Tam sayılar ve rasyonel sayılar toplama çıkarma Ders Notu

7. sınıf matematik müfredatının temelini oluşturan tam sayılar ve rasyonel sayılar konularında toplama ve çıkarma işlemleri, sayıların işaretleri ve payda eşitleme kuralları dikkate alınarak yapılır.

1. Tam Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi ➕➖

Aynı İşaretli Tam Sayılarda Toplama

Aynı işaretli iki tam sayı toplanırken sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret sonucun önüne yazılır.

• Pozitif iki tam sayının toplamı pozitiftir: \( (+5) + (+3) = +8 \)
• Negatif iki tam sayının toplamı negatiftir: \( (-4) + (-6) = -10 \)

Zıt İşaretli Tam Sayılarda Toplama

Zıt işaretli iki tam sayı toplanırken mutlak değeri büyük olan sayıdan küçük olan sayı çıkarılır. Mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonucun önüne yazılır.

• \( (+9) + (-4) = +5 \)
• \( (-12) + (+7) = -5 \)

Tam Sayılarda Çıkarma İşlemi

Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken eksilen sayı, çıkan sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır. Yani çıkarma işlemi, toplama işlemine dönüştürülür.

Kural: \( a - b = a + (-b) \) ve \( a - (-b) = a + b \)

Örnek: \( (-8) - (-3) \) işlemini yapalım.

Çıkan sayı olan \( (-3) \)'ün işareti değiştirilerek işlem toplamaya dönüştürülür:

\[ (-8) + (+3) = -5 \]

2. Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi 🧮

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, en küçük ortak katta (EKOK) genişletme veya sadeleştirme yapılarak paydalar eşitlenir.

Paydaları Eşit Rasyonel Sayılar

Paydaları eşit olan rasyonel sayılarda paylar toplanır veya çıkarılır, paya yazılır. Ortak payda ise aynen paydaya yazılır.

\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} \]

Örnek: \( \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7} \)

Paydaları Eşit Olmayan Rasyonel Sayılar

Paydalar eşit değilse önce kesirler genişletilerek paydalar eşitlenir, ardından işlem yapılır.

Örnek: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \) işleminin sonucunu bulalım.

\( 4 \) ve \( 6 \) sayıları \( 12 \) paydasında eşitlenir. İlk kesir \( 3 \) ile, ikinci kesir \( 2 \) ile genişletilir:

\[ \frac{3 \times 3}{4 \times 3} - \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12} \]

Tam Sayılı Rasyonel Sayılarda İşlemler

Tam sayılı rasyonel sayılarla işlem yapılırken tam kısımlar kendi arasında işleme alınabilir ya da tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilerek işlem tamamlanır.

Örnek: \( 1\frac{1}{2} + \left(-\frac{3}{4}\right) \) işlemini yapalım.

Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim: \( 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)

Şimdi paydaları \( 4 \) paydasında eşitleyelim:

\[ \frac{3 \times 2}{2 \times 2} + \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{6}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{6 + (-3)}{4} = \frac{3}{4} \]

3. Çözümlü Alıştırma Soruları 📝

Soru 1: \( (-15) + (+8) - (-4) \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: İşlemleri soldan sağa sırayla yapalım. Önce çıkarma işlemini toplamaya dönüştürelim:

\[ (-15) + (+8) + (+4) \]

Önce \( (-15) + (+8) = -7 \) bulunur.

Sonra \( (-7) + (+4) = -3 \) elde edilir.

Soru 2: \( \left(-\frac{2}{5}\right) - \left(-\frac{1}{3}\right) \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Önce çıkarma işlemini toplamaya çevirelim, ardından paydaları \( 15 \)'te eşitleyelim:

\[ \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(+\frac{1}{3}\right) \]

Kesirleri genişletelim:

\[ \left(-\frac{2 \times 3}{5 \times 3}\right) + \left(+\frac{1 \times 5}{3 \times 5}\right) = \left(-\frac{6}{15}\right) + \left(+\frac{5}{15}\right) = \frac{-6 + 5}{15} = -\frac{1}{15} \]