🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Piramitlerin yüzey alanı ve hacimleri Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Piramitlerin yüzey alanı ve hacimleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Tabanı kare olan ve bir kenar uzunluğu 6 cm olan bir piramidin yanal yüzeyini oluşturan eşkenar üçgenlerin her birinin yüksekliği 5 cm'dir. Bu piramidin yanal yüzey alanını hesaplayınız. 💡
Çözüm:
Bu soruda, tabanı kare olan bir piramidin yanal yüzey alanını bulacağız.
- Piramidin Yanal Yüzeyini Anlama: Piramidin yanal yüzeyi, tabanına bitişik olan üçgenlerden oluşur. Kare tabanlı bir piramidin 4 adet yanal yüzü vardır ve bu yüzeyler eşkenar üçgenlerdir.
- Üçgen Alanı Formülü: Bir üçgenin alanı \frac{taban \times yükseklik}{2} formülü ile bulunur.
- Yanal Yüzeydeki Bir Üçgenin Alanı: Yanal yüzeydeki eşkenar üçgenin tabanı, karenin bir kenar uzunluğuna eşittir, yani 6 cm'dir. Üçgenin yüksekliği ise 5 cm olarak verilmiştir. Bu nedenle, bir yanal yüzdeki üçgenin alanı: \frac{6 \text{ cm} \times 5 \text{ cm}}{2} = \frac{30 \text{ cm}^2}{2} = 15 \text{ cm}^2 \text{ olur.}
- Toplam Yanal Alanı Hesaplama: Piramidin 4 adet yanal yüzü olduğuna göre, toplam yanal yüzey alanı: 4 \times 15 \text{ cm}^2 = 60 \text{ cm}^2 \text{ olur.}
Örnek 2:
Tabanı eşkenar üçgen olan ve taban kenar uzunluğu 8 cm, piramidin yüksekliği 10 cm olan bir piramidin yüzey alanını bulmak için hangi bilgilere ihtiyacımız var? (Not: Bu soruda hesaplama yapmadan, sadece gerekli bilgileri belirtiniz.) 🤔
Çözüm:
Bir piramidin yüzey alanını hesaplamak için iki ana bileşeni bilmemiz gerekir:
- Taban Alanı: Piramidin tabanının alanını bilmeliyiz. Bu örnekte taban eşkenar üçgen olduğu için, eşkenar üçgenin alan formülünü kullanarak taban alanını hesaplayabiliriz. Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu (8 cm) verilmiş.
- Yanal Alan: Piramidin yanal yüzeyini oluşturan üçgenlerin alanları toplamını bilmeliyiz. Yanal yüzey alanı için her bir üçgenin taban uzunluğunu (bu da 8 cm'dir) ve bu üçgenlerin yüksekliğini (yan yüzeyin yüksekliği, yani yanal yükseklik) bilmemiz gerekir. Piramidin yüksekliği (10 cm) doğrudan yanal yüzeyin yüksekliği değildir.
Örnek 3:
Tabanı kare olan ve taban kenar uzunluğu 10 cm olan bir piramidin yanal yüksekliği 13 cm'dir. Bu piramidin toplam yüzey alanını hesaplayınız. 🔺
Çözüm:
Bu soruda, kare tabanlı bir piramidin toplam yüzey alanını hesaplayacağız.
- Taban Alanını Hesaplama: Tabanı kare olduğu için, taban alanı = kenar \times kenar formülü ile bulunur. Taban kenar uzunluğu 10 cm'dir. Taban Alanı = \( 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2 \).
- Yanal Yüzeydeki Bir Üçgenin Alanını Hesaplama: Yanal yüzeydeki her bir üçgenin tabanı, karenin bir kenar uzunluğuna eşittir, yani 10 cm'dir. Yanal yüksekliği 13 cm olarak verilmiştir. Bir yanal üçgenin alanı = \frac{taban \times yanal \ yükseklik}{2} = \frac{10 \text{ cm} \times 13 \text{ cm}}{2} = \frac{130 \text{ cm}^2}{2} = 65 \text{ cm}^2 \text{ olur.}
- Toplam Yanal Alanı Hesaplama: Kare tabanlı piramidin 4 adet yanal yüzü vardır. Toplam Yanal Alan = 4 \times 65 \text{ cm}^2 = 260 \text{ cm}^2 \text{ olur.}
- Toplam Yüzey Alanını Hesaplama: Toplam Yüzey Alanı = Taban Alanı + Toplam Yanal Alan. Toplam Yüzey Alanı = \( 100 \text{ cm}^2 + 260 \text{ cm}^2 = 360 \text{ cm}^2 \).
