🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Bilimsel Gösterim Ve Üslü İfadeler Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Bilimsel Gösterim Ve Üslü İfadeler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulunuz:
👉 \( (-3)^3 \)
👉 \( (-2)^4 \)
👉 \( \frac{1}{5^{-2}} \)
👉 \( (-3)^3 \)
👉 \( (-2)^4 \)
👉 \( \frac{1}{5^{-2}} \)
Çözüm:
Bu örnekte, üslü ifadelerin temel kurallarını hatırlayalım. Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Negatif üs ise sayıyı ters çevirir.
- 💡 \( (-3)^3 \):
- Taban negatif, üs tek sayı olduğu için sonuç negatif olacaktır.
- \( (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) \)
- \( (-3)^3 = 9 \times (-3) \)
- \( (-3)^3 = -27 \)
- 💡 \( (-2)^4 \):
- Taban negatif, üs çift sayı olduğu için sonuç pozitif olacaktır.
- \( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \)
- \( (-2)^4 = 4 \times 4 \)
- \( (-2)^4 = 16 \)
- 💡 \( \frac{1}{5^{-2}} \):
- Negatif üs, tabanı ters çevirir. Yani \( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} \) olur.
- Bu durumda ifade \( \frac{1}{\frac{1}{5^2}} \) şeklini alır.
- Kesrin paydasındaki kesri ters çevirip çarptığımızda: \( 1 \times 5^2 \)
- \( 5^2 = 5 \times 5 = 25 \)
- Sonuç: \( 25 \)
Örnek 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu üslü ifade olarak bulunuz:
\[ \frac{2^5 \times 4^3}{8^2} \]
\[ \frac{2^5 \times 4^3}{8^2} \]
Çözüm:
Bu tür sorularda, tüm sayıları aynı tabanda yazmak işlemi kolaylaştırır. Burada en uygun taban \( 2 \) olacaktır.
- 📌 Adım 1: Tabanları eşitleme.
- \( 4 = 2^2 \) olduğu için \( 4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 \)
- \( 8 = 2^3 \) olduğu için \( 8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 \)
- 📌 Adım 2: İfadeyi yeniden yazma.
- Şimdi işlemi yeniden yazalım: \[ \frac{2^5 \times 2^6}{2^6} \]
- 📌 Adım 3: Çarpma işlemini yapma.
- Üslü ifadelerde çarpma yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır: \( 2^5 \times 2^6 = 2^{5+6} = 2^{11} \)
- İfade şimdi şu hale geldi: \[ \frac{2^{11}}{2^6} \]
- 📌 Adım 4: Bölme işlemini yapma.
- Üslü ifadelerde bölme yaparken tabanlar aynıysa payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \( 2^{11-6} = 2^5 \)
Örnek 3:
Aşağıdaki ondalık gösterimi, 10'un tam sayı kuvvetlerini kullanarak çözümleyiniz.
\( 342,705 \)
\( 342,705 \)
Çözüm:
Bir ondalık gösterimi çözümlemek için her bir basamağın basamak değeri ile 10'un uygun kuvvetini çarparız.
- 👉 Basamak değerlerini belirleme:
- \( 3 \) yüzler basamağı \( (10^2) \)
- \( 4 \) onlar basamağı \( (10^1) \)
- \( 2 \) birler basamağı \( (10^0) \)
- \( 7 \) onda birler basamağı \( (10^{-1}) \)
- \( 0 \) yüzde birler basamağı \( (10^{-2}) \)
- \( 5 \) binde birler basamağı \( (10^{-3}) \)
- 👉 Çözümleme:
- Her basamağı kendi basamak değeriyle çarpıp topluyoruz:
- \( 342,705 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 2 \times 10^0 + 7 \times 10^{-1} + 0 \times 10^{-2} + 5 \times 10^{-3} \)
- 💡 Sıfır olan basamağı yazmayabiliriz:
- \( 342,705 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 2 \times 10^0 + 7 \times 10^{-1} + 5 \times 10^{-3} \)
Örnek 4:
Güneş ile Dünya arasındaki ortalama mesafe yaklaşık \( 149.600.000 \) kilometredir. Bu mesafeyi bilimsel gösterimle ifade ediniz.
