💡 8. Sınıf Matematik: 2. dönem 2. yazılı Çözümlü Örnekler

Bu soruyu adım adım çözelim:

• Adım 1: Tarlanın tamamının kaç metrekare olduğunu biliyoruz: \( 1500 \) metrekare.
• Adım 2: Buğday ekilen alanın tarlanın kaçta kaçı olduğunu biliyoruz: \( \frac{3}{5} \).
• Adım 3: Buğday ekilen alanı metrekare cinsinden bulalım: \( 1500 \times \frac{3}{5} = 300 \times 3 = 900 \) metrekare.
• Adım 4: Sebze ekilen alanı bulmak için tarlanın tamamından buğday ekilen alanı çıkarırız: \( 1500 - 900 = 600 \) metrekare.

✅ Cevap: Çiftçi buğday ekmediği alana 600 metrekarelik sebze ekmiştir.

Bu problemi kesirlerle çözebiliriz:

• Adım 1: Manav önce portakalların \( \frac{1}{4} \)'ünü satıyor. Geriye kalan kısım \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) olur.
• Adım 2: Sonra kalanın \( \frac{1}{3} \)'ünü satıyor. Yani kalan \( \frac{3}{4} \)'ün \( \frac{1}{3} \)'ü satılıyor: \( \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \).
• Adım 3: Toplamda satılan kısım \( \frac{1}{4} \) (ilk satış) + \( \frac{1}{4} \) (ikinci satış) = \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) olur.
• Adım 4: Manavın elinde kalan portakalların oranı: \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

👉 Manavın elinde başlangıçtaki portakalların \( \frac{1}{2} \) 'si kalmıştır.

Bu soruyu dikkatli bir şekilde analiz edelim:

• Adım 1: A ve B bloklarının inşaat alanlarının eşit olduğunu varsayalım. Her bir bloğun alanını \( A \) olarak alalım.
• Adım 2: A bloğunun tamamlanan kısmı: \( A \times 60% = A \times \frac{60}{100} = 0.6A \).
• Adım 3: B bloğunun tamamlanan kısmı: \( A \times 75% = A \times \frac{75}{100} = 0.75A \).
• Adım 4: Sitenin toplam inşaat alanı \( A + A = 2A \) olur.
• Adım 5: Sitenin toplam tamamlanan kısmı: \( 0.6A + 0.75A = 1.35A \).
• Adım 6: Sitenin toplamda tamamlanma oranı: \( \frac{\text{Toplam Tamamlanan Alan}}{\text{Toplam İnşaat Alanı}} = \frac{1.35A}{2A} = \frac{1.35}{2} \).
• Adım 7: Bu oranı kesir olarak ifade edelim: \( \frac{1.35}{2} = \frac{135}{200} \). Bu kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı 5'e bölersek \( \frac{27}{40} \) elde ederiz.

💡 Bu oran aynı zamanda sitenin tamamlanma yüzdesini de verir: \( \frac{27}{40} \times 100 = 67.5% \).

Bu indirim ve vergi hesaplamasını adım adım yapalım:

• Adım 1: İlk indirimi hesaplayalım. Etiket fiyatı 200 TL ve indirim oranı %20.
• Adım 2: İndirim miktarı: \( 200 \times \frac{20}{100} = 200 \times 0.20 = 40 \) TL.
• Adım 3: İndirimli fiyat: \( 200 - 40 = 160 \) TL.
• Adım 4: Şimdi indirimli fiyat üzerinden %10 ek vergi uygulanacak.
• Adım 5: Vergi miktarı: \( 160 \times \frac{10}{100} = 160 \times 0.10 = 16 \) TL.
• Adım 6: Son satış fiyatı: \( 160 + 16 = 176 \) TL.

✅ Son satış fiyatı 176 TL'dir.

Bu basit orantı sorusunu çözelim:

• Adım 1: Sınıftaki toplam öğrenci sayısı: \( 30 \).
• Adım 2: Erkek öğrenci sayısı: \( 12 \).
• Adım 3: Kız öğrenci sayısını bulalım: \( 30 - 12 = 18 \).
• Adım 4: Kız öğrencilerin oranını bulmak için kız öğrenci sayısını toplam öğrenci sayısına böleriz: \( \frac{18}{30} \).
• Adım 5: Bu kesri sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı 6'ya bölersek \( \frac{3}{5} \) elde ederiz.

👉 Sınıftaki kız öğrencilerin oranı \( \frac{3}{5} \)'tir.