Örnek 4:
Bir inşaat firması, yeni yapacağı bir binanın çatısı için piramit şeklinde bir tasarım düşünmektedir. Çatının tabanı kare şeklinde olup, bir kenar uzunluğu 20 metre ve yanal yüksekliği 15 metredir. Bu çatının dış yüzeyini boyamak için ne kadar alana ihtiyaç duyulacağını hesaplayınız. (Sadece yanal yüzey alanı hesaplanacaktır.) 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, bir binanın piramit şeklindeki çatısının boyanacak alanını, yani yanal yüzey alanını hesaplayacağız.
- Problemi Anlama: Boyanacak alan, çatının sadece yan yüzeylerini ifade eder. Taban alanı hesaba katılmayacaktır.
- Taban Kenar Uzunluğu: Çatının tabanı kare ve bir kenar uzunluğu 20 metredir.
- Yanal Yüksekliği: Çatının yanal yüksekliği 15 metre olarak verilmiştir.
- Yanal Yüzeydeki Bir Üçgenin Alanı: Çatıyı oluşturan her bir üçgenin tabanı 20 m ve yüksekliği 15 m'dir. Bir üçgenin alanı = \frac{taban \times yükseklik}{2} = \frac{20 \text{ m} \times 15 \text{ m}}{2} = \frac{300 \text{ m}^2}{2} = 150 \text{ m}^2 \text{ olur.}
- Toplam Yanal Alanı Hesaplama: Kare tabanlı bir çatıda 4 adet yanal yüzey bulunur. Toplam Yanal Alan = 4 \times 150 \text{ m}^2 = 600 \text{ m}^2 \text{ olur.}
Örnek 5:
Tabanı düzgün altıgen olan ve bir taban kenar uzunluğu 4 cm olan bir piramidin yanal yüksekliği 7 cm'dir. Bu piramidin yanal yüzey alanını hesaplayınız. 💎
Çözüm:
Bu soruda, tabanı düzgün altıgen olan bir piramidin yanal yüzey alanını hesaplayacağız.
- Tabanın Şekli: Taban düzgün bir altıgendir. Düzgün altıgen, 6 adet eş kenardan oluşur.
- Yanal Yüzeyin Yapısı: Düzgün altıgen tabanlı bir piramidin 6 adet yanal yüzü vardır ve bu yüzeyler eşkenar üçgenlerdir.
- Yanal Yüzdeki Bir Üçgenin Alanı: Her bir yanal üçgenin tabanı, altıgenin bir kenar uzunluğuna eşittir, yani 4 cm'dir. Yanal yükseklik 7 cm olarak verilmiştir. Bir yanal üçgenin alanı = \frac{taban \times yanal \ yükseklik}{2} = \frac{4 \text{ cm} \times 7 \text{ cm}}{2} = \frac{28 \text{ cm}^2}{2} = 14 \text{ cm}^2 \text{ olur.}
- Toplam Yanal Alanı Hesaplama: Piramidin 6 adet yanal yüzü olduğuna göre, toplam yanal yüzey alanı: 6 \times 14 \text{ cm}^2 = 84 \text{ cm}^2 \text{ olur.}
Örnek 6:
Tabanı kare olan bir piramidin taban alanı 144 cm² ve yanal yüzey alanı 240 cm²'dir. Bu piramidin toplam yüzey alanını ve yanal yüksekliğini hesaplayınız. 🧮
Çözüm:
Bu soruda, kare tabanlı bir piramidin hem toplam yüzey alanını hem de yanal yüksekliğini bulacağız.
- Taban Alanından Kenar Uzunluğunu Bulma: Taban alanı 144 cm² ve taban kare olduğuna göre, taban kenar uzunluğunu bulmak için 144'ün karekökünü alırız. Taban Kenarı = \( \sqrt{144 \text{ cm}^2} = 12 \text{ cm} \).
- Toplam Yüzey Alanını Hesaplama: Toplam Yüzey Alanı = Taban Alanı + Yanal Yüzey Alanı. Toplam Yüzey Alanı = \( 144 \text{ cm}^2 + 240 \text{ cm}^2 = 384 \text{ cm}^2 \).