Çözüm:
Bir sayıyı bilimsel gösterimle yazmak için, sayıyı \( a \times 10^n \) şeklinde ifade ederiz. Burada \( 1 \le |a| < 10 \) ve \( n \) bir tam sayıdır.
- 📌 Adım 1: Sayıyı \( 1 \) ile \( 10 \) arasına getirme.
- Verilen sayı \( 149.600.000 \).
- Bu sayıyı \( 1 \) ile \( 10 \) arasına getirmek için virgülü sola doğru kaydırmamız gerekir.
- \( 149.600.000 \) sayısının sonunda görünmeyen bir virgül vardır: \( 149.600.000, \)
- Virgülü sola doğru kaydırarak \( 1,496 \) elde ederiz.
- 📌 Adım 2: Virgülün kaç basamak kaydığını belirleme.
- Virgülü \( 149.600.000 \) sayısından \( 1,496 \) sayısına getirmek için tam \( 8 \) basamak sola kaydırdık.
- 📌 Adım 3: \( 10 \) 'un kuvvetini belirleme.
- Sola kaydırdığımızda üs pozitif olur. Kaydırdığımız basamak sayısı kadar \( 10 \) 'un üssü artar.
- Bu durumda \( n = 8 \) olur.
- 👉 Bilimsel gösterim:
- \( 1,496 \times 10^8 \) kilometre.
Örnek 5:
Bir bakterinin uzunluğu yaklaşık olarak \( 0,0000003 \) metredir. Bu uzunluğu bilimsel gösterimle ifade ediniz.
Çözüm:
Çok küçük sayıları bilimsel gösterimle yazarken, virgülü sağa doğru kaydırırız ve \( 10 \) 'un kuvvetini negatif olarak belirleriz.
- 📌 Adım 1: Sayıyı \( 1 \) ile \( 10 \) arasına getirme.
- Verilen sayı \( 0,0000003 \).
- Bu sayıyı \( 1 \) ile \( 10 \) arasına getirmek için virgülü sağa doğru kaydırmamız gerekir.
- Virgülü sağa doğru kaydırarak \( 3 \) elde ederiz.
- 📌 Adım 2: Virgülün kaç basamak kaydığını belirleme.
- Virgülü \( 0,0000003 \) sayısından \( 3 \) sayısına getirmek için tam \( 7 \) basamak sağa kaydırdık.
- 📌 Adım 3: \( 10 \) 'un kuvvetini belirleme.
- Sağa kaydırdığımızda üs negatif olur. Kaydırdığımız basamak sayısı kadar \( 10 \) 'un üssü azalır.
- Bu durumda \( n = -7 \) olur.
- 👉 Bilimsel gösterim:
- \( 3 \times 10^{-7} \) metre.
Örnek 6:
Bir nano-robotun ağırlığı \( 25 \times 10^{-9} \) gramdır. Bu robotlardan \( 400.000 \) tanesinin toplam ağırlığı kaç gramdır? Bulduğunuz sonucu bilimsel gösterimle ifade ediniz.
Çözüm:
Bu problemde hem üslü ifadelerle çarpma yapacak hem de sonucu bilimsel gösterime çevireceğiz.
- 📌 Adım 1: Toplam ağırlığı bulmak için çarpma işlemi.
- Bir robotun ağırlığı: \( 25 \times 10^{-9} \) gram.
- Robot sayısı: \( 400.000 \).
- Toplam ağırlık = (Bir robotun ağırlığı) \( \times \) (Robot sayısı)
- Toplam ağırlık = \( (25 \times 10^{-9}) \times (400.000) \)
- 📌 Adım 2: Büyük sayıyı üslü ifade olarak yazma.
- \( 400.000 = 4 \times 100.000 = 4 \times 10^5 \)
- 📌 Adım 3: Çarpma işlemini gerçekleştirme.
- Toplam ağırlık = \( (25 \times 10^{-9}) \times (4 \times 10^5) \)
- Sayı kısımlarını kendi aralarında, \( 10 \) 'un kuvvetlerini kendi aralarında çarpalım:
- \( (25 \times 4) \times (10^{-9} \times 10^5) \)
- \( 100 \times 10^{-9+5} \)
- \( 100 \times 10^{-4} \)
- 📌 Adım 4: Sonucu bilimsel gösterime çevirme.
- Şu anki sonuç \( 100 \times 10^{-4} \).
