🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Çokgenler Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Çokgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir çokgenin temel özelliklerini anlamak için aşağıdaki ifadeleri inceleyelim:
Bir şekil, sadece düz kenarlardan oluşuyorsa ve kapalı bir alan oluşturuyorsa bir çokgendir. Kenarlarının birbirini kesmemesi ve her köşenin iki kenarla birleşmesi gerekir.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? 🤔
Bir şekil, sadece düz kenarlardan oluşuyorsa ve kapalı bir alan oluşturuyorsa bir çokgendir. Kenarlarının birbirini kesmemesi ve her köşenin iki kenarla birleşmesi gerekir.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? 🤔
- Bir üçgenin 3 kenarı ve 3 köşesi vardır.
- Bir kare, aynı zamanda bir çokgendir.
- Bir daire bir çokgendir.
- Bir beşgenin 5 kenarı vardır.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için çokgenin tanımını hatırlamamız gerekiyor. 👇
1. ifade: "Bir üçgenin 3 kenarı ve 3 köşesi vardır." ✅ Bu ifade doğrudur. Üçgen, en az kenarı olan çokgendir.
2. ifade: "Bir kare, aynı zamanda bir çokgendir." ✅ Bu ifade doğrudur. Kare, dört düz kenardan oluşan kapalı bir şekildir, dolayısıyla bir çokgendir.
3. ifade: "Bir daire bir çokgendir." ❌ Bu ifade yanlıştır. Dairenin kenarları düz değil, eğridir. Çokgenlerin tanımına uymaz.
4. ifade: "Bir beşgenin 5 kenarı vardır." ✅ Bu ifade doğrudur. "Beşgen" kelimesi zaten beş kenarlı anlamına gelir.
Bu nedenle, yanlış olan ifade 3. seçenektir.
- Bir çokgen, düz doğru parçalarından oluşan kapalı bir şekildir.
- Çokgenlerin kenarları birbirini kesmez (sadece köşelerde birleşirler).
Bu nedenle, yanlış olan ifade 3. seçenektir.
Örnek 2:
Kenar sayısı 9 olan bir çokgenin iç açılarının toplamı kaç derecedir? 📐
(İpucu: Bir çokgenin iç açılarının toplamı, kenar sayısına bağlı bir formülle bulunur.)
(İpucu: Bir çokgenin iç açılarının toplamı, kenar sayısına bağlı bir formülle bulunur.)
Çözüm:
Bir çokgenin iç açılarının toplamını bulmak için kullanılan formül şudur: 👇
İç Açılar Toplamı \( = (n - 2) \times 180^\circ \)
Burada \( n \), çokgenin kenar sayısını temsil eder.
Soruda bize kenar sayısının 9 olduğu verilmiştir. Yani \( n = 9 \).
Şimdi formülü uygulayalım:
Sonuç olarak, 9 kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı \( 1260^\circ \)'dir. ✅
İç Açılar Toplamı \( = (n - 2) \times 180^\circ \)
Burada \( n \), çokgenin kenar sayısını temsil eder.
Soruda bize kenar sayısının 9 olduğu verilmiştir. Yani \( n = 9 \).
Şimdi formülü uygulayalım:
- Adım 1: Kenar sayısından 2 çıkaralım: \( 9 - 2 = 7 \)
- Adım 2: Bulduğumuz sonucu \( 180^\circ \) ile çarpalım: \( 7 \times 180^\circ \)
- Adım 3: Çarpma işlemini yapalım: \( 7 \times 180 = 1260 \)
Sonuç olarak, 9 kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı \( 1260^\circ \)'dir. ✅
Örnek 3:
Bir altıgenin iç açılarından beşi sırasıyla \( 110^\circ \), \( 120^\circ \), \( 130^\circ \), \( 140^\circ \) ve \( 95^\circ \) olarak verilmiştir. Bu altıgenin altıncı iç açısı kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için öncelikle bir altıgenin iç açılarının toplamını bulmamız gerekiyor. 👇
Buna göre, altıgenin altıncı iç açısı \( 125^\circ \)'dir. ✅
- Adım 1: Altıgenin iç açılarının toplamını bulalım.
Bir çokgenin iç açılarının toplamı \( (n - 2) \times 180^\circ \) formülüyle bulunur.
Altıgenin kenar sayısı \( n = 6 \) olduğundan:
İç Açılar Toplamı \( = (6 - 2) \times 180^\circ \)
İç Açılar Toplamı \( = 4 \times 180^\circ \)
İç Açılar Toplamı \( = 720^\circ \)
Demek ki, altıgenin tüm iç açılarının toplamı \( 720^\circ \) olmalıdır. - Adım 2: Verilen beş iç açıyı toplayalım.
