🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Çarpanlar Ve Katlar Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Çarpanlar Ve Katlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 40 sayısının tüm pozitif çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.
Çözüm:
Bir sayının çarpanlarını bulmak için, o sayıyı tam bölen tüm pozitif tam sayıları bulmamız gerekir. İşte adım adım çözüm:
- 👉 40 sayısını çarpanlarına ayırırken, 1'den başlayarak hangi sayılara bölündüğünü kontrol ederiz.
- ✅ 1 ile çarpımı: \( 1 \times 40 = 40 \)
- ✅ 2 ile çarpımı: \( 2 \times 20 = 40 \)
- ✅ 3 ile bölünmez.
- ✅ 4 ile çarpımı: \( 4 \times 10 = 40 \)
- ✅ 5 ile çarpımı: \( 5 \times 8 = 40 \)
- ✅ 6 ile bölünmez.
- ✅ 7 ile bölünmez.
- ✅ 8 ile çarpımı: \( 8 \times 5 = 40 \) (Tekrar etmeye başladı, durabiliriz.)
- 📌 Bu durumda, 40 sayısının pozitif çarpanları şunlardır: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Örnek 2:
🔢 96 sayısını asal çarpanlarına ayırarak üslü ifade şeklinde yazınız.
Çözüm:
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için "asal çarpanlar algoritması" (bölen listesi) yöntemini kullanabiliriz.
- 👉 96 sayısını en küçük asal sayıdan (2) başlayarak bölelim:
- \[ \begin{array}{r|l} 96 & 2 \\ 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} \]
- ✅ Bu işlem sonucunda 96 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
- 📌 Üslü ifade şeklinde yazarsak: \( 96 = 2^5 \times 3^1 \) veya \( 96 = 2^5 \times 3 \) olur.
Örnek 3:
🤝 72 ve 108 sayılarının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulunuz.
Çözüm:
İki sayının EBOB'unu bulmak için her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayırıp ortak olan asal çarpanların en küçük üslülerini çarparız.
- 👉 İki sayıyı aynı anda asal çarpanlar algoritması ile bölelim ve her ikisini de bölen asal sayıları işaretleyelim:
- \[ \begin{array}{r|l} 72 \quad 108 & 2 \quad \text{(*)} \\ 36 \quad 54 & 2 \quad \text{(*)} \\ 18 \quad 27 & 2 \\ 9 \quad 27 & 3 \quad \text{(*)} \\ 3 \quad 9 & 3 \quad \text{(*)} \\ 1 \quad 3 & 3 \\ 1 \quad 1 & \\ \end{array} \]
- ✅ İşaretli asal çarpanlar her iki sayıyı da tam bölenlerdir.
- 📌 Bu işaretli asal çarpanları çarparak EBOB'u buluruz:
\( \text{EBOB}(72, 108) = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 4 \times 9 = \textbf{36} \) olur.
Örnek 4:
➕ 18 ve 24 sayılarının En Küçük Ortak Katını (EKOK) bulunuz.
Çözüm:
İki sayının EKOK'unu bulmak için her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayırıp tüm asal çarpanların en büyük üslülerini çarparız.
- 👉 İki sayıyı aynı anda asal çarpanlar algoritması ile bölelim:
- \[ \begin{array}{r|l} 18 \quad 24 & 2 \\ 9 \quad 12 & 2 \\ 9 \quad 6 & 2 \\ 9 \quad 3 & 3 \\ 3 \quad 1 & 3 \\ 1 \quad 1 & \\ \end{array} \]
- ✅ Algoritmada çıkan tüm asal çarpanları çarparak EKOK'u buluruz.
- 📌
\( \text{EKOK}(18, 24) = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = \textbf{72} \) olur.
Örnek 5:
🏡 Bir kenarı 84 metre, diğer kenarı 120 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe, hiç boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde eşit büyüklükte kare parsellere ayrılacaktır. Bu parsellerin bir kenarının uzunluğu en fazla kaç metre olabilir?
Çözüm:
Bu problemde, hem 84'ü hem de 120'yi bölen en büyük sayıyı, yani EBOB'u bulmamız gerekiyor. Kare parsellerin kenar uzunluğu, bahçenin hem uzun hem de kısa kenarını tam bölmelidir.
- 👉 84 ve 120 sayılarının EBOB'unu bulmak için asal çarpanlar algoritmasını kullanalım:
- \[ \begin{array}{r|l} 84 \quad 120 & 2 \quad \text{(*)} \\ 42 \quad 60 & 2 \quad \text{(*)} \\ 21 \quad 30 & 2 \\ 21 \quad 15 & 3 \quad \text{(*)} \\ 7 \quad 5 & 5 \\ 7 \quad 1 & 7 \\ 1 \quad 1 & \\ \end{array} \]
- ✅ İşaretli asal çarpanlar (her ikisini de bölenler) 2, 2 ve 3'tür.