- Bilimsel gösterim için sayı \( 1 \) ile \( 10 \) arasında olmalı. \( 100 \) sayısını \( 1 \) ile \( 10 \) arasına getirelim: \( 100 = 1 \times 10^2 \).
- Yerine yazarsak: \( (1 \times 10^2) \times 10^{-4} \)
- Üsleri toplarsak: \( 1 \times 10^{2 + (-4)} = 1 \times 10^{-2} \)
Örnek 7:
Işık hızı saniyede yaklaşık \( 300.000 \) kilometredir. Güneş'ten yola çıkan ışığın Dünya'ya ulaşması yaklaşık \( 500 \) saniye sürdüğüne göre, Güneş ile Dünya arasındaki mesafeyi metre cinsinden bulunuz ve bu sonucu bilimsel gösterimle ifade ediniz. (1 km = 1000 m)
Çözüm:
Bu problemde hız, zaman ve mesafe ilişkisini kullanarak günlük hayatta bilimsel gösterimin nasıl kullanıldığını göreceğiz.
- 📌 Adım 1: Mesafeyi kilometre cinsinden bulma.
- Mesafe = Hız \( \times \) Zaman
- Hız = \( 300.000 \) km/s
- Zaman = \( 500 \) s
- Mesafe = \( 300.000 \times 500 \) km
- Mesafe = \( (3 \times 10^5) \times (5 \times 10^2) \) km
- Mesafe = \( (3 \times 5) \times (10^5 \times 10^2) \) km
- Mesafe = \( 15 \times 10^{5+2} \) km
- Mesafe = \( 15 \times 10^7 \) km
- 📌 Adım 2: Mesafeyi metre cinsine çevirme.
- \( 1 \) km = \( 1000 \) m = \( 10^3 \) m
- Mesafe (metre) = \( (15 \times 10^7) \times 10^3 \) m
- Mesafe (metre) = \( 15 \times 10^{7+3} \) m
- Mesafe (metre) = \( 15 \times 10^{10} \) m
- 📌 Adım 3: Sonucu bilimsel gösterimle ifade etme.
- Şu anki sonuç \( 15 \times 10^{10} \) m.
- Bilimsel gösterim için sayı \( 1 \) ile \( 10 \) arasında olmalı. \( 15 \) sayısını \( 1 \) ile \( 10 \) arasına getirelim: \( 15 = 1,5 \times 10^1 \).
- Yerine yazarsak: \( (1,5 \times 10^1) \times 10^{10} \)
- Üsleri toplarsak: \( 1,5 \times 10^{1+10} = 1,5 \times 10^{11} \) m
Örnek 8:
\( (0,2)^3 \times (25)^2 \times 10^4 \) işleminin sonucunu bilimsel gösterimle ifade ediniz.
Çözüm:
Bu soruda farklı tabanlardaki üslü ifadeleri çarpmamız ve sonucu bilimsel gösterime çevirmemiz gerekmektedir.
- 📌 Adım 1: Tüm tabanları en küçük asal çarpanlarına göre yazma.
- \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1} \)
- \( 25 = 5^2 \)
- 📌 Adım 2: İfadeleri yeniden yazma ve üs alma.
- \( (0,2)^3 = (5^{-1})^3 = 5^{-3} \)
- \( (25)^2 = (5^2)^2 = 5^{2 \times 2} = 5^4 \)
- 📌 Adım 3: İşlemi gerçekleştirme.
- Şimdi tüm ifadeyi yeniden yazalım: \[ 5^{-3} \times 5^4 \times 10^4 \]
- Aynı tabanları çarpalım (üsleri toplayalım): \( 5^{-3} \times 5^4 = 5^{-3+4} = 5^1 = 5 \)
- İfade şimdi şu hale geldi: \[ 5 \times 10^4 \]
- 📌 Adım 4: Sonucu bilimsel gösterimle ifade etme.
- Bulduğumuz sonuç \( 5 \times 10^4 \).
- Bilimsel gösterimin tanımına göre \( a \times 10^n \) ifadesinde \( 1 \le |a| < 10 \) olmalıdır.
- Buradaki \( a \) değeri \( 5 \) 'tir ve bu koşulu sağlamaktadır.
- Bu nedenle sonuç zaten bilimsel gösterimle yazılmıştır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-bilimsel-gosterim-ve-uslu-ifadeler/sorular