Aralarında asal Ders Notu

İki veya daha fazla pozitif tam sayının 1'den başka ortak böleni (çarpanı) yok ise bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Aralarında asallık kavramı, sayıların tek tek asal olmasını gerektirmez. Bu kavram, sayıların birbirine göre ortak bölen durumunu ifade eder.

🎯 Aralarında Asal Sayıların Temel Özellikleri

• Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez: Örneğin \(8\) ve \(15\) sayıları asal değildir. Ancak \(8\)'in pozitif bölenleri \(1, 2, 4, 8\) ve \(15\)'in pozitif bölenleri \(1, 3, 5, 15\) olup ortak tek bölenleri \(1\) olduğu için bu iki sayı aralarında asaldır.
• Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır: Herhangi ardışık iki pozitif tam sayı aralarında asaldır. Örneğin \(12\) ile \(13\), \(45\) ile \(46\) aralarında asaldır.
• Ardışık tek sayılar aralarında asaldır: Örneğin \(15\) ile \(17\), \(99\) ile \(101\) aralarında asaldır. (Ardışık çift sayılar ise her zaman \(2\)'ye bölündüğü için aralarında asal olamazlar).
• 1 sayısı ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır: Örneğin \(1\) ile \(99\) aralarında asaldır.

⚙️ Ebob ve Ekok İlişkisi

Aralarında asal olan \(a\) ve \(b\) sayıları için Ebob ve Ekok değerleri şu kurallarla bulunur:

Ebob\((a, b) = 1\)
Ekok\((a, b) = a \times b\)

Yani, aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleni her zaman \(1\)'dir. En küçük ortak katları ise bu iki sayının çarpımına eşittir.

Tablo ile İnceleme

Aşağıdaki tabloda bazı sayı çiftlerinin aralarında asal olup olmadıkları ve Ebob-Ekok değerleri gösterilmiştir:

Sayı Çifti	Aralarında Asal Mı?	Ebob Değeri	Ekok Değeri
\(9\) ve \(10\)	Evet (Ardışık)	\(1\)	\(90\)
\(6\) ve \(15\)	Hayır (3'e bölünürler)	\(3\)	\(30\)
\(1\) ve \(18\)	Evet	\(1\)	\(18\)
\(14\) ve \(25\)	Evet	\(1\)	\(350\)

📝 Çözümlü Örnekler

Örnek 1

\(a\) ve \(b\) aralarında asal iki doğal sayıdır.

\[ \frac{a}{b} = \frac{20}{28} \]

olduğuna göre \(a + b\) toplamını bulunuz.

Çözüm:

\(a\) ve \(b\) aralarında asal olduğu için \(\frac{a}{b}\) kesri en sade halinde olmalıdır. Ancak \(\frac{20}{28}\) kesri sadeleşebilir durumdadır. Kesrin pay ve paydasını en büyük ortak bölenleri olan \(4\) ile sadeleştirelim:

\[ \frac{20 \div 4}{28 \div 4} = \frac{5}{7} \]

Elde edilen \(\frac{5}{7}\) kesrinde \(5\) ve \(7\) sayıları aralarında asaldır. Bu durumda:

\(a = 5\) ve \(b = 7\) olur.

Bizden istenen toplam: \(a + b = 5 + 7 = 12\) olarak bulunur.

Örnek 2

Aralarında asal iki sayının Ekok'u \(60\)'tır. Bu sayılardan biri \(12\) olduğuna göre diğer sayı kaçtır?

Çözüm:

Aralarında asal iki sayının çarpımı, bu sayıların Ekok'una eşittir. Bilinmeyen sayımıza \(x\) diyelim. Bu durumda:

\[ 12 \times x = 60 \]

Her iki tarafı \(12\)'ye böldüğümüzde:

\[ x = \frac{60}{12} \] \[ x = 5 \]

\(5\) ve \(12\) sayıları aralarında asaldır. Dolayısıyla aranan diğer sayı \(5\)'tir.

Örnek 3

\((2x - 1)\) ile \((y + 3)\) sayıları aralarında asaldır.

\[ \frac{2x - 1}{y + 3} = \frac{15}{25} \]

olduğuna göre \(x \times y\) değerini hesaplayınız.

Çözüm:

Verilen ifadeler aralarında asal olduğu için eşitliğin sağ tarafındaki kesri en sade haline getirmeliyiz. \(\frac{15}{25}\) kesrini \(5\) ile sadeleştirelim:

\[ \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5} \]

Yeni eşitliğimiz:

\[ \frac{2x - 1}{y + 3} = \frac{3}{5} \]

Buradan payları ve paydaları birbirine eşitleyebiliriz:

\(2x - 1 = 3\) ise \(2x = 4\) ve \(x = 2\) bulunur.

\(y + 3 = 5\) ise \(y = 2\) bulunur.

Bizden istenen çarpım: \(x \times y = 2 \times 2 = 4\) olarak hesaplanır.

🚦 Günlük Hayattan Bir Uygulama

Bir dairesel pist etrafında tur atan iki bisikletliden birincisi bir turu \(8\) dakikada, ikincisi ise \(15\) dakikada tamamlamaktadır. Bu iki süre (\(8\) ve \(15\)) aralarında asal sayılardır. Başlangıç çizgisinden aynı anda harekete başlayan bu iki bisikletlinin tekrar başlangıç noktasında yan yana gelebilmeleri için geçen süre, bu iki sayının Ekok'u kadardır.

Süreler aralarında asal olduğu için ortak katları doğrudan çarpımlarına eşittir:

Ekok\((8, 15) = 8 \times 15 = 120\) dakika.

Bisikletliler ilk kez \(120\) dakika sonra yan yana gelirler.