🎓 6. Sınıf
📚 6. Sınıf Matematik
💡 6. Sınıf Matematik: Üçgenin yüksekliği Çözümlü Örnekler
6. Sınıf Matematik: Üçgenin yüksekliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden BC kenarına indirilen dikmenin, BC kenarını kestiği noktaya H dersek, AH doğru parçası bu üçgenin hangi yüksekliğidir? 💡
Çözüm:
- Bir üçgende bir kenara ait yüksekliği bulmak için, o kenarın bulunduğu doğruya, karşısındaki köşeden dikme indiririz.
- Bu dikme parçasının, kenarın bulunduğu doğruyu kestiği nokta ile karşısındaki köşe arasındaki doğru parçası, o kenara ait yüksekliktir.
- Soruda A köşesinden BC kenarına indirilen dikme AH olarak verilmiş.
- Bu durumda AH doğru parçası, BC kenarına ait yüksekliktir.
Örnek 2:
Eşkenar üçgenin tüm kenarlarına ait yükseklikleri arasındaki ilişki nedir? 🤔
Çözüm:
- Eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları eşit olan bir üçgendir.
- Aynı zamanda tüm iç açıları da eşittir ve her biri \( 60^\circ \) olur.
- Bir üçgenin kenarlarına ait yükseklikler, o kenarların uzunluklarıyla ters orantılıdır.
- Eşkenar üçgende tüm kenarlar eşit olduğundan, bu kenarlara ait yükseklikler de birbirine eşit olur.
Örnek 3:
Kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bir dik üçgenin, en kısa kenarına ait yüksekliği kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
- Dik üçgenlerde, dik açının olduğu köşeden karşı kenara indirilen dikme, o kenara ait yüksekliktir.
- Ayrıca, dik üçgenlerde dik kenarlar birbirlerinin yükseklikleridir.
- Bu üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm'dir.
- 5 cm ve 12 cm dik kenarlardır. 13 cm ise hipotenüstür.
- En kısa kenar 5 cm'dir.
- 5 cm'lik kenara ait yükseklik, dik açının diğer dik kenarı olan 12 cm'dir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 8 \) cm, \( BC = 10 \) cm ve \( AC = 12 \) cm'dir. Bu üçgenin BC kenarına ait yüksekliği \( h_{BC} \) ve AC kenarına ait yüksekliği \( h_{AC} \) arasındaki ilişkiyi karşılaştırınız. ⚖️
Çözüm:
- Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarlara ait yükseklikler ters orantılıdır.
- Yani, kenar uzunluğu büyük olan kenara ait yükseklik daha kısa, kenar uzunluğu küçük olan kenara ait yükseklik ise daha uzundur.
- Bu üçgende \( BC = 10 \) cm ve \( AC = 12 \) cm'dir.
- \( BC \) kenarı \( AC \) kenarından daha kısadır.
- Bu durum, \( BC \) kenarına ait yüksekliğin (\( h_{BC} \)), \( AC \) kenarına ait yükseklikten (\( h_{AC} \)) daha uzun olacağı anlamına gelir.
Örnek 5:
Bir bahçıvan, bahçesindeki üçgen şeklindeki bir çiçeğin etrafına çit çekmek istiyor. Çiçeğin kenar uzunlukları 6 metre, 8 metre ve 10 metredir. Bahçıvan, en kısa kenara dik olarak yerleştireceği destek çubuğunun uzunluğunu merak ediyor. Bu destek çubuğunun uzunluğu kaç metre olmalıdır? 🌳
Çözüm:
- Soruda verilen üçgenin kenar uzunlukları 6 m, 8 m ve 10 m'dir.
- Bu kenar uzunlukları arasında \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) ve \( 10^2 = 100 \) eşitliği sağlanmaktadır.
- Bu, üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösterir (\( 6^2 + 8^2 = 10^2 \)).
- Dik üçgende dik kenarlar birbirlerinin yükseklikleridir.
- En kısa kenar 6 metredir.
- Dik üçgende en kısa kenara ait yükseklik, dik açının diğer dik kenarı olan 8 metredir.
Örnek 6:
Bir binanın çatısının eğimini ölçmek isteyen bir mühendis, binanın duvarından çatının tepe noktasına kadar olan mesafeyi ölçmek istiyor. Eğer binanın duvarı 15 metre ve bu mesafenin yatayla yaptığı açı \( 30^\circ \) ise, mühendisin ölçmek istediği mesafe (çatıya ait yükseklik) kaç metredir? (Bu soruda trigonometri bilgisi gerektiren ancak 6. sınıf seviyesinde temel mantıkla yaklaşılabilecek bir örnektir.) 🏗️
Çözüm:
- Bu soru, 6. sınıf müfredatında doğrudan trigonometri formülleriyle çözülmese de, yükseklik kavramının günlük hayattaki karşılığını göstermektedir.
- Burada binanın duvarı, üçgenin bir kenarı (veya tabanı) olarak düşünülebilir.
- Çatının tepe noktasına kadar olan mesafe ise, bu kenara ait yükseklik olarak düşünülebilir.
- Eğer çatıya ait yükseklik \( h \) ve taban \( b = 15 \) metre ise, \( 30^\circ \) açı ile ilgili temel geometrik bilgilerle bu yükseklik tahmin edilebilir veya daha üst sınıflarda formülle bulunur.
- Basit bir yaklaşımla, \( 30^\circ \) açılı bir dik üçgende, \( 30^\circ \) açısının karşısındaki kenar (yükseklik), hipotenüsün yarısıdır. Ancak burada hipotenüsü bilmiyoruz.
- Ancak, bu tür bir ölçümün, bir binanın yüksekliğini veya çatının eğimini belirlemek için yapıldığını anlamak önemlidir.
Örnek 7:
Alanı \( 48 \) cm\( ^2 \) olan bir ABC üçgeninin BC kenarı \( 12 \) cm'dir. Bu üçgenin BC kenarına ait yüksekliği kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
- Bir üçgenin alan formülü şu şekildedir: Alan = \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)
- Soruda alan \( 48 \) cm\( ^2 \) ve taban (BC kenarı) \( 12 \) cm olarak verilmiş.
- Yüksekliği (\( h_{BC} \)) bulmak için formülü yeniden düzenleyebiliriz: \( h_{BC} = \frac{2 \times \text{Alan}}{\text{taban}} \)
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( h_{BC} = \frac{2 \times 48 \text{ cm}^2}{12 \text{ cm}} \)
- Hesaplamayı yapalım: \( h_{BC} = \frac{96 \text{ cm}^2}{12 \text{ cm}} \)
- \( h_{BC} = 8 \) cm
Örnek 8:
İkizkenar bir üçgenin tepe açısı \( 40^\circ \) ise, taban açıları kaçar derecedir? Bu üçgenin tabanına ait yüksekliği, diğer iki kenara ait yüksekliklerle karşılaştırınız. 📏
Çözüm:
- İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, taban açılarını bulmak için:
- \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
- Bu \( 140^\circ \) iki eşit taban açısına bölünecektir: \( \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \)
- Yani, taban açıları \( 70^\circ \) olur.
- İkizkenar üçgende taban kenarı, diğer iki eş kenardan daha uzundur.
- Kenar uzunlukları ile yükseklikler ters orantılı olduğundan, en uzun kenar olan tabana ait yükseklik en kısa olacaktır.
- Diğer iki eş kenara ait yükseklikler ise birbirine eşit ve tabana ait yükseklikten daha uzun olacaktır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/6-sinif-matematik-ucgenin-yuksekligi/sorular