💡 7. Sınıf Matematik: Piramitlerin hacmi ve yüzey alanları Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için piramit hacmi formülünü kullanacağız.
Hacim formülü: \( V = \frac{1}{3} \times A_{taban} \times h \)
Burada \( V \) hacmi, \( A_{taban} \) taban alanını ve \( h \) cismin yüksekliğini temsil eder.
1. Taban Alanını Hesaplama:
Piramidin tabanı kare olduğu için taban alanı \( A_{taban} = kenar \times kenar \) formülü ile bulunur.
\( A_{taban} = 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2 \)
2. Hacmi Hesaplama:
Şimdi taban alanını ve yüksekliği hacim formülünde yerine koyalım.
\( V = \frac{1}{3} \times 36 \, \text{cm}^2 \times 10 \, \text{cm} \)
\( V = 12 \, \text{cm}^2 \times 10 \, \text{cm} \)
\( V = 120 \, \text{cm}^3 \)
✅ Sonuç: Piramidin hacmi 120 santimetreküptür.

Bu piramidin hacmini bulmak için hacim formülünü kullanacağız.
Hacim formülü: \( V = \frac{1}{3} \times A_{taban} \times h \)
1. Taban Alanını Hesaplama:
Taban eşkenar üçgen olduğu için alanı \( A_{taban} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \) formülü ile bulunur. Burada \( a \) kenar uzunluğudur.
\( A_{taban} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3} \, \text{cm}^2 \)
2. Hacmi Hesaplama:
Şimdi taban alanını ve yüksekliği hacim formülünde yerine koyalım.
\( V = \frac{1}{3} \times 16 \sqrt{3} \, \text{cm}^2 \times 12 \, \text{cm} \)
\( V = 16 \sqrt{3} \, \text{cm}^2 \times 4 \, \text{cm} \)
\( V = 64 \sqrt{3} \, \text{cm}^3 \)
✅ Sonuç: Piramidin hacmi \( 64 \sqrt{3} \) santimetreküptür.

Piramidin yüzey alanını bulmak için taban alanını ve yanal yüzey alanını toplamalıyız.
Yüzey Alanı Formülü: \( A_{toplam} = A_{taban} + A_{yanal} \)
1. Taban Alanını Hesaplama:
Taban kare olduğu için taban alanı \( A_{taban} = kenar \times kenar \) formülü ile bulunur.
\( A_{taban} = 5 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 25 \, \text{cm}^2 \)
2. Toplam Yüzey Alanını Hesaplama:
Soruda yanal yüzey alanı doğrudan verilmiş. Şimdi bu iki alanı toplayalım.
\( A_{toplam} = 25 \, \text{cm}^2 + 100 \, \text{cm}^2 \)
\( A_{toplam} = 125 \, \text{cm}^2 \)
✅ Sonuç: Piramidin yüzey alanı 125 santimetrekaredir.

Piramidin yanal yüzey alanını hesaplamak için, her bir yanal yüzeyin alanını bulup toplamamız gerekir.
Yanal yüzeyler üçgen şeklindedir ve alanı \( A_{üçgen} = \frac{taban \times yükseklik}{2} \) formülü ile bulunur. Burada üçgenin yüksekliği, piramidin "yan yüz yüksekliği" (eğik yükseklik) olmalıdır.
1. Yan Yüz Yüksekliğini Hesaplama:
Yan yüz yüksekliğini bulmak için tabanın merkezinden bir kenarın ortasına çizilen doğru parçası (apothema), piramidin yüksekliği ve yan yüz yüksekliği ile bir dik üçgen oluşturur. Taban kenarı 10 cm ise, tabanın ortasına olan uzaklık 5 cm'dir.
Pisagor teoremini kullanarak yan yüz yüksekliğini (l) bulalım: \( 5^2 + 12^2 = l^2 \)
\( 25 + 144 = l^2 \)
\( 169 = l^2 \)
\( l = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm} \)
2. Bir Yanal Yüzeyin Alanını Hesaplama:
Her bir yanal yüzey bir üçgendir. Tabanı 10 cm ve yüksekliği (yan yüz yüksekliği) 13 cm'dir.
\( A_{bir\_yanal\_yüzey} = \frac{10 \, \text{cm} \times 13 \, \text{cm}}{2} = \frac{130 \, \text{cm}^2}{2} = 65 \, \text{cm}^2 \)
3. Toplam Yanal Yüzey Alanını Hesaplama:
Kare tabanlı piramidin 4 tane eşkenar yanal yüzeyi vardır.
\( A_{yanal} = 4 \times A_{bir\_yanal\_yüzey} = 4 \times 65 \, \text{cm}^2 = 260 \, \text{cm}^2 \)
✅ Sonuç: Piramidin yanal yüzey alanı 260 santimetrekaredir.