- 📌 Bu durumda, parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla
\( \text{EBOB}(84, 120) = 2 \times 2 \times 3 = \textbf{12} \) metre olabilir.
Örnek 6:
🚌 Bir duraktan kalkan iki otobüsten biri 45 dakikada bir, diğeri ise 60 dakikada bir sefere çıkmaktadır. İki otobüs ilk kez saat 08.00'de aynı anda sefere çıktıklarına göre, tekrar saat kaçta birlikte sefere çıkarlar?
Çözüm:
Bu problemde, iki otobüsün sefere çıkma sürelerinin ortak katını, yani EKOK'unu bulmamız gerekiyor.
- 👉 45 ve 60 sayılarının EKOK'unu bulmak için asal çarpanlar algoritmasını kullanalım:
- \[ \begin{array}{r|l} 45 \quad 60 & 2 \\ 45 \quad 30 & 2 \\ 45 \quad 15 & 3 \\ 15 \quad 5 & 3 \\ 5 \quad 5 & 5 \\ 1 \quad 1 & \\ \end{array} \]
- ✅ Tüm asal çarpanları çarparak EKOK'u buluruz.
- 📌
\( \text{EKOK}(45, 60) = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 36 \times 5 = \textbf{180} \) dakika. - 💡 Bu, otobüslerin 180 dakika sonra tekrar birlikte sefere çıkacağı anlamına gelir. 180 dakika, \( 180 \div 60 = 3 \) saate eşittir.
- ⏰ İlk kez saat 08.00'de birlikte sefere çıktıklarına göre, 3 saat sonra yani
\( 08.00 + 3 \text{ saat} = \textbf{11.00} \) 'de tekrar birlikte sefere çıkarlar.
Örnek 7:
📝 \( (2x-1) \) ile \( (y+3) \) sayıları aralarında asaldır.
\(\frac{2x-1}{y+3} = \frac{20}{35}\) olduğuna göre, \( x+y \) kaçtır?
\(\frac{2x-1}{y+3} = \frac{20}{35}\) olduğuna göre, \( x+y \) kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal sayılar, 1'den başka ortak pozitif böleni olmayan sayılardır. Verilen kesri en sade haline getirmeliyiz.
- 👉 Önce verilen kesri sadeleştirelim:
- \( \frac{20}{35} \) kesrini 5 ile sadeleştirebiliriz.
\( \frac{20 \div 5}{35 \div 5} = \frac{4}{7} \) - ✅ Şimdi elimizde
\( \frac{2x-1}{y+3} = \frac{4}{7} \) denklemi var. - 📌 4 ve 7 sayıları aralarında asaldır (çünkü 1'den başka ortak bölenleri yoktur). Soruda da \( (2x-1) \) ile \( (y+3) \) sayılarının aralarında asal olduğu belirtilmiş.
Bu durumda, paylar ve paydalar birbirine eşit olmalıdır: - \( 2x-1 = 4 \)
\( 2x = 5 \)
\( x = \frac{5}{2} \) - \( y+3 = 7 \)
\( y = 7-3 \)
\( y = 4 \) - Son olarak \( x+y \) değerini bulalım:
\( x+y = \frac{5}{2} + 4 = \frac{5}{2} + \frac{8}{2} = \frac{13}{2} \)
Örnek 8:
✨ İki sayının EBOB'u 12, EKOK'u ise 180'dir. Bu sayılardan biri 36 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
İki sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, o iki sayının çarpımına eşittir. Bu önemli bir kuraldır.
- 👉 Kuralı hatırlayalım: İki sayı \( A \) ve \( B \) olmak üzere,
\( \text{EBOB}(A, B) \times \text{EKOK}(A, B) = A \times B \) - ✅ Verilen değerleri bu formülde yerine yazalım:
- \( \text{EBOB} = 12 \)
- \( \text{EKOK} = 180 \)
- Sayılardan biri \( A = 36 \)
- Diğer sayı \( B = ? \)
- Denklemimiz:
\( 12 \times 180 = 36 \times B \) - 👉 \( 2160 = 36 \times B \)
- 📌 Her iki tarafı 36'ya bölelim:
\( B = \frac{2160}{36} \)
\( B = \textbf{60} \) - Demek ki, diğer sayı 60'tır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-carpanlar-ve-katlar/sorular