💡 8. Sınıf Matematik: Çarpanlara ayırma Çözümlü Örnekler

💡 Çözüm:

Ortak çarpan parantezine alma yönteminde, terimlerin en büyük ortak bölenini (EBOB) buluruz:

• 1. Adım: Katsayıları inceleyelim. \(6\) ve \(9\) sayılarının en büyük ortak böleni \(3\)'tür.
• 2. Adım: Değişkenleri inceleyelim. \(x^2\) ve \(x\) terimlerindeki ortak değişken en küçük üslü olan \(x\)'tir.
• 3. Adım: Bu durumda ortak çarpanımız \(3x\) olur.
• 4. Adım: Her terimi \(3x\) ifadesine bölerek parantez içini bulalım:

\[ \frac{6x^2}{3x} = 2x \]

\[ \frac{-9x}{3x} = -3 \]

✅ Elde ettiğimiz çarpanlara ayrılmış şekil:

\[ 3x \times (2x - 3) \]

💡 Çözüm:

İki kare farkı özdeşliği formülü: \(a^2 - b^2 = (a-b) \times (a+b)\) şeklindedir.

• 1. Adım: Birinci terimin hangi ifadenin karesi olduğunu bulalım:

\[ 25x^2 = (5x)^2 \]

• 2. Adım: İkinci terimin hangi sayının karesi olduğunu bulalım:

\[ 16 = 4^2 \]

• 3. Adım: Bulduğumuz terimleri formülde yerine yazalım:

Burada terimlerimiz \(5x\) ve \(4\)'tür.

✅ Çarpanlarına ayrılmış hali:

\[ (5x - 4) \times (5x + 4) \]

💡 Çözüm:

Verilen ifadeyi tam kare özdeşliği olan \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) formuna göre inceleyelim:

• 1. Adım: Birinci terim \(x^2\), yani \(x\)'in karesidir.
• 2. Adım: Son terim \(25\), yani \(5\)'in karesidir.
• 3. Adım: Ortadaki terim, bu iki terimin çarpımının iki katı mıdır? Kontrol edelim:

\[ 2 \times x \times 5 = 10x \]

• Ortadaki terimin işareti eksi (\(-\)) olduğu için bu ifade bir farkın karesidir.

✅ Bu durumda ifademiz:

\[ (x - 5)^2 \]

veya çarpanlarına ayrılmış haliyle:

\[ (x - 5) \times (x - 5) \]

💡 Çözüm:

Bu soruda hem ortak çarpan parantezine alma hem de iki kare farkı özdeşliğini birlikte uygulayacağız:

• 1. Adım: İlk olarak terimleri ortak olan \(3\) parantezine alalım:

\[ 3 \times (x^2 - 4) \]

• 2. Adım: Parantez içindeki \(x^2 - 4\) ifadesini inceleyelim. Bu ifade iki kare farkıdır:

\[ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 \]

• 3. Adım: İki kare farkı kuralını uygulayarak çarpanlarına ayıralım:

\[ x^2 - 2^2 = (x - 2) \times (x + 2) \]

✅ Tüm çarpanları birleştirdiğimizde ifadenin son hali:

\[ 3 \times (x - 2) \times (x + 2) \]

💡 Çözüm:

Adım adım alanı hesaplayalım ve çarpanlarına ayıralım:

• 1. Adım: Başlangıçtaki büyük karenin alanı:

\[ \text{Tüm Alan} = a^2 \]

• 2. Adım: Kesilen küçük karelerden bir tanesinin alanı:

\[ (2b)^2 = 4b^2 \]

• 3. Adım: 4 adet eş kare kesildiği için toplam kesilen alan:

\[ 4 \times 4b^2 = 16b^2 \]

• 4. Adım: Kalan alanı bulmak için tüm alandan kesilen alanı çıkaralım:

\[ \text{Kalan Alan} = a^2 - 16b^2 \]

• 5. Adım: Elde ettiğimiz ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayıralım:

\[ a^2 - (4b)^2 \]

✅ Kalan alanı veren çarpanlara ayrılmış ifade:

\[ (a - 4b) \times (a + 4b) \]

💡 Çözüm:

Parkın kare şeklinde olduğu belirtilmiştir. Karenin alanından kenar uzunluğuna geçiş yapmalıyız:

• 1. Adım: Alan ifadesini çarpanlarına ayırarak bir kenar uzunluğunu bulalım:

\[ x^2 + 12x + 36 \]

• Bu ifade bir tam kare ifadedir. \(x^2\), \(x\)'in karesidir; \(36\), \(6\)'nın karesidir. Ortadaki terim ise \(2 \times x \times 6 = 12x\) olup kuralı sağlar.

\[ x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2 \]

• 2. Adım: Karenin alanı bir kenarının karesi olduğuna göre, parkın bir kenar uzunluğu:

Bir kenar = \(x + 6\) metre

• 3. Adım: Karenin çevre uzunluğu 4 kenarının toplamına eşittir:

\[ \text{Çevre} = 4 \times (x + 6) \]

✅ Gerekli olan tel uzunluğunu veren cebirsel ifade:

\[ 4x + 24 \]

💡 Çözüm:

Çerçevenin içine sığabilecek en büyük kare, çerçevenin iç sınırlarına tam değen karedir. Dolayısıyla bu karenin bir kenar uzunluğu, çerçevenin bir kenar uzunluğuna eşit olacaktır.

• 1. Adım: Alanı verilen cebirsel ifadeyi tam kare özdeşliği yardımıyla çarpanlarına ayıralım:

\[ 9x^2 - 24x + 16 \]

• 2. Adım: Terimleri kontrol edelim:

\[ 9x^2 = (3x)^2 \]

\[ 16 = 4^2 \]

Ortadaki terim: \(-2 \times 3x \times 4 = -24x\) (koşulu sağlar).

• 3. Adım: İfadeyi tam kare farkı olarak yazalım:

\[ (3x - 4)^2 \]

✅ Bu durumda karenin bir kenar uzunluğunu veren cebirsel ifade:

\[ 3x - 4 \]

💡 Çözüm:

İfadeyi en sade çarpanlarına ayırmak için adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Tüm terimlerdeki ortak katsayıyı belirleyelim. \(2\), \(12\) ve \(18\) sayılarının ortak çarpanı \(2\)'dir.
• 2. Adım: İfadeyi \(2\) ortak çarpan parantezine alalım:

\[ 2 \times (x^2 + 6x + 9) \]

• 3. Adım: Parantez içindeki \(x^2 + 6x + 9\) ifadesini çarpanlarına ayıralım. Bu ifade bir tam karedir:

\[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \]

✅ İfadenin en sade şekilde çarpanlarına ayrılmış hali:

\[ 2 \times (x + 3) \times (x + 3) \]