Verilen açılar: \( 110^\circ, 120^\circ, 130^\circ, 140^\circ, 95^\circ \)
Toplam \( = 110 + 120 + 130 + 140 + 95 \)
Toplam \( = 595^\circ \) - Adım 3: Altıncı açıyı bulmak için toplamdan bilinen açıların toplamını çıkaralım.
Altıncı Açı \( = \text{Tüm İç Açılar Toplamı} - \text{Bilinen Beş Açının Toplamı} \)
Altıncı Açı \( = 720^\circ - 595^\circ \)
Altıncı Açı \( = 125^\circ \)
Buna göre, altıgenin altıncı iç açısı \( 125^\circ \)'dir. ✅
Örnek 4:
Bir düzgün sekizgenin bir dış açısının ölçüsü kaç derecedir? ☀️
(İpucu: Düzgün çokgenlerin dış açıları toplamı sabittir ve bu bilgi, bir dış açıyı bulmak için kullanılabilir.)
(İpucu: Düzgün çokgenlerin dış açıları toplamı sabittir ve bu bilgi, bir dış açıyı bulmak için kullanılabilir.)
Çözüm:
Düzgün çokgenlerde dış açılarla ilgili önemli bir kural vardır: 👇
Soruda bize düzgün bir sekizgen verildiği için, kenar sayısı \( n = 8 \)'dir.
Şimdi formülü uygulayalım:
Bir Dış Açı \( = \frac{360^\circ}{8} \)
Bir Dış Açı \( = 45^\circ \)
Buna göre, düzgün bir sekizgenin bir dış açısının ölçüsü \( 45^\circ \)'dir. ✅
- Adım 1: Tüm dışbükey çokgenlerin dış açılarının toplamı her zaman \( 360^\circ \)'dir. Bu kural, çokgenin kenar sayısından bağımsızdır.
- Adım 2: Düzgün bir çokgende tüm dış açılar birbirine eşittir. Bu nedenle, bir dış açının ölçüsünü bulmak için toplam dış açıyı kenar sayısına böleriz.
Bir Dış Açı \( = \frac{\text{Dış Açılar Toplamı}}{\text{Kenar Sayısı}} \)
Bir Dış Açı \( = \frac{360^\circ}{n} \)
Soruda bize düzgün bir sekizgen verildiği için, kenar sayısı \( n = 8 \)'dir.
Şimdi formülü uygulayalım:
Bir Dış Açı \( = \frac{360^\circ}{8} \)
Bir Dış Açı \( = 45^\circ \)
Buna göre, düzgün bir sekizgenin bir dış açısının ölçüsü \( 45^\circ \)'dir. ✅
Örnek 5:
Bir düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Bir düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsünü iki farklı yolla bulabiliriz: 👇
Yöntem 1: İç Açılar Toplamı Formülü ile
Yöntem 2: Dış Açı Formülü ile
Her iki yöntemle de düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü \( 108^\circ \) olarak bulunur. ✅
Yöntem 1: İç Açılar Toplamı Formülü ile
- Adım 1: Düzgün beşgenin kenar sayısı \( n = 5 \)'tir.
- Adım 2: İç açılarının toplamını bulalım:
İç Açılar Toplamı \( = (n - 2) \times 180^\circ \)
İç Açılar Toplamı \( = (5 - 2) \times 180^\circ \)
İç Açılar Toplamı \( = 3 \times 180^\circ \)
İç Açılar Toplamı \( = 540^\circ \) - Adım 3: Düzgün bir çokgende tüm iç açılar birbirine eşit olduğu için, toplamı kenar sayısına böleriz:
Bir İç Açı \( = \frac{540^\circ}{5} \)
Bir İç Açı \( = 108^\circ \)
Yöntem 2: Dış Açı Formülü ile
- Adım 1: Önce bir dış açısının ölçüsünü bulalım:
Bir Dış Açı \( = \frac{360^\circ}{n} \)
Bir Dış Açı \( = \frac{360^\circ}{5} \)
Bir Dış Açı \( = 72^\circ \) - Adım 2: Bir iç açı ile bir dış açının toplamı \( 180^\circ \) olduğu için:
Bir İç Açı \( = 180^\circ - \text{Bir Dış Açı} \)
Bir İç Açı \( = 180^\circ - 72^\circ \)
Bir İç Açı \( = 108^\circ \)
Her iki yöntemle de düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü \( 108^\circ \) olarak bulunur. ✅
Örnek 6:
Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 5 katına eşittir. Bu düzgün çokgen kaç kenarlıdır? 🧐
Çözüm:
Bu tür yeni nesil sorularda, verilen bilgileri matematiksel denklemlere dönüştürmek önemlidir. 👇
Bu düzgün çokgen 12 kenarlıdır. ✅
- Adım 1: Bilinenleri ve bilinmeyenleri tanımlayalım.
