💡 6. Sınıf Matematik: Sayıların Çarpanları Çözümlü Örnekler

Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölen doğal sayılardır. 💡 24 sayısının çarpanlarını bulmak için, hangi iki sayının çarpımının 24 ettiğini düşünmeliyiz:

• \( 1 \times 24 = 24 \) ✅
• \( 2 \times 12 = 24 \) ✅
• \( 3 \times 8 = 24 \) ✅
• \( 4 \times 6 = 24 \) ✅
• 5 ile çarpıldığında 24 etmez.
• 6 ile çarpıldığında 4 eder (zaten bulmuştuk).

Bu durumda, 24 sayısının doğal sayı çarpanları şunlardır:

📌 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

60 sayısının çarpanlarını bulmak için yine çarpım şeklinde yazmaya çalışalım:

• \( 1 \times 60 = 60 \) ✅
• \( 2 \times 30 = 60 \) ✅
• \( 3 \times 20 = 60 \) ✅
• \( 4 \times 15 = 60 \) ✅
• \( 5 \times 12 = 60 \) ✅
• \( 6 \times 10 = 60 \) ✅
• 7, 8, 9 ile çarpıldığında 60 etmez.
• 10 ile çarpıldığında 6 eder (zaten bulmuştuk).

60 sayısının doğal sayı çarpanları şunlardır:

📌 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Toplamda 12 tane doğal sayı çarpanı vardır. 👍

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için genellikle çarpan ağacı veya bölme algoritması yöntemini kullanırız. Biz bölme algoritması yöntemini kullanalım:

• 72'yi en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim:
  \( 72 \div 2 = 36 \) ✅
• 36'yı tekrar 2'ye bölelim:
  \( 36 \div 2 = 18 \) ✅
• 18'i tekrar 2'ye bölelim:
  \( 18 \div 2 = 9 \) ✅
• 9'u 2'ye bölemeyiz, sonraki asal sayı olan 3'e bölelim:
  \( 9 \div 3 = 3 \) ✅
• 3'ü tekrar 3'e bölelim:
  \( 3 \div 3 = 1 \) ✅

İşlem 1'e ulaştığında tamamlanır. Bölme işleminde kullandığımız asal sayılar, 72'nin asal çarpanlarıdır.

📌 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
(72'yi asal çarpanlarının çarpımı şeklinde \( 2^3 \times 3^2 \) olarak yazabiliriz. Burada üslü ifade sadece gösterim içindir, asal çarpanlar 2 ve 3'tür.)

Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen (yani 1 ve kendisi olmak üzere sadece iki doğal sayı çarpanı olan) 1'den büyük doğal sayılardır. Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) 15: 1, 3, 5 ve 15'e bölünebilir. Asal değildir. ❌
• B) 21: 1, 3, 7 ve 21'e bölünebilir. Asal değildir. ❌
• C) 29: Sadece 1 ve 29'a bölünebilir. Asal bir sayıdır. ✅
• D) 33: 1, 3, 11 ve 33'e bölünebilir. Asal değildir. ❌

Bu durumda doğru cevap C) 29'dur. 💡

Bu soru, 40 sayısının çarpanlarını bulmamızı istiyor, çünkü her sıradaki öğrenci sayısı 40'ın bir çarpanı olmalıdır. Ayrıca, her sırada en az 2 öğrenci olacağı belirtilmiş.

40 sayısının çarpanlarını bulalım:

• \( 1 \times 40 = 40 \)
• \( 2 \times 20 = 40 \)
• \( 4 \times 10 = 40 \)
• \( 5 \times 8 = 40 \)

40'ın tüm çarpanları: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40'tır.

