📝 7. Sınıf Matematik: Tam sayılarda üslü sayılar Ders Notu
Bir tam sayının kendisi ile tekrarlı çarpımını kısa yoldan gösterme ifadesine üslü nicelik veya üslü sayı denir. 7. sınıf matematik müfredatında, tabanı pozitif veya negatif tam sayı olan sayıların doğal sayı kuvvetlerini hesaplamayı öğreniriz.
Genel gösterim olarak \( a^n \) ifadesinde \( a \) sayısına taban, \( n \) sayısına ise üs veya kuvvet adı verilir. Üs, tabandaki sayının kendisi ile kaç defa çarpılacağını gösterir.
📌 Pozitif Tam Sayıların Kuvvetleri
Pozitif tam sayıların bütün doğal sayı kuvvetlerinin sonucu her zaman pozitif bir tam sayıdır.
- \( (+3)^2 = (+3) \times (+3) = +9 \)
- \( (+2)^4 = (+2) \times (+2) \times (+2) \times (+2) = +16 \)
- \( (+5)^3 = (+5) \times (+5) \times (+5) = +125 \)
⚠️ Negatif Tam Sayıların Kuvvetleri ve Parantezin Önemi
Negatif tam sayıların kuvvetleri hesaplanırken üssün tek veya çift olmasına ve parantezin bulunup bulunmadığına dikkat edilmelidir.
1. Negatif Sayının Çift Kuvveti
Parantez içindeki negatif bir tam sayının çift kuvvetleri her zaman pozitif sonuç verir.
Kural: \( (-\text{Sayı})^{\text{Çift}} = + \)
Örnek: \( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16 \)
2. Negatif Sayının Tek Kuvveti
Parantez içindeki negatif bir tam sayının tek kuvvetleri her zaman negatif sonuç verir.
Kural: \( (-\text{Sayı})^{\text{Tek}} = - \)
Örnek: \( (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27 \)
3. Parantez Olmayan Durumlar (Kritik Uyarı!)
Eğer negatif sayının etrafında parantez yoksa veya üs parantezin içindeyse, üs sadece sayıya aittir; öndeki eksi işaretini kapsamaz!
- \( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9 \) (Üs parantezin dışında, eksi işareti de kapsama dahil)
- \( -3^2 = -(3 \times 3) = -9 \) (Parantez yok, üs sadece 3 sayısına ait)
- \( (-3^2) = -(3 \times 3) = -9 \) (Üs parantezin içinde, eksiye etki etmez)
🔍 Özel Durumlar: 0 ve 1 Sayılarının Kuvvetleri
Üslü ifadelerde işlemleri hızlandıran ve bilmemiz gereken temel kurallar şunlardır:
| Kural | Açıklama | Örnek |
|---|---|---|
| 1'in Kuvvetleri | 1 sayısının bütün kuvvetleri 1'e eşittir. | \( 1^{100} = 1 \) |
| Sıfırıncı Kuvvet | Sıfır hariç tüm tam sayıların 0. kuvveti 1'dir. | \( (-7)^0 = 1 \), \( 5^0 = 1 \) |
| 1. Kuvvet | Her tam sayının 1. kuvveti kendisine eşittir. | \( (-8)^1 = -8 \), \( 12^1 = 12 \) |
| (-1)'in Kuvvetleri | (-1)'in çift kuvvetleri +1, tek kuvvetleri -1'dir. | \( (-1)^{50} = 1 \), \( (-1)^{23} = -1 \) |
✏️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ (-4)^2 + (-2)^3 - (-1)^{100} \]
Çözüm:
İfadeleri tek tek hesaplayalım:
- \( (-4)^2 \): Taban negatif, üs çift. Sonuç: \( +16 \)
- \( (-2)^3 \): Taban negatif, üs tek. Sonuç: \( -8 \)
- \( (-1)^{100} \): Taban negatif, üs çift. Sonuç: \( +1 \)
\( (+16) + (-8) - (+1) = 16 - 8 - 1 = 7 \) bulunur.
Soru 2: \( a = -3 \) ve \( b = 2 \) olduğuna göre, \( a^b + b^a \) ifadesinin değerini değil, \( a^2 - b^3 \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Harfli ifadelerde negatif sayılar yerine yazılırken daima parantez içinde yazılmalıdır:
- \( a^2 = (-3)^2 = +9 \)
- \( b^3 = 2^3 = 8 \)
\( a^2 - b^3 = 9 - 8 = 1 \) bulunur.
Soru 3: Bir dondurucunun sıcaklığı saatte \( 2^\circ\text{C} \) düşmektedir. Başlangıç sıcaklığı \( 10^\circ\text{C} \) olan dondurucuya koyulan bir maddenin sıcaklığı, \( (-3)^2 \) saat sonra kaç derece olur?
Çözüm:
Önce geçen süreyi bulalım:
\( (-3)^2 = +9 \) saat geçmiş.
Sıcaklık her saat \( 2^\circ\text{C} \) azaldığına göre 9 saatteki toplam azalma:
\( 9 \times 2 = 18^\circ\text{C} \) düşüş yaşanır.
Son sıcaklık:
\( 10 - 18 = -8^\circ\text{C} \) olarak hesaplanır.