- Yanal Yüksekliği Hesaplama: Yanal yüzey alanı 240 cm²'dir ve bu alan 4 adet eşkenar üçgenden oluşur. Bir yanal üçgenin alanı = \frac{240 \text{ cm}^2}{4} = 60 \text{ cm}^2 \text{ olur.}
- Yanal Yüksekliği Bulma: Bir yanal üçgenin alanı \( = \frac{taban \times yanal \ yükseklik}{2} \) formülüyle bulunur. Taban kenarını 12 cm olarak bulmuştuk. Yani, \( 60 \text{ cm}^2 = \frac{12 \text{ cm} \times yanal \ yükseklik}{2} \). Bu denklemi çözersek: \( 120 \text{ cm}^2 = 12 \text{ cm} \times yanal \ yükseklik \). Yanal Yükseklik = \( \frac{120 \text{ cm}^2}{12 \text{ cm}} = 10 \text{ cm} \).
Örnek 7:
Ayşe, elindeki kare prizma şeklindeki bir kutunun üzerine, tabanları çakışacak şekilde bir piramit yerleştiriyor. Piramidin taban kenarı, kutunun taban kenarı ile aynıdır ve 10 cm'dir. Piramidin yanal yüksekliği 12 cm'dir. Ayşe, bu yeni şeklin tamamının dış yüzeyini (kutunun tabanı hariç) bir kağıt ile kaplamak istiyor. Ayşe'nin kaç cm²'lik kağıda ihtiyacı olacaktır? (Kutu yüzey alanı hesaplamasına gerek yok, sadece piramit yüzey alanı ve kutunun üst yüzeyi hesaplanacaktır.) 🎁
Çözüm:
Bu soruda, bir kutunun üzerine yerleştirilen piramidin ve kutunun üst yüzeyinin kaplanacak alanını bulacağız.
- Kaplanacak Alanları Belirleme: Kaplanacak alanlar şunlardır: Piramidin yanal yüzey alanı ve kutunun üst yüzey alanı. Kutunun tabanı kaplanmayacak.
- Piramidin Yanal Yüzey Alanını Hesaplama: Piramidin taban kenarı 10 cm ve yanal yüksekliği 12 cm'dir. Kare tabanlı piramidin 4 yanal yüzü vardır. Bir yanal üçgenin alanı = \frac{10 \text{ cm} \times 12 \text{ cm}}{2} = 60 \text{ cm}^2 \text{ olur.} Toplam Yanal Alan = 4 \times 60 \text{ cm}^2 = 240 \text{ cm}^2 \text{ olur.}
- Kutunun Üst Yüzey Alanını Hesaplama: Kutunun taban kenarı da 10 cm'dir. Kutunun üst yüzeyi kare şeklindedir. Üst Yüzey Alanı = 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2 \text{ olur.}
- Toplam İhtiyaç Duyulan Alanı Hesaplama: Toplam Alan = Piramidin Yanal Alanı + Kutunun Üst Yüzey Alanı. Toplam Alan = \( 240 \text{ cm}^2 + 100 \text{ cm}^2 = 340 \text{ cm}^2 \).
Örnek 8:
Tabanı kare olan ve bir kenar uzunluğu 5 cm olan bir piramidin yüksekliği 8 cm'dir. Bu piramidin hacmini hesaplamak için hangi formülü kullanırız? (Hesaplama yapmadan sadece formülü belirtiniz.) 📏
Çözüm:
Bir piramidin hacmini hesaplamak için kullanılan genel formül şudur:
Hacim = \frac{Taban Alanı \times Yükseklik}{3}
Bu formülde:
Hacim = \frac{Taban Alanı \times Yükseklik}{3}
Bu formülde:
- Taban Alanı: Piramidin tabanının alanıdır. Bu örnekte taban kare olduğu için, \( \text{Taban Alanı} = 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 25 \text{ cm}^2 \) olur.
- Yükseklik: Piramidin taban merkezinden tepe noktasına kadar olan dikey mesafedir. Bu örnekte yükseklik 8 cm olarak verilmiştir.
Örnek 9:
Tabanı 10 cm kenar uzunluğuna sahip bir kare olan bir piramidin yüksekliği 15 cm'dir. Bu piramidin hacmini hesaplayınız. 📦
Çözüm:
Bu soruda, kare tabanlı bir piramidin hacmini hesaplayacağız.
- Taban Alanını Hesaplama: Tabanı kare ve bir kenar uzunluğu 10 cm'dir. Taban Alanı = \( 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2 \).
- Yüksekliği Belirleme: Piramidin yüksekliği 15 cm olarak verilmiştir.
- Hacim Formülünü Uygulama: Piramit hacim formülü \( V = \frac{Taban Alanı \times Yükseklik}{3} \) şeklindedir.
- Hesaplama: \( V = \frac{100 \text{ cm}^2 \times 15 \text{ cm}}{3} = \frac{1500 \text{ cm}^3}{3} = 500 \text{ cm}^3 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-piramitlerin-yuzey-alani-ve-hacimleri/sorular