💡 7. Sınıf Matematik: Çokgenlerde iç ve dış açılar Çözümlü Örnekler

Düzgün çokgenlerde bir iç açının ölçüsünü bulmak için şu formülü kullanırız:

• Bir iç açının ölçüsü = \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \)

Burada \( n \), çokgenin kenar sayısıdır.
Bir düzgün beşgenin 5 kenarı vardır, yani \( n = 5 \).
Şimdi formülde yerine koyalım:

• \( \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} \)
• \( \frac{3 \times 180^\circ}{5} \)
• \( \frac{540^\circ}{5} \)
• \( 108^\circ \)

✅ Cevap: Bir düzgün beşgenin bir iç açısı \( 108^\circ \) derecedir.

Bir düzgün çokgenin tüm dış açılarının toplamı her zaman \( 360^\circ \) derecedir.
Düzgün bir altıgenin 6 kenarı ve dolayısıyla 6 dış açısı vardır.
Bir dış açının ölçüsünü bulmak için toplam dış açı ölçüsünü kenar sayısına böleriz:

• Bir dış açının ölçüsü = \( \frac{360^\circ}{n} \)

Burada \( n \), çokgenin kenar sayısıdır. Altıgen için \( n = 6 \).
Hesaplayalım:

• \( \frac{360^\circ}{6} \)
• \( 60^\circ \)

✅ Cevap: Bir düzgün altıgenin bir dış açısı \( 60^\circ \) derecedir.

Önce sekizgenin bir iç açısını bulalım:
Düzgün sekizgenin kenar sayısı \( n = 8 \).
İç açı formülü: \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \)

• \( \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} \)
• \( \frac{6 \times 180^\circ}{8} \)
• \( \frac{1080^\circ}{8} \)
• \( 135^\circ \)

Şimdi de bir dış açısını bulalım:
Dış açı formülü: \( \frac{360^\circ}{n} \)

• \( \frac{360^\circ}{8} \)
• \( 45^\circ \)

İki açı arasındaki farkı hesaplayalım:

• \( 135^\circ - 45^\circ \)
• \( 90^\circ \)

✅ Cevap: Bir iç açı ile bir dış açının ölçüleri arasındaki fark \( 90^\circ \) derecedir.

Bir çokgenin iç açıları ile dış açıları arasında bir ilişki vardır: Her bir köşe için iç açı ile o köşeye ait dış açının toplamı \( 180^\circ \) derecedir. 📌
Verilen iç açılara karşılık gelen dış açıları hesaplayalım:

• 1. Dış Açı: \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
• 2. Dış Açı: \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
• 3. Dış Açı: \( 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)

Bu üç dış açının toplamı \( 70^\circ + 60^\circ + 50^\circ = 180^\circ \) olur.
Bir çokgenin dış açılarının toplamı her zaman \( 360^\circ \) derecedir.
Bu çokgenin en az kaç kenarlı olabileceğini bulmak için, kalan dış açılarının ölçüsünün pozitif olması gerektiğini düşünmeliyiz.
Eğer bu çokgen bir dörtgen olsaydı, ilk üç dış açının toplamı \( 180^\circ \) olurdu. Geriye kalan 4. dış açı \( 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ \) olurdu. Ancak bir dış açının ölçüsü en fazla \( 180^\circ \) olabilir ve bu durum düzgün olmayan bir çokgen için geçerlidir. Ancak genel bir çokgende bir dış açı \( 180^\circ \) olamaz. Bu nedenle dörtgen olamaz.
Eğer çokgen beşgen olsaydı, ilk üç dış açı \( 180^\circ \) eder. Kalan iki dış açının toplamı \( 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ \) olmalıdır. Bu iki açının pozitif olması mümkündür (örneğin, \( 90^\circ \) ve \( 90^\circ \)).
Dolayısıyla, bu çokgen en az 5 kenarlı olabilir. ✅ Cevap: En az 5 kenarlı olabilir.

Bu problemi çözmek için düzgün çokgenin bir iç açısı formülünü kullanabiliriz. İç açı formülü şöyledir: \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \).
Bize bir iç açının \( 144^\circ \) olduğu verilmiş. O halde denklemi kuralım:

• \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} = 144^\circ \)

Şimdi bu denklemi \( n \) için çözelim:
Önce her iki tarafı \( n \) ile çarpalım:

• \( (n-2) \times 180^\circ = 144^\circ \times n \)

Parantezi açalım:

• \( 180^\circ n - 360^\circ = 144^\circ n \)

\( n \) terimlerini bir tarafa toplayalım:

• \( 180^\circ n - 144^\circ n = 360^\circ \)
• \( 36^\circ n = 360^\circ \)

Şimdi \( n \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 36^\circ \) ye bölelim:

• \( n = \frac{360^\circ}{36^\circ} \)
• \( n = 10 \)

✅ Cevap: Bu panel 10 kenarlı bir düzgün çokgen şeklindedir (düzgün ongen).

Bu durum, düzgün çokgenlerin düzlemde boşluksuz kaplama özelliğini gösterir.
Düzgün altıgenin bir iç açısının kaç derece olduğunu bulmalıyız.
Düzgün altıgenin kenar sayısı \( n = 6 \).
İç açı formülü: \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \)

• \( \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} \)
• \( \frac{4 \times 180^\circ}{6} \)
• \( \frac{720^\circ}{6} \)
• \( 120^\circ \)

Eğer bir altıgen fayansın bir iç açısı \( 120^\circ \) ise, bu fayansların üç tanesi bir noktada birleştiğinde \( 3 \times 120^\circ = 360^\circ \) olur. Bu da düzlemde boşluksuz bir kaplama sağlar. ✅ ✅ Cevap: Bir fayansın bir köşesindeki iç açısının \( 120^\circ \) olması gerekir.

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı \( (n-2) \times 180^\circ \) formülü ile bulunur, burada \( n \) kenar sayısıdır.
Bu çokgenin 5 tane iç açısı olduğu için, kenar sayısı \( n = 5 \) olmalıdır. (Çünkü bir n-genin n tane iç açısı vardır.)
İç açılarının toplamını \( (n-2) \times 180^\circ \) formülü ile hesaplayalım:

• \( (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ \)

Şimdi verilen iç açıların toplamını \( x \) cinsinden yazalım:

• \( x + 2x + 3x + 4x + 5x = 15x \)

Bu iki toplam birbirine eşit olmalıdır:

• \( 15x = 540^\circ \)

\( x \) değerini bulmak için her iki tarafı 15'e bölelim:

• \( x = \frac{540^\circ}{15} \)
• \( x = 36^\circ \)

Bu çokgenin kenar sayısı, iç açı sayısına eşittir, yani 5'tir. ✅ Cevap: Bu çokgenin kenar sayısı 5'tir.

Bu soru, temel bir geometrik şeklin özelliklerini günlük bir nesneyle ilişkilendirir.
Bir karenin tüm iç açılarının ölçüsü \( 90^\circ \) derecedir.
Karenin kenar sayısı \( n = 4 \).
Karenin bir iç açısı formülünü kontrol edelim: \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \)

• \( \frac{(4-2) \times 180^\circ}{4} \)
• \( \frac{2 \times 180^\circ}{4} \)
• \( \frac{360^\circ}{4} \)
• \( 90^\circ \)

Bu formül, karenin bir iç açısının \( 90^\circ \) olduğunu doğrulamaktadır.
Dolayısıyla, kare 4 kenarlı bir düzgün çokgendir. ✅ Cevap: Bu kare 4 kenarlı bir düzgün çokgenin (kare) bir parçası olarak düşünülebilir.