Şimdi "her sırada en az 2 öğrenci olmalıdır" kuralını uygulayalım:

• Eğer her sırada 1 öğrenci olursa, 40 sıra olur. (Bu kurala uymaz) ❌
• Eğer her sırada 2 öğrenci olursa, 20 sıra olur. ✅
• Eğer her sırada 4 öğrenci olursa, 10 sıra olur. ✅
• Eğer her sırada 5 öğrenci olursa, 8 sıra olur. ✅
• Eğer her sırada 8 öğrenci olursa, 5 sıra olur. ✅
• Eğer her sırada 10 öğrenci olursa, 4 sıra olur. ✅
• Eğer her sırada 20 öğrenci olursa, 2 sıra olur. ✅
• Eğer her sırada 40 öğrenci olursa, 1 sıra olur. ✅

Buna göre, öğrenciler 7 farklı şekilde sıralanabilirler. 👍

Ayşe'nin tuttuğu sayının 5'in bir katı olması gerektiğini anlıyoruz, çünkü 5 çarpanlarından biriymiş. Ayrıca sayının 6 tane doğal sayı çarpanı var. 6. sınıf seviyesinde bu tür soruları deneme yanılma yoluyla çözebiliriz.

5'in katlarını deneyelim ve çarpan sayılarını kontrol edelim:

• Sayı = 5: Çarpanları (1, 5). Toplam 2 çarpan. (6 değil) ❌
• Sayı = 10: Çarpanları (1, 2, 5, 10). Toplam 4 çarpan. (6 değil) ❌
• Sayı = 15: Çarpanları (1, 3, 5, 15). Toplam 4 çarpan. (6 değil) ❌
• Sayı = 20: Çarpanları (1, 2, 4, 5, 10, 20). Toplam 6 çarpan. ✅

20 sayısının çarpanları 1, 2, 4, 5, 10, 20'dir ve 6 tanedir. Ayrıca 5 de çarpanlarından biridir.

O zaman Ayşe'nin tuttuğu sayı 20 olabilir. Bu, koşulları sağlayan en küçük sayıdır. 👍

Bu problemde 45 sayısının çarpanlarını bulmalıyız, çünkü her kutudaki kurabiye sayısı 45'in bir çarpanı olmalıdır. "Kutulara 1 kurabiye koymak istemiyorsa" ifadesi, 1 çarpanını dışarıda bırakmamız gerektiğini gösterir.

45 sayısının çarpanlarını bulalım:

• \( 1 \times 45 = 45 \)
• \( 3 \times 15 = 45 \)
• \( 5 \times 9 = 45 \)

45'in tüm çarpanları: 1, 3, 5, 9, 15, 45'tir.

Şimdi "kutulara 1 kurabiye koymak istemiyorsa" kuralını uygulayalım:

• Her kutuya 1 kurabiye (bu durumu istemiyoruz) ❌
• Her kutuya 3 kurabiye konulursa, 15 kutu olur. ✅
• Her kutuya 5 kurabiye konulursa, 9 kutu olur. ✅
• Her kutuya 9 kurabiye konulursa, 5 kutu olur. ✅
• Her kutuya 15 kurabiye konulursa, 3 kutu olur. ✅
• Her kutuya 45 kurabiye konulursa, 1 kutu olur. ✅

Fırıncı kurabiyeleri 5 farklı şekilde paketleyebilir. 👏

Dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Alan 30 metrekare ise, kenar uzunlukları 30'un çarpanları olmalıdır.

30 sayısının doğal sayı çarpanlarını (yani olası kenar uzunluklarını) bulalım:

• \( 1 \times 30 = 30 \) (Kenarlar: 1 m ve 30 m)
• \( 2 \times 15 = 30 \) (Kenarlar: 2 m ve 15 m)
• \( 3 \times 10 = 30 \) (Kenarlar: 3 m ve 10 m)
• \( 5 \times 6 = 30 \) (Kenarlar: 5 m ve 6 m)

Bir dikdörtgenin çevresi \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \) formülü ile bulunur. Çevrenin en az olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir.

• Kenarlar 1 m ve 30 m ise: Çevre \( = 2 \times (1 + 30) = 2 \times 31 = 62 \) m
• Kenarlar 2 m ve 15 m ise: Çevre \( = 2 \times (2 + 15) = 2 \times 17 = 34 \) m
• Kenarlar 3 m ve 10 m ise: Çevre \( = 2 \times (3 + 10) = 2 \times 13 = 26 \) m
• Kenarlar 5 m ve 6 m ise: Çevre \( = 2 \times (5 + 6) = 2 \times 11 = 22 \) m

Bu durumda, bahçenin çevresi en az 22 metre olabilir. 🌿