Bu problem, piramidin hacmini hesaplama konusunu günlük hayata uyarlar.
Piramidin hacmi formülü: \( V = \frac{1}{3} \times A_{taban} \times h \)
1. Taban Alanını Hesaplama:
Silonun tabanı kare şeklinde ve bir kenar uzunluğu 10 metredir.
\( A_{taban} = 10 \, \text{m} \times 10 \, \text{m} = 100 \, \text{m}^2 \)
2. Hacmi Hesaplama:
Silonun yüksekliği 15 metredir.
\( V = \frac{1}{3} \times 100 \, \text{m}^2 \times 15 \, \text{m} \)
\( V = 100 \, \text{m}^2 \times 5 \, \text{m} \)
\( V = 500 \, \text{m}^3 \)
✅ Sonuç: Silonun tamamen doldurulması için 500 metreküp betona ihtiyaç duyulacaktır.

Bu soruda, dondurmanın kaplama alanını yani yüzey alanını hesaplamamız isteniyor.
Yüzey Alanı Formülü: \( A_{toplam} = A_{taban} + A_{yanal} \)
1. Taban Alanını Hesaplama:
Dondurmanın tabanı kare ve kenar uzunluğu 6 cm'dir.
\( A_{taban} = 6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2 \)
2. Toplam Yüzey Alanını Hesaplama:
Soruda her bir yanal yüzeyin alanı 30 cm² olarak verilmiş. Kare tabanlı piramidin 4 yanal yüzeyi vardır.
Toplam yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 4 \times 30 \, \text{cm}^2 = 120 \, \text{cm}^2 \)
Şimdi taban alanını ve toplam yanal yüzey alanını toplayalım.
\( A_{toplam} = 36 \, \text{cm}^2 + 120 \, \text{cm}^2 \)
\( A_{toplam} = 156 \, \text{cm}^2 \)
✅ Sonuç: Bu dondurmanın toplam yüzey alanı (kaplama alanı) 156 santimetrekaredir.

Bu soruyu çözmek için öncelikle taban alanını bulup, ardından yüzey alanını hesaplayacağız.
Hacim formülü: \( V = \frac{1}{3} \times A_{taban} \times h \)
1. Taban Alanını Hesaplama:
Verilen hacim ve yükseklik ile taban alanını bulalım.
\( 216 \sqrt{3} \, \text{cm}^3 = \frac{1}{3} \times A_{taban} \times 9 \, \text{cm} \)
\( 216 \sqrt{3} \, \text{cm}^3 = 3 \, \text{cm} \times A_{taban} \)
\( A_{taban} = \frac{216 \sqrt{3} \, \text{cm}^3}{3 \, \text{cm}} = 72 \sqrt{3} \, \text{cm}^2 \)
2. Taban Kenar Uzunluğunu Bulma:
Düzgün altıgenin alanı formülü \( A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \) idi. Bulduğumuz taban alanını kullanarak kenar uzunluğunu (a) bulalım.
\( 72 \sqrt{3} \, \text{cm}^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \)
\( 72 = \frac{3}{2} a^2 \)
\( a^2 = 72 \times \frac{2}{3} = 24 \times 2 = 48 \)
\( a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3} \, \text{cm} \)
3. Yan Yüz Yüksekliğini Hesaplama:
Düzgün altıgenin bir kenarından merkezine olan uzaklık \( a \sqrt{3}/2 \) formülü ile bulunur. Burada \( a = 4 \sqrt{3} \) cm'dir.
Merkezden kenar ortasına uzaklık: \( (4 \sqrt{3}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6 \, \text{cm} \)
Yan yüz yüksekliğini (l) Pisagor teoremi ile bulalım: \( l^2 = h^2 + (\text{merkezden kenar ortasına uzaklık})^2 \)
\( l^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117 \)
\( l = \sqrt{117} \, \text{cm} \)
4. Yanal Yüzey Alanını Hesaplama:
Düzgün altıgenin 6 tane eşkenar üçgen yanal yüzeyi vardır. Bir yanal yüzeyin alanı \( \frac{taban \times yan\_yüz\_yüksekliği}{2} \) formülü ile bulunur.
\( A_{bir\_yanal\_yüzey} = \frac{(4 \sqrt{3}) \times \sqrt{117}}{2} \)
Toplam yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 6 \times \frac{(4 \sqrt{3}) \times \sqrt{117}}{2} = 3 \times (4 \sqrt{3}) \times \sqrt{117} = 12 \sqrt{3} \sqrt{117} \)
\( A_{yanal} = 12 \sqrt{3 \times 117} = 12 \sqrt{351} = 12 \sqrt{9 \times 39} = 12 \times 3 \sqrt{39} = 36 \sqrt{39} \, \text{cm}^2 \)
5. Toplam Yüzey Alanını Hesaplama:
\( A_{toplam} = A_{taban} + A_{yanal} = 72 \sqrt{3} \, \text{cm}^2 + 36 \sqrt{39} \, \text{cm}^2 \)
✅ Sonuç: Piramidin yüzey alanı \( 72 \sqrt{3} + 36 \sqrt{39} \) santimetrekaredir.

Bu soruda, öncelikle verilen hacim ve yükseklik bilgisini kullanarak piramidin taban alanını bulacağız, ardından yüzey alanını hesaplayacağız.
Hacim formülü: \( V = \frac{1}{3} \times A_{taban} \times h \)
1. Taban Alanını Hesaplama:
Verilen değerleri hacim formülünde yerine koyalım.
\( 96 \, \text{cm}^3 = \frac{1}{3} \times A_{taban} \times 8 \, \text{cm} \)
\( 96 = \frac{8}{3} \times A_{taban} \)
\( A_{taban} = 96 \times \frac{3}{8} = 12 \times 3 = 36 \, \text{cm}^2 \)
2. Taban Kenar Uzunluğunu Bulma:
Taban alanı 36 cm² ve taban kare olduğuna göre, taban kenar uzunluğunu bulabiliriz.
\( Kenar^2 = 36 \, \text{cm}^2 \Rightarrow Kenar = 6 \, \text{cm} \)
3. Yan Yüz Yüksekliğini Hesaplama:
Yan yüz yüksekliğini (l) bulmak için Pisagor teoremini kullanacağız. Tabanın yarısı 3 cm'dir.
\( l^2 = h^2 + (\text{taban kenarının yarısı})^2 \)
\( l^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73 \)
\( l = \sqrt{73} \, \text{cm} \)
4. Yanal Yüzey Alanını Hesaplama:
Her bir yanal yüzeyin alanı \( \frac{taban \times yan\_yüz\_yüksekliği}{2} \) formülü ile bulunur.
\( A_{bir\_yanal\_yüzey} = \frac{6 \, \text{cm} \times \sqrt{73} \, \text{cm}}{2} = 3 \sqrt{73} \, \text{cm}^2 \)
Toplam yanal yüzey alanı \( A_{yanal} = 4 \times 3 \sqrt{73} \, \text{cm}^2 = 12 \sqrt{73} \, \text{cm}^2 \)
5. Toplam Yüzey Alanını Hesaplama:
\( A_{toplam} = A_{taban} + A_{yanal} = 36 \, \text{cm}^2 + 12 \sqrt{73} \, \text{cm}^2 \)
✅ Sonuç: Piramidin yüzey alanı \( 36 + 12 \sqrt{73} \) santimetrekaredir.