📝 7. Sınıf Matematik: Rasyonel sayılar ve işlemler Ders Notu
🔢 Rasyonel Sayılar ve İşlemler
Bir tam sayının başka bir tam sayıya (sıfır hariç) oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q harfi ile gösterilir. Bir rasyonel sayı \( \frac{a}{b} \) biçiminde ifade edilir; burada a pay, b ise paydadır. Payda asla sıfır olamaz çünkü bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
🔍 Rasyonel Sayıların Gösterimi
- Tam sayılar, paydası 1 olan rasyonel sayılardır. Örneğin \( 5 = \frac{5}{1} \).
- Negatif rasyonel sayılarda eksi işareti kesrin önünde, payda veya pay kısmında bulunabilir. Hepsi aynı değeri ifade eder: \( -\frac{1}{2} = \frac{-1}{2} = \frac{1}{-2} \).
- Ondalık gösterimler ve devirli ondalık gösterimler de birer rasyonel sayıdır.
➕ Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi
Rasyonel sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, genişletme veya sadeleştirme yöntemleri kullanılarak paydalar eşitlenir.
Önemli Not: Paydalar eşitlendikten sonra sadece paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
Örnek: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \) işlemini yapalım.
Paydaları 12'de eşitleyelim: \( \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \) ve \( \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \).
Sonuç: \( \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12} \).
✖️ Rasyonel Sayılarda Çarpma İşlemi
Çarpma işleminde paydaların eşitlenmesine gerek yoktur. Paylar kendi arasında çarpılıp paya, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır.
Örnek: \( \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \frac{6}{35} \).
➗ Rasyonel Sayılarda Bölme İşlemi
Bölme işleminde birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip (pay ve payda yer değiştirilerek) birinci kesir ile çarpılır.
Örnek: \( \frac{4}{9} \div \frac{2}{3} \) işlemini yapalım.
İkinci kesri ters çeviriyoruz: \( \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{18} \).
Sadeleştirme yaparsak (her iki tarafı 6'ya böleriz): \( \frac{2}{3} \).
📊 Günlük Yaşamdan Örnekler
Rasyonel sayılar alışverişte, yemek tariflerinde ve zaman hesaplamalarında sıkça karşımıza çıkar. Örneğin, bir pastanın \( \frac{1}{4} \) ünü yiyen bir kişi, kalan kısmını bulmak için çıkarma işlemi yapar.
| İşlem | Kural |
| Toplama | Paydalar eşitlenir |
| Çıkarma | Paydalar eşitlenir |
| Çarpma | Paylar ve paydalar ayrı çarpılır |
| Bölme | Ters çevirip çarp |
⚠️ İşlem Önceliği
Rasyonel sayılarla yapılan işlemlerde işlem önceliği sırası şöyledir:
- Parantez içi işlemler
- Üslü ifadeler (7. sınıf düzeyinde basit tam sayı kuvvetleri)
- Çarpma ve bölme işlemleri
- Toplama ve çıkarma işlemleri
Eğer aynı önceliğe sahip işlemler yan yanaysa, işlem soldan sağa doğru yapılır.