Bu problemi adım adım çözelim:

• Adım 1: Deponun tamamının kaç litre benzin aldığını bilmediğimiz için bu miktarı \( x \) litre olarak kabul edelim.
• Adım 2: Başlangıçta depoda bulunan benzin miktarı: \( \frac{2}{7}x \).
• Adım 3: Depoya 14 litre benzin eklendiğinde deponun yarısı doluyor. Yani \( \frac{1}{2}x \) oluyor.
• Adım 4: Bu durumu bir denklemle ifade edelim: \( \frac{2}{7}x + 14 = \frac{1}{2}x \).
• Adım 5: Denklemi çözmek için \( x \) terimlerini bir tarafa toplayalım: \( 14 = \frac{1}{2}x - \frac{2}{7}x \).
• Adım 6: Paydaları eşitleyelim. \( \frac{1}{2} = \frac{7}{14} \) ve \( \frac{2}{7} = \frac{4}{14} \).
• Adım 7: Denklemimiz şu hale gelir: \( 14 = \frac{7}{14}x - \frac{4}{14}x = \frac{3}{14}x \).
• Adım 8: \( x \)'i bulmak için her iki tarafı \( \frac{3}{14} \) ile çarpalım (veya \( \frac{14}{3} \) ile çarpalım): \( x = 14 \times \frac{14}{3} = \frac{196}{3} \).

💡 Bir hata yapmış olabiliriz, tekrar kontrol edelim. "Depoya 14 litre benzin eklendiğinde deponun yarısı dolmaktadır." Bu ifadeyi doğru kurduğumuzdan emin olalım.
[Q_START] [LEVEL] Orta [TEXT] Bir aracın deposunda \( \frac{2}{7} \) oranında benzin bulunmaktadır. Depoya 14 litre benzin eklendiğinde deponun yarısı dolmaktadır. Deponun tamamı kaç litre benzin alır? ⛽ [SOLUTION] Bu problemi adım adım çözelim:

• Adım 1: Deponun tamamının kaç litre benzin aldığını bilmediğimiz için bu miktarı \( x \) litre olarak kabul edelim.
• Adım 2: Başlangıçta depoda bulunan benzin miktarı: \( \frac{2}{7}x \).
• Adım 3: Depoya 14 litre benzin eklendiğinde deponun yarısı doluyor. Yani \( \frac{1}{2}x \) oluyor.
• Adım 4: Bu durumu bir denklemle ifade edelim: \( \frac{2}{7}x + 14 = \frac{1}{2}x \).
• Adım 5: Denklemi çözmek için \( x \) terimlerini bir tarafa toplayalım: \( 14 = \frac{1}{2}x - \frac{2}{7}x \).
• Adım 6: Paydaları eşitleyelim. \( \frac{1}{2} = \frac{7}{14} \) ve \( \frac{2}{7} = \frac{4}{14} \).
• Adım 7: Denklemimiz şu hale gelir: \( 14 = \frac{7}{14}x - \frac{4}{14}x = \frac{3}{14}x \).
• Adım 8: \( x \)'i bulmak için her iki tarafı \( \frac{14}{3} \) ile çarpalım: \( x = 14 \times \frac{14}{3} = \frac{196}{3} \).

Tekrar gözden geçirelim. Soruyu yanlış anlamış olabiliriz. "Depoya 14 litre benzin eklendiğinde deponun yarısı dolmaktadır." Bu, eklenen 14 litrenin, deponun yarısı ile başlangıçtaki benzin miktarı arasındaki farkı oluşturduğu anlamına gelir.

• Adım 1: Deponun tamamı \( x \) litre olsun.
• Adım 2: Başlangıçta depoda \( \frac{2}{7}x \) litre benzin var.
• Adım 3: Depoya 14 litre eklenince \( \frac{1}{2}x \) litre oluyor.
• Adım 4: Demek ki, \( \frac{1}{2}x - \frac{2}{7}x = 14 \).
• Adım 5: Paydaları eşitleyelim: \( \frac{7}{14}x - \frac{4}{14}x = 14 \).
• Adım 6: \( \frac{3}{14}x = 14 \).
• Adım 7: \( x = 14 \times \frac{14}{3} = \frac{196}{3} \).

Bu sonuç hala tam sayı çıkmıyor, bu da sorunun kurgusunda bir problem olabileceğini veya sayılarla ilgili bir hata yapıldığını gösterebilir. Ancak matematiksel olarak çözüm doğrudur. Eğer sorunun tam sayı çıkması isteniyorsa, sayılar farklı olmalıydı. Örneğin, eğer başlangıçta \( \frac{1}{3} \) benzin olsaydı ve 10 litre eklenince \( \frac{1}{2} \) olsaydı: \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 10 \) \( \frac{3}{6}x - \frac{2}{6}x = 10 \) \( \frac{1}{6}x = 10 \Rightarrow x = 60 \) litre olurdu. Mevcut soruda matematiksel çözüm \( x = \frac{196}{3} \) litredir.

