💡 7. Sınıf Matematik: Dikdörtgenler prizmasının açılımı ve yüzey alanı Çözümlü Örnekler

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı, farklı boyutlardaki 3 çift dikdörtgen yüzün alanları toplamına eşittir.

Prizmanın ayrıtlarını \(a = 4\), \(b = 5\) ve \(c = 6\) olarak adlandıralım. Formülümüzü uygulayalım:

\[ \text{Yüzey Alanı} = 2 \times (a \times b + a \times c + b \times c) \]

• 1. Yüz Çiftinin Alanı: \(4 \times 5 = 20\) cm²
• 2. Yüz Çiftinin Alanı: \(4 \times 6 = 24\) cm²
• 3. Yüz Çiftinin Alanı: \(5 \times 6 = 30\) cm²

Şimdi bu alanları toplayalım ve 2 ile çarpalım:

\[ 20 + 24 + 30 = 74 \]

\[ 2 \times 74 = 148 \]

✅ Bu dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı \(148\) cm² olarak bulunur.

Bir dikdörtgenler prizmasının açınımında karşılıklı yüzler birbirine eştir. Dolayısıyla prizmada her bir farklı yüzden ikişer adet bulunur.

Bize verilen farklı yüzlerin alanları:

• Birinci farklı yüzün alanı = \(12\) cm²
• İkinci farklı yüzün alanı = \(15\) cm²
• Üçüncü farklı yüzün alanı = \(20\) cm²

Toplam yüzey alanını bulmak için bu üç farklı alanı toplayıp 2 ile çarparız:

\[ \text{Toplam Alan} = 2 \times (12 + 15 + 20) \]

\[ \text{Toplam Alan} = 2 \times 47 \]

\[ \text{Toplam Alan} = 94 \]

✅ Prizmanın kapalı haldeki toplam yüzey alanı \(94\) cm² olur.

Prizmanın yüksekliğine \(x\) diyelim. Ayrıt uzunluklarımız \(3\), \(5\) ve \(x\) olur.

Yüzey alanı formülünü yazıp verilenleri yerine yerleştirelim:

\[ 2 \times (3 \times 5 + 3 \times x + 5 \times x) = 142 \]

Denklemi adım adım çözelim:

• Parantez içini düzenleyelim: \(15 + 3x + 5x = 15 + 8x\)
• Denklemi yazalım: \(2 \times (15 + 8x) = 142\)
• Her iki tarafı 2'ye bölelim: \(15 + 8x = 71\)
• 15'i karşı tarafa eksi olarak geçirelim: \(8x = 71 - 15\)
• \(8x = 56\)
• Her iki tarafı 8'ye bölelim: \(x = 7\)

✅ Bu dikdörtgenler prizmasının yüksekliği \(7\) cm olarak bulunur.

Küp, tüm yüzleri kare olan özel bir dikdörtgenler prizmasıdır. Küpün toplam 6 eş yüzü vardır.

Adım adım çözüme ulaşalım:

• 1. Adım: Küpün bir yüzü karedir. Karenin çevresi \(24\) cm ise bir kenar uzunluğunu (ayrıtını) bulalım:
  \[ 24 \div 4 = 6 \text{ cm} \]
• 2. Adım: Küpün bir yüzünün alanını hesaplayalım:
  \[ 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \]
• 3. Adım: Küpün 6 eş yüzü olduğu için toplam yüzey alanını bulalım:
  \[ 6 \times 36 = 216 \text{ cm}^2 \]

✅ Küpün tüm yüzey alanı \(216\) cm² olarak hesaplanır.

Bir geometrik cisim kesildiğinde, kesilen yüzeylerde yeni yüzler ortaya çıkar. Bu durum toplam yüzey alanının artmasına neden olur.

• 1. Adım: Prizmanın yüzeylerini inceleyelim. Yüzey alanları:
  \(4 \times 6 = 24\) cm²
  \(4 \times 10 = 40\) cm²
  \(6 \times 10 = 60\) cm²
• 2. Adım: En büyük yüzey alanı \(60\) cm² olan yüzeydir.
• 3. Adım: Prizma bu en büyük yüzeye paralel kesildiğinde, kesim yerinde tam \(60\) cm² büyüklüğünde 2 adet yeni yüz oluşur.
• 4. Adım: Dolayısıyla yüzey alanındaki artış miktarı, yeni oluşan bu iki yüzün alanları toplamına eşittir:
  \[ 2 \times 60 = 120 \text{ cm}^2 \]

✅ Oluşan yeni prizmanın alanları toplamı, ilk duruma göre \(120\) cm² fazladır.

Kutunun tamamen kaplanması için kutunun dış yüzey alanının hesaplanması gerekir.

Kutunun ayrıtları: \(a = 10\) cm, \(b = 15\) cm ve \(c = 25\) cm'dir.

• Ön ve Arka Yüzlerin Alanı: \(2 \times (10 \times 15) = 2 \times 150 = 300\) cm²
• Yan Yüzlerin Alanı: \(2 \times (15 \times 25) = 2 \times 375 = 750\) cm²
• Alt ve Üst Yüzlerin Alanı: \(2 \times (10 \times 25) = 2 \times 250 = 500\) cm²

Şimdi tüm bu alanları toplayarak toplam yüzey alanını bulalım:

\[ \text{Toplam Alan} = 300 + 750 + 500 \]

\[ \text{Toplam Alan} = 1550 \]

✅ Elif'in kutuyu kaplamak için en az \(1550\) cm² hediye kağıdına ihtiyacı vardır.

Soruda bantların üst üste gelmediği ve kolide hiç boşluk kalmadığı belirtilmiştir. Bu durumda kullanılan bandın toplam alanı, kolinin toplam dış yüzey alanına tam olarak eşit olmalıdır.

Kolinin ayrıtları \(20\) cm, \(30\) cm ve \(40\) cm'dir. Yüzey alanını hesaplayalım:

• Farklı üç yüzün alanları:
  \(20 \times 30 = 600\) cm²
  \(20 \times 40 = 800\) cm²
  \(30 \times 40 = 1200\) cm²
• Bu alanların toplamı:
  \[ 600 + 800 + 1200 = 2600 \text{ cm}^2 \]
• Toplam yüzey alanı (her yüzden ikişer adet olduğu için):
  \[ 2 \times 2600 = 5200 \text{ cm}^2 \]

✅ Koliyi tamamen kaplamak için toplam \(5200\) cm² bant kullanılmıştır.

Kalemliğin üstü açık olduğu için toplamda 6 yüz yerine 5 yüzü olacaktır. Bu yüzler:

• 1 adet kare taban (alt yüzey)
• 4 adet birbirine eş dikdörtgen yan yüzey

Alanları adım adım hesaplayalım:

• Taban Alanı (Kare):
  \[ 8 \times 8 = 64 \text{ cm}^2 \]
• Bir Yan Yüzün Alanı (Dikdörtgen):
  \[ 8 \times 12 = 96 \text{ cm}^2 \]
• 4 Adet Yan Yüzün Toplam Alanı:
  \[ 4 \times 96 = 384 \text{ cm}^2 \]
• Kullanılan Toplam Karton Alanı:
  \[ \text{Taban Alanı} + \text{Yan Yüzlerin Alanı} \]
  \[ 64 + 384 = 448 \text{ cm}^2 \]

✅ Kerem bu kalemlik tasarımı için toplam \(448\) cm² karton kullanmıştır.