Düzgün çokgenin kenar sayısına \( n \) diyelim.
Bir dış açısının ölçüsü \( D \) olsun.
Bir iç açısının ölçüsü \( I \) olsun. - Adım 2: Verilen ilişkiyi denkleme dökelim.
"Bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 5 katına eşittir" ifadesi:
\( I = 5 \times D \) - Adım 3: İç açı ve dış açı arasındaki temel ilişkiyi hatırlayalım.
Bir iç açı ile bir dış açının toplamı her zaman \( 180^\circ \)'dir:
\( I + D = 180^\circ \) - Adım 4: Denklemleri birleştirelim ve dış açıyı bulalım.
İlk denklemdeki \( I = 5D \) ifadesini ikinci denkleme yerine yazalım:
\( 5D + D = 180^\circ \)
\( 6D = 180^\circ \)
Her iki tarafı 6'ya bölelim:
\( D = \frac{180^\circ}{6} \)
\( D = 30^\circ \)
Demek ki, bu düzgün çokgenin bir dış açısı \( 30^\circ \)'dir. - Adım 5: Kenar sayısını bulalım.
Bir düzgün çokgenin dış açısı \( \frac{360^\circ}{n} \) formülüyle bulunur.
\( D = \frac{360^\circ}{n} \)
\( 30^\circ = \frac{360^\circ}{n} \)
\( n = \frac{360^\circ}{30^\circ} \)
\( n = 12 \)
Bu düzgün çokgen 12 kenarlıdır. ✅
Örnek 7:
Arıların peteklerini altıgen şeklinde yapmasının ve bazı kaldırım taşlarının da altıgen şeklinde olmasının matematiksel bir nedeni var mıdır? Varsa açıklayınız. 🐝 pavement
Çözüm:
Evet, arıların peteklerini altıgen şeklinde yapmasının ve kaldırım taşlarında altıgen kullanılmasının çok önemli matematiksel ve pratik nedenleri vardır! 💡
Kısacası, altıgen şekli doğada ve mühendislikte verimlilik, dayanıklılık ve boşluksuz kaplama gibi avantajlar sunduğu için tercih edilir. Bu, matematiğin günlük hayattaki mükemmel uygulamalarından biridir! 🌐
- Minimum Malzeme, Maksimum Alan:
Altıgen şekiller, belirli bir alanı kaplamak için en az çevre uzunluğuna sahip olan düzgün çokgenlerdir. Bu, arıların aynı miktarda bal depolamak için en az miktarda balmumu kullanması anlamına gelir. Yani, en az malzeme ile en fazla depolama alanı sağlarlar. Kaldırım taşları için de benzer bir durum geçerlidir; daha az malzeme ile daha geniş bir yüzey kaplanabilir. - Boşluksuz Döşeme (Tessellation):
Düzgün altıgenler, birbirine bitişik olarak yerleştirildiğinde aralarında hiç boşluk kalmadan bir yüzeyi tamamen kaplayabilirler. Bu özelliğe "tessellation" veya "döşeme" denir.
- Üçgenler ve kareler de bir yüzeyi boşluksuz kaplayabilir.
- Ancak beşgenler veya yedigenler gibi diğer düzgün çokgenler bir yüzeyi boşluksuz kaplayamaz, aralarında boşluklar kalır.
- Dayanıklılık ve Stabilite:
Altıgen yapı, baskıyı ve ağırlığı çevreleyen hücrelere eşit olarak dağıtabilir. Bu, yapıya yüksek dayanıklılık ve stabilite kazandırır. Arı petekleri çok hafif olmasına rağmen şaşırtıcı derecede güçlüdür. Kaldırım taşlarında da bu dayanıklılık, taşların zamanla yerinden oynamasını veya kırılmasını engellemeye yardımcı olur.
Kısacası, altıgen şekli doğada ve mühendislikte verimlilik, dayanıklılık ve boşluksuz kaplama gibi avantajlar sunduğu için tercih edilir. Bu, matematiğin günlük hayattaki mükemmel uygulamalarından biridir! 🌐
Örnek 8:
Bir düzgün çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı 7'dir. Bu çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır? 📏
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözerek hem kenar sayısını bulacak hem de toplam köşegen sayısını hesaplayacağız. 👇
Bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 35'tir. ✅
- Adım 1: Çokgenin kenar sayısını bulalım.
Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı \( n - 3 \) formülüyle bulunur.
Soruda bu sayının 7 olduğu verilmiş:
\( n - 3 = 7 \)
Her iki tarafa 3 ekleyerek \( n \)'yi bulalım:
\( n = 7 + 3 \)
\( n = 10 \)
Demek ki, bu çokgen 10 kenarlı bir düzgün çokgendir (düzgün ongen). - Adım 2: Çokgenin toplam köşegen sayısını bulalım.
Bir çokgenin toplam köşegen sayısı \( \frac{n \times (n - 3)}{2} \) formülüyle bulunur.
Bulduğumuz \( n = 10 \) değerini formülde yerine yazalım:
Toplam Köşegen Sayısı \( = \frac{10 \times (10 - 3)}{2} \)
Toplam Köşegen Sayısı \( = \frac{10 \times 7}{2} \)
Toplam Köşegen Sayısı \( = \frac{70}{2} \)
Toplam Köşegen Sayısı \( = 35 \)
Bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 35'tir. ✅
Örnek 9:
Şekilde bir düzgün beşgen ve bu beşgenin bir kenarı üzerine inşa edilmiş bir eşkenar üçgen bulunmaktadır. Bu iki şeklin ortak kenarı üzerinde oluşturdukları bir açının ölçüsü kaç derecedir? (Şekli hayal ediniz: Düzgün beşgenin bir kenarı ile eşkenar üçgenin bir kenarı çakışıktır.) 🖼️
Çözüm:
Bu problemde, düzgün beşgenin ve eşkenar üçgenin iç açı özelliklerini kullanacağız. 👇
Düzgün beşgen ile eşkenar üçgenin ortak kenarı üzerinde oluşturdukları açı \( 48^\circ \)'dir. ✅
- Adım 1: Eşkenar üçgenin iç açısını bulalım.
Eşkenar üçgenin tüm kenarları ve tüm iç açıları birbirine eşittir.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
Eşkenar Üçgenin Bir İç Açısı \( = \frac{180^\circ}{3} \)
Eşkenar Üçgenin Bir İç Açısı \( = 60^\circ \) - Adım 2: Düzgün beşgenin bir iç açısını bulalım.
Düzgün beşgenin kenar sayısı \( n = 5 \)'tir.
Bir iç açısının ölçüsü \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \) formülüyle bulunur:
Düzgün Beşgenin Bir İç Açısı \( = \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} \)
Düzgün Beşgenin Bir İç Açısı \( = \frac{3 \times 180^\circ}{5} \)
Düzgün Beşgenin Bir İç Açısı \( = \frac{540^\circ}{5} \)
Düzgün Beşgenin Bir İç Açısı \( = 108^\circ \) - Adım 3: İki şeklin ortak kenarı üzerinde oluşan açıyı bulalım.
Düzgün beşgenin bir kenarı ile eşkenar üçgenin bir kenarı çakışık olduğunda, bu ortak kenarın bir ucundaki köşe hem beşgenin hem de üçgenin bir köşesi olur. Bu köşedeki büyük açı, beşgenin iç açısı ile üçgenin iç açısının toplamından oluşur.
Ancak soruda "ortak kenarı üzerinde oluşturdukları bir açı" ifadesi, bu iki şeklin birleştiği noktadaki açıyı kastetmektedir. Şekli görselleştirdiğimizde, beşgenin bir iç açısı ile üçgenin bir iç açısı yan yana gelmez, tam tersine, beşgenin bir iç açısının bir kısmı üçgenin iç açısıyla örtüşür.
Daha doğru yorum: Beşgenin bir köşesi ile üçgenin bir köşesi aynıdır ve bu köşeden çıkan kenarların oluşturduğu büyük açı sorulmaktadır.
Beşgenin iç açısı \( 108^\circ \).
Üçgenin iç açısı \( 60^\circ \).
Bu iki açı, bir düz çizgi üzerinde veya bir tam açı oluşturacak şekilde birleşmez. Bu iki şekil, bir kenarı ortak olacak şekilde birleştirildiğinde, beşgenin iç açısının olduğu köşede, üçgenin iç açısının olduğu köşede, bu iki açının birleşimi sorulur.
Sorunun kastettiği, beşgenin bir kenarı ile üçgenin bir kenarının çakışması sonucu oluşan ve bu ortak kenarın dışındaki bir noktada meydana gelen açıdır. Bu durumda, beşgenin bir iç açısının olduğu köşede, üçgenin iç açısının olduğu köşede oluşan açı, beşgenin iç açısından üçgenin iç açısının çıkarılmasıyla bulunur.
İstenen Açı \( = \text{Düzgün Beşgenin İç Açısı} - \text{Eşkenar Üçgenin İç Açısı} \)
İstenen Açı \( = 108^\circ - 60^\circ \)
İstenen Açı \( = 48^\circ \)
Düzgün beşgen ile eşkenar üçgenin ortak kenarı üzerinde oluşturdukları açı \( 48^\circ \)'dir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-cokgenler/sorular