🪄 İçerik Hazırla
Ana Sayfa / 7. Sınıf / 7. Sınıf Matematik / Rasyonel sayılar ve devreden devretmeyen / Ders Notları
🎓 7. Sınıf 📚 7. Sınıf Matematik

📝 7. Sınıf Matematik: Rasyonel sayılar ve devreden devretmeyen Ders Notu

Matematikte tam sayıların sınırlarını aşarak iki tam sayının birbirine oranını ifade etmemizi sağlayan sayı kümesine rasyonel sayılar denir. Günlük yaşamda bir pastanın dilimlerini paylaşırken, hava sıcaklıklarını ölçerken veya alışveriş yaparken rasyonel sayılardan sıkça yararlanırız.

1. Rasyonel Sayılar Nedir? 🔢

\( a \) ve \( b \) birer tam sayı olmak ve \( b \neq 0 \) şartını sağlamak üzere \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen tüm sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi \( Q \) sembolü ile gösterilir.

  • Pozitif Rasyonel Sayılar: Sayı doğrusunda sıfırın sağında yer alırlar. Örnek: \( \frac{1}{2} \), \( \frac{3}{4} \), \( 2\frac{1}{3} \) (Gösterimi: \( Q^+ \))
  • Negatif Rasyonel Sayılar: Sayı doğrusunda sıfırın solunda yer alırlar. Örnek: \( -\frac{2}{5} \), \( -\frac{7}{3} \) (Gösterimi: \( Q^- \))
  • Sıfırın Durumu: Sıfır sayısı bir rasyonel sayıdır ancak pozitif veya negatif değildir. \( \frac{0}{5} = 0 \) iken, paydaya sıfır gelemez!
🚨 ÇOK ÖNEMLİ KURAL: Bir rasyonel sayıda payda ASLA sıfır olamaz. Paydanın sıfır olması durumu ifadeyi tanımsız yapar.
Örnek: \( \frac{5}{0} \) ifadesi tanımsızdır. Ancak \( \frac{0}{5} = 0 \) bir rasyonel sayıdır.

Her Tam Sayı Bir Rasyonel Sayıdır!

Bütün tam sayıların paydasında gizli bir \( 1 \) sayısı bulunur. Bu nedenle her tam sayı, aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.

  • \( 5 = \frac{5}{1} \)
  • \( -8 = \frac{-8}{1} \)

2. Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi 💡

Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterimle ifade etmek için iki temel yöntem kullanılır:

Yöntem 1: Paydayı 10, 100, 1000 Yapma

Kesrin paydası genişletilerek veya sadeleştirilerek 10 veya 10'un kuvvetlerine dönüştürülür.

  • \( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0,4 \)
  • \( -\frac{3}{25} = -\frac{3 \times 4}{25 \times 4} = -\frac{12}{100} = -0,12 \)

Yöntem 2: Payı Paydaya Bölme

Genişletme işleminin zor olduğu durumlarda doğrudan pay, paydaya bölünür.

3. Devirli (Devreden) Ondalık Gösterimler 🔄

Bir rasyonel sayının payı paydasına bölündüğünde, virgülden sonraki basamaklar belirli bir kurala göre sonsuza kadar tekrar ediyorsa bu tür sayılara devirli ondalık gösterim denir. Tekrar eden rakamların üzerine devir çizgisi konulur.

Örnek: \( \frac{4}{3} \) rasyonel sayısını ondalık biçimde gösterelim.

\( 4 \div 3 \) bölme işleminde virgülden sonra sürekli \( 3 \) rakamı tekrar eder:

\[ 4 \div 3 = 1,3333... \]

Bu ifade devir çizgisi kullanılarak gösterilir:

\[ 1,\bar{3} \]
Açık Hali Devir Çizgili Gösterimi Okunuşu
\( 0,666... \) \( 0,\bar{6} \) Sıfır tam, devreden altı
\( 2,151515... \) \( 2,\bar{15} \) İki tam, devreden on beş
\( 5,4232323... \) \( 5,4\bar{23} \) Beş tam yüzde kırk iki, devreden yirmi üç

4. Devirli Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme 🛠️

Devirli bir ondalık sayıyı \( \frac{a}{b} \) şeklinde rasyonel sayıya dönüştürürken şu adımlar uygulanır:

  1. Payı Bulma: Virgüle ve devir çizgisine bakılmaksızın oluşan sayının tamamından, üzerinde devir çizgisi bulunmayan kısım çıkarılır.
  2. Paydayı Bulma: Virgülden sonraki kısma bakılır. Devreden rakam sayısı kadar \( 9 \), devretmeyen rakam sayısı kadar \( 0 \) yazılır.

Çevirim kuralı bağıntı olarak şu şekildedir:

\[ \text{Rasyonel Sayı} = \frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Virgülden Sonra Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} \]

Çözümlü Örnek 1:

Soru: \( 1,\bar{4} \) devirli ondalık gösterimini rasyonel sayıya çeviriniz.

Çözüm:

  • Sayının tamamı: \( 14 \)
  • Devretmeyen kısım: \( 1 \)
  • Pay: \( 14 - 1 = 13 \)
  • Virgülden sonra 1 tane devreden basamak olduğu için payda: \( 9 \)

Sonuç:

\[ 1,\bar{4} = \frac{13}{9} \]

Çözümlü Örnek 2:

Soru: \( 0,2\bar{6} \) devirli ondalık gösterimini rasyonel sayıya dönüştürünüz.

Çözüm:

  • Sayının tamamı: \( 26 \)
  • Devretmeyen kısım: \( 2 \)
  • Pay: \( 26 - 2 = 24 \)
  • Virgülden sonra 1 tane devreden (\( 6 \)) ve 1 tane devretmeyen (\( 2 \)) rakam olduğu için payda: \( 90 \)

Sonuç:

\[ 0,2\bar{6} = \frac{24}{90} \]

Elde edilen rasyonel sayı en sade haline getirilebilir. Pay ve paydayı \( 6 \) ile sadeleştirirsek:

\[ \frac{24 \div 6}{90 \div 6} = \frac{4}{15} \]