'lik açı bir araya gelirse \( 360^\circ \) yapar?
\( \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3 \). - ✅ Yani, bir düzgün altıgen fayansın köşe açısı \( 120^\circ \) olmalıdır ve bir noktada 3 fayans birleşerek boşluksuz bir döşeme oluşturabilir. Mimarın kullanacağı fayansların iç açısı zaten \( 120^\circ \) olduğu için, altıgen fayanslar zemini boşluksuz döşemek için idealdir.
Örnek 7:
Trafik işaretlerinden biri olan "Dur" levhası, kenarları eşit uzunlukta olan bir sekizgen (oktagon) şeklindedir. Bu levhanın her bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir? 🛑
Çözüm:
Günlük hayatta karşılaştığımız bu işaretin açısını hesaplayalım:
- 1. 📌 "Dur" levhası düzgün sekizgen şeklinde olduğu için kenar sayısı (n) 8'dir.
- 2. 💡 Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsünü bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:
Bir iç açı \( = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \). - 3. Sekizgen için bu formülü uygulayalım:
Bir iç açı \( = \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} \). - Bir iç açı \( = \frac{6 \times 180^\circ}{8} \).
- Bir iç açı \( = \frac{1080^\circ}{8} \).
- Bir iç açı \( = 135^\circ \).
- ✅ "Dur" levhasının her bir iç açısının ölçüsü \( 135^\circ \)'dir. Bu sayede levha, uzaktan bile kolayca fark edilebilen belirgin bir şekle sahiptir.
Örnek 8:
Bir düzgün n-genin bir iç açısı ile bir dış açısı arasındaki fark \( 108^\circ \) 'dir. Bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır? 🔢
Çözüm:
İç ve dış açı ilişkilerini kullanarak bu problemi adım adım çözelim:
- 1. 📌 Bir düzgün çokgenin bir iç açısı ile bir dış açısının toplamı her zaman \( 180^\circ \) 'dir.
İç açı \( + \) Dış açı \( = 180^\circ \). - 2. 📌 Soruda verilen bilgiye göre, iç açı ile dış açı arasındaki fark \( 108^\circ \) 'dir.
İç açı \( - \) Dış açı \( = 108^\circ \). - 3. Bu iki denklemi kullanarak iç ve dış açıları bulabiliriz. Denklemleri taraf tarafa toplayalım:
(İç açı \( + \) Dış açı) \( + \) (İç açı \( - \) Dış açı) \( = 180^\circ + 108^\circ \)
\( 2 \times \) (İç açı) \( = 288^\circ \)
İç açı \( = \frac{288^\circ}{2} = 144^\circ \). - 4. Şimdi dış açıyı bulalım:
Dış açı \( = 180^\circ - \) İç açı \( = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \). - 5. Dış açı formülünü kullanarak kenar sayısını (n) bulalım:
Dış açı \( = \frac{360^\circ}{n} \)
\( 36^\circ = \frac{360^\circ}{n} \)
\( n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10 \). - 6. 💡 Çokgenin kenar sayısı 10'dur (düzgün ongen). Şimdi toplam köşegen sayısını bulalım. Toplam köşegen sayısı formülü \( \frac{n \times (n-3)}{2} \) idi.
- 7. \( n=10 \) için toplam köşegen sayısını hesaplayalım:
Toplam köşegen sayısı \( = \frac{10 \times (10-3)}{2} \). - Toplam köşegen sayısı \( = \frac{10 \times 7}{2} \).
- Toplam köşegen sayısı \( = \frac{70}{2} = 35 \).
- ✅ Bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 35'tir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-cokgenlerin-ic-dis-acilari-ve-kosegenleri/sorular