💡 6. Sınıf Matematik: Sayıların Çarpanları Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
👉 24 sayısının tüm doğal sayı çarpanlarını bulunuz. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölen doğal sayılardır. 💡 24 sayısının çarpanlarını bulmak için, hangi iki sayının çarpımının 24 ettiğini düşünmeliyiz:
\( 1 \times 24 = 24 \) ✅
\( 2 \times 12 = 24 \) ✅
\( 3 \times 8 = 24 \) ✅
\( 4 \times 6 = 24 \) ✅
5 ile çarpıldığında 24 etmez.
6 ile çarpıldığında 4 eder (zaten bulmuştuk).
Bu durumda, 24 sayısının doğal sayı çarpanları şunlardır:
📌 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
📚 60 sayısının kaç tane doğal sayı çarpanı vardır? Bu çarpanları listeleyiniz. 🧐
Çözüm ve Açıklama
60 sayısının çarpanlarını bulmak için yine çarpım şeklinde yazmaya çalışalım:
\( 1 \times 60 = 60 \) ✅
\( 2 \times 30 = 60 \) ✅
\( 3 \times 20 = 60 \) ✅
\( 4 \times 15 = 60 \) ✅
\( 5 \times 12 = 60 \) ✅
\( 6 \times 10 = 60 \) ✅
7, 8, 9 ile çarpıldığında 60 etmez.
10 ile çarpıldığında 6 eder (zaten bulmuştuk).
60 sayısının doğal sayı çarpanları şunlardır:
📌 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Toplamda 12 tane doğal sayı çarpanı vardır. 👍
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
🔬 72 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için genellikle çarpan ağacı veya bölme algoritması yöntemini kullanırız. Biz bölme algoritması yöntemini kullanalım:
72'yi en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: \( 72 \div 2 = 36 \) ✅
36'yı tekrar 2'ye bölelim: \( 36 \div 2 = 18 \) ✅
18'i tekrar 2'ye bölelim: \( 18 \div 2 = 9 \) ✅
9'u 2'ye bölemeyiz, sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 9 \div 3 = 3 \) ✅
3'ü tekrar 3'e bölelim: \( 3 \div 3 = 1 \) ✅
İşlem 1'e ulaştığında tamamlanır. Bölme işleminde kullandığımız asal sayılar, 72'nin asal çarpanlarıdır.
📌 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. (72'yi asal çarpanlarının çarpımı şeklinde \( 2^3 \times 3^2 \) olarak yazabiliriz. Burada üslü ifade sadece gösterim içindir, asal çarpanlar 2 ve 3'tür.)
4
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır? A) 15 B) 21 C) 29 D) 33
Çözüm ve Açıklama
Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen (yani 1 ve kendisi olmak üzere sadece iki doğal sayı çarpanı olan) 1'den büyük doğal sayılardır. Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) 15: 1, 3, 5 ve 15'e bölünebilir. Asal değildir. ❌
B) 21: 1, 3, 7 ve 21'e bölünebilir. Asal değildir. ❌
C) 29: Sadece 1 ve 29'a bölünebilir. Asal bir sayıdır. ✅
D) 33: 1, 3, 11 ve 33'e bölünebilir. Asal değildir. ❌
Bu durumda doğru cevap C) 29'dur. 💡
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir okulda 40 öğrenci vardır. Bu öğrenciler, her sırada eşit sayıda öğrenci olacak şekilde sıralanacaktır. Sınıfın düzeni için kaç farklı şekilde sıra oluşturulabilir? (Her sırada en az 2 öğrenci olmalıdır.) 🧑🎓📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, 40 sayısının çarpanlarını bulmamızı istiyor, çünkü her sıradaki öğrenci sayısı 40'ın bir çarpanı olmalıdır. Ayrıca, her sırada en az 2 öğrenci olacağı belirtilmiş.
Şimdi "her sırada en az 2 öğrenci olmalıdır" kuralