Oran orantı ve yüzdeler Ders Notu

İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. İki veya daha fazla oranın eşitliğine ise orantı adı verilir. Günlük yaşamda yemek tariflerinden harita ölçeklerine, alışveriş indirimlerinden faiz hesaplarına kadar birçok alanda oran, orantı ve yüzdelerden yararlanırız.

📊 Oran ve Orantı Kavramı

Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının erkek öğrencilerin sayısına oranı \( \frac{a}{b} \) şeklinde gösterilir. İki oranın eşitliği olan orantı ise şu şekilde ifade edilir:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]

Bir orantıda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir. Yani:

\[ a \times d = b \times c \]

Önemli Bilgi: Orantıyı oluşturan oranların sadeleşmiş hali bize orantı sabitini verir. Orantı sabiti genellikle \( k \) harfi ile gösterilir.

✏️ Çözümlü Örnek 1

Bir sınıfta kız öğrencilerin sayısının erkek öğrencilerin sayısına oranı \( \frac{3}{4} \)'tür. Sınıfta 12 kız öğrenci olduğuna göre kaç erkek öğrenci vardır?

Çözüm: Kız öğrencilerin sayısına \( x \), erkek öğrencilerin sayısına \( y \) diyelim. Orantıyı kuralım:

\[ \frac{3}{4} = \frac{12}{y} \]

İçler dışlar çarpımı yaparsak:

\[ 3 \times y = 4 \times 12 \] \[ 3 \times y = 48 \] \[ y = 16 \]

Sınıfta 16 erkek öğrenci vardır.

⚖️ Doğru Orantı ve Ters Orantı

1) Doğru Orantı 📈

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır. Doğru orantılı çoklukların bölümleri sabittir:

\[ \frac{y}{x} = k \]

Burada \( k \) orantı sabitidir.

✏️ Çözümlü Örnek 2

4 kg elma 60 TL olduğuna göre, 7 kg elma kaç TL'dir?

Çözüm: Elma miktarı arttıkça ödenecek tutar da artacağı için bu bir doğru orantıdır. Orantıyı kuralım:

\[ \frac{4}{60} = \frac{7}{x} \]

İçler dışlar çarpımı yapalım:

\[ 4 \times x = 60 \times 7 \] \[ 4 \times x = 420 \] \[ x = 105 \]

7 kg elma 105 TL'dir.

2) Ters Orantı 🔄

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır. Ters orantılı çoklukların çarpımları sabittir:

\[ x \times y = k \]

✏️ Çözümlü Örnek 3

Bir işi aynı güçteki 3 işçi 12 günde bitirebilmektedir. Aynı işi aynı güçteki 9 işçi kaç günde bitirir?

Çözüm: İşçi sayısı arttıkça işin bitme süresi kısalacağı için bu bir ters orantıdır. Ters orantıda karşılıklı çarpımlar eşitlenir:

\[ 3 \times 12 = 9 \times x \] \[ 36 = 9 \times x \] \[ x = 4 \]

9 işçi bu işi 4 günde bitirir.

🎯 Yüzdeler

Paydası 100 olan veya 100 yapılacak şekilde genişletilebilen/sadeleştirilebilen kesirler yüzde sembolü (%) ile gösterilir.

1) Bir Çokluğun Belirtilen Yüzdesini Bulma

Bir \( a \) sayısının %\( b \)'sini bulmak için sayı ile yüzde oranı çarpılır:

\[ a \times \frac{b}{100} \]

✏️ Çözümlü Örnek 4

500 sayısının %35'i kaçtır?

Çözüm: Formülü uygulayalım:

\[ 500 \times \frac{35}{100} = 5 \times 35 = 175 \]

500 sayısının %35'i 175'tir.

2) Belirli Bir Yüzdesi Verilen Çokluğu Bulma

Belirli bir yüzdesi verilen sayının tamamını bulmak için orantı kurulabilir veya verilen miktar yüzde oranına bölünebilir.

✏️ Çözümlü Örnek 5

%20'si 40 olan sayı kaçtır?

Çözüm: Sayının tamamına %100 diyerek doğru orantı kuralım:

%20'si 40 ise,

%100'ü \( x \)'tir.

\[ 20 \times x = 100 \times 40 \] \[ 20 \times x = 4000 \] \[ x = 200 \]

Aradığımız sayı 200'dür.

3) Yüzde Artış ve Azalış (Zam ve İndirim) 🛍️

Bir ürüne yapılan zam (artış) veya indirim (azalış) miktarı, ürünün başlangıç fiyatı üzerinden yüzde hesaplanarak bulunur.

✏️ Çözümlü Örnek 6

150 TL değerindeki bir kazağa %20 indirim yapılmıştır. Kazanın indirimli fiyatı kaç TL'dir?

Çözüm: Öncelikle indirim miktarını hesaplayalım:

\[ 150 \times \frac{20}{100} = 30 \]

İndirim miktarı 30 TL'dir. İndirimli fiyatı bulmak için bu miktarı ilk fiyattan çıkarırız:

\[ 150 - 30 = 120 \]

Kazanın indirimli fiyatı 120 TL'dir.