🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemler Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki işlemin sonucunu işlem önceliği kurallarına dikkat ederek bulunuz:
\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \div \frac{5}{8} \]
\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \div \frac{5}{8} \]
Çözüm:
Rasyonel sayılarda çok adımlı işlemlerde işlem önceliği sırası: Üslü sayılar, Parantez içi, Çarpma/Bölme ve Toplama/Çıkarma şeklindedir. 💡
- 1. Adım (Bölme İşlemi): İlk olarak bölme işlemini yapmalıyız. Bölme işleminde birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
\( \frac{1}{4} \div \frac{5}{8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{8}{20} \)
Sadeleştirme yaparsak: \( \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5} \) olur. - 2. Adım (Toplama İşlemi): Bulduğumuz sonucu \( \frac{2}{3} \) ile toplayalım. Paydaları 15'te eşitleyelim.
\( \frac{2}{3} + \frac{2}{5} = \frac{10}{15} + \frac{6}{15} = \frac{16}{15} \)
Örnek 2:
Aşağıda verilen "merdivenli" işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} \]
\[ \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} \]
Çözüm:
Bu tür sorularda ana kesir çizgisinin üstündeki ve altındaki işlemleri ayrı ayrı yapmalıyız. 🪜
- 1. Adım (Pay Kısmı): Üstteki toplama işlemini yapalım.
\( 1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \) - 2. Adım (Payda Kısmı): Alttaki çıkarma işlemini yapalım.
\( 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) - 3. Adım (Ana Bölme): Payı paydaya bölelim.
\( \frac{3}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \)
Burada 3'ler birbirini sadeleştirir: \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2 \)
Örnek 3:
Aşağıdaki işlemin sonucunu en alttan başlayarak bulunuz:
\[ 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \]
\[ 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \]
Çözüm:
Bu tarz sorularda en küçük kesir çizgisinden başlayarak yukarı doğru ilerlemeliyiz. 🚀
- 1. Adım (En Alt İşlem): \( 1 - \frac{1}{3} \) işlemini yapalım.
\( 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) - 2. Adım (Bölme İşlemi): Şimdi \( 1 \div \frac{2}{3} \) işlemini yapalım.
\( 1 \div \frac{2}{3} = 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \) - 3. Adım (Son Çıkarma): En baştaki 1 sayısından bulduğumuz sonucu çıkaralım.
\( 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \)
Örnek 4:
Aşağıdaki eşitlikte \( x \) değerini "kutucuk yöntemini" veya tersten işlem yaparak bulunuz:
\[ 3 + \frac{10}{1 + \frac{8}{x}} = 5 \]
\[ 3 + \frac{10}{1 + \frac{8}{x}} = 5 \]
Çözüm:
Bu soruyu adım adım dıştan içe doğru çözerek \( x \) değerine ulaşalım. 🔍
- 1. Adım: 3 ile hangi sayıyı toplarsak 5 eder?
\( 5 - 3 = 2 \). Demek ki \( \frac{10}{1 + \frac{8}{x}} = 2 \) olmalıdır. - 2. Adım: 10 sayısını kaça bölersek 2 eder?
\( 10 \div 2 = 5 \). Demek ki \( 1 + \frac{8}{x} = 5 \) olmalıdır. - 3. Adım: 1 ile hangi sayıyı toplarsak 5 eder?
\( 5 - 1 = 4 \). Demek ki \( \frac{8}{x} = 4 \) olmalıdır. - 4. Adım: 8 sayısını kaça bölersek 4 eder?
\( 8 \div 4 = 2 \). Buradan \( x = 2 \) bulunur.
Örnek 5:
Bir marangoz elindeki \( 120 \) cm uzunluğundaki tahtanın önce \( \frac{1}{4} \)'ini kesiyor. Daha sonra kalan parçanın \( \frac{1}{3} \)'ini daha kesiyor.
Marangozun elinde kalan son parçanın uzunluğunu veren çok adımlı işlemi rasyonel sayılarla ifade edip sonucunu bulunuz. 🪵
Marangozun elinde kalan son parçanın uzunluğunu veren çok adımlı işlemi rasyonel sayılarla ifade edip sonucunu bulunuz. 🪵
Çözüm:
Kalan miktarı bulmak için her adımda bütünden (1'den) kesilen oranı çıkarmalıyız.
- 1. Adım (İşlemi Kurma): Tahtanın tamamı 1 tamdır. Önce \( \frac{1}{4} \)'i giderse geriye \( (1 - \frac{1}{4}) \) kalır. Sonra bu kalanın \( \frac{1}{3} \)'i giderse, geriye kalanın \( (1 - \frac{1}{3}) \)'ü kalmış olur. İşlem: \( 120 \times (1 - \frac{1}{4}) \times (1 - \frac{1}{3}) \)
- 2. Adım (Parantez İçleri):
\( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
\( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) - 3. Adım (Çarpma):
\( 120 \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \)
Burada paydaki 3 ile paydadaki 3 birbirini götürür.
\( 120 \times \frac{2}{4} = 120 \times \frac{1}{2} = 60 \)
Örnek 6:
Ayşe Hanım, market alışverişine çıkmadan önce cüzdanındaki paranın \( \frac{2}{5} \)'sini mutfak masrafları için ayırıyor. Kalan parasının ise \( \frac{1}{2} \)'sini temizlik malzemeleri için harcıyor.
Ayşe Hanım'ın başlangıçtaki parası \( 400 \) TL olduğuna göre, son durumda cebinde kaç TL kalmıştır? 🛒
Ayşe Hanım'ın başlangıçtaki parası \( 400 \) TL olduğuna göre, son durumda cebinde kaç TL kalmıştır? 🛒
Çözüm:
Bu problemi rasyonel sayılarla çok adımlı işlem olarak çözelim:
- 1. Adım: Mutfak masrafından sonra kalan parayı bulalım.
\( 400 \times (1 - \frac{2}{5}) = 400 \times \frac{3}{5} = 240 \) TL (Kalan para). - 2. Adım: Kalan paranın yarısını temizlik için harcayalım.
\( 240 \times (1 - \frac{1}{2}) = 240 \times \frac{1}{2} = 120 \) TL. - Matematiksel İfade: Bu işlemleri tek satırda yazarsak:
\( 400 \times (1 - \frac{2}{5}) \times \frac{1}{2} \) şeklinde ifade edebiliriz.
Örnek 7:
Ondalık gösterimlerin rasyonel sayıya çevrilerek kullanıldığı şu işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{0,6 + 0,2}{0,4} \]
\[ \frac{0,6 + 0,2}{0,4} \]
Çözüm:
Ondalık sayıları rasyonel sayıya (kesre) çevirerek işlem yapalım. ✍️
- 1. Adım: Sayıları kesre çevirelim.
\( 0,6 = \frac{6}{10} \), \( 0,2 = \frac{2}{10} \), \( 0,4 = \frac{4}{10} \) - 2. Adım (Pay İşlemi):
\( \frac{6}{10} + \frac{2}{10} = \frac{8}{10} \) - 3. Adım (Bölme): Payı paydaya bölelim.
\( \frac{8}{10} \div \frac{4}{10} = \frac{8}{10} \times \frac{10}{4} \)
10'lar sadeleşir: \( \frac{8}{4} = 2 \)
Örnek 8:
Aşağıdaki işlemin sonucunu işlem sırasına dikkat ederek bulunuz:
\[ ( \frac{1}{2} )^2 \div ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) \]
\[ ( \frac{1}{2} )^2 \div ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) \]
Çözüm:
Önce üslü ifadeyi, sonra parantez içini, en son bölme işlemini yapmalıyız. 🔢
- 1. Adım (Üslü Sayı):
\( ( \frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \) - 2. Adım (Parantez İçi): Paydaları 6'da eşitleyelim.
\( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \) - 3. Adım (Bölme İşlemi):
\( \frac{1}{4} \div \frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{4} \)
Sadeleştirirsek: \( \frac{3}{2} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-rasyonel-sayilarla-cok-adimli-islemler/sorular