Bu problemi denklem kurarak çözelim:

• Adım 1: Bilinmeyen sayıyı \( x \) olarak kabul edelim.
• Adım 2: "Bir sayının \( \frac{2}{5} \) fazlası" ifadesini matematiksel olarak yazalım: \( x + \frac{2}{5} \).
• Adım 3: "Aynı sayının \( \frac{3}{4} \) eksiği" ifadesini matematiksel olarak yazalım: \( x - \frac{3}{4} \).
• Adım 4: Bu iki ifade birbirine eşit olduğuna göre, denklemi kuralım: \( x + \frac{2}{5} = x - \frac{3}{4} \).
• Adım 5: Denklemi çözmek için \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım.
• Adım 6: \( \frac{2}{5} + \frac{3}{4} = x - x \).
• Adım 7: Bu durumda \( \frac{2}{5} + \frac{3}{4} = 0 \) olur.
• Adım 8: Paydaları eşitleyelim: \( \frac{8}{20} + \frac{15}{20} = 0 \).
• Adım 9: \( \frac{23}{20} = 0 \).

Bu sonuç bir çelişkidir. Bu, sorunun kurgusunda bir hata olduğunu gösterir. Bir sayının belirli bir kesir fazlası, aynı sayının belirli bir kesir eksiğine eşit olamaz, çünkü bu durumda \( x \) terimleri birbirini götürür ve \( \frac{2}{5} \) ile \( -\frac{3}{4} \) gibi iki farklı sayının toplamı sıfır olamaz. Eğer soru şöyle olsaydı: "Bir sayının \( \frac{2}{5} \) fazlası, aynı sayının \( \frac{3}{4} \) katına eşittir." o zaman çözüm şöyle olurdu: \( x + \frac{2}{5} = \frac{3}{4}x \) \( \frac{2}{5} = \frac{3}{4}x - x \) \( \frac{2}{5} = -\frac{1}{4}x \) \( x = \frac{2}{5} \times (-4) = -\frac{8}{5} \) Ancak mevcut soru metnine göre bir çözüm bulunamamaktadır.

Bu soruyu adım adım çözelim:

• Adım 1: Bahçenin bir kenar uzunluğunu \( x \) olarak vermişler.
• Adım 2: Bahçenin çevresinin 20 metre olduğunu biliyoruz.
• Adım 3: Kare bir bahçenin çevresi \( 4 \times \text{kenar uzunluğu} \) formülüyle bulunur.
• Adım 4: Bu durumda \( 4x = 20 \) metre olur.
• Adım 5: Bir kenar uzunluğunu bulalım: \( x = \frac{20}{4} = 5 \) metre.
• Adım 6: Fidanlar her \( \frac{3}{4} \) metrede bir dikilecek.
• Adım 7: Dikilecek fidan sayısını bulmak için bahçenin çevresini fidan dikme aralığına böleriz: \( \frac{\text{Çevre}}{\text{Fidan Aralığı}} \).
• Adım 8: Fidan sayısı = \( \frac{20}{\frac{3}{4}} \).
• Adım 9: Bölme işlemini çarpma olarak yapalım: \( 20 \times \frac{4}{3} = \frac{80}{3} \).

💡 Bu sonuç tam sayı çıkmadığı için bir problem olabilir. Fidan dikme sorularında genellikle köşe noktalarına da fidan dikildiği varsayılır ve bu durumda fidan sayısı \( \frac{\text{Çevre}}{\text{Fidan Aralığı}} \) olur. Ancak, eğer fidanlar aralara dikiliyorsa ve başlangıç noktasına tekrar dönülüyorsa, fidan sayısı \( \frac{\text{Çevre}}{\text{Fidan Aralığı}} \) olur. Eğer başlangıç noktası hariç tutulursa \( \frac{\text{Çevre}}{\text{Fidan Aralığı}} - 1 \) olur. Burada çıkan \( \frac{80}{3} \) sonucu, fidan sayısının tam sayı olması gerektiğini düşündüğümüzde, sorunun kurgusunda bir uyumsuzluk olduğunu gösterir. Genellikle bu tür sorularda fidan aralığı, çevre uzunluğunun bir böleni olur. Eğer fidan aralığı \( \frac{4}{3} \) metre olsaydı: \( 20 \div \frac{4}{3} = 20 \times \frac{3}{4} = 15 \) fidan olurdu.

Bu problemi adım adım çözelim:

• Adım 1: Babanın toplam harçlık miktarını \( H \) TL olarak kabul edelim.
• Adım 2: Oğluna verdiği harçlık: \( \frac{1}{3}H \).
• Adım 3: Geriye kalan para: \( H - \frac{1}{3}H = \frac{2}{3}H \).
• Adım 4: Kalan paranın yarısını kumbarasına atıyor. Yani kumbaraya attığı miktar: \( \frac{2}{3}H \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}H \).
• Adım 5: Kumbaraya attığı para 50 TL olarak verilmiş. O halde: \( \frac{1}{3}H = 50 \) TL.
• Adım 6: Toplam harçlık miktarını bulalım: \( H = 50 \times 3 = 150 \) TL.
• Adım 7: Babanın oğluna verdiği harçlık soruluyor. Bu miktar \( \frac{1}{3}H \) idi.
• Adım 8: Oğluna verdiği harçlık: \( \frac{1}{3} \times 150 = 50 \) TL.

✅ Cevap: Babanın oğluna verdiği harçlık 50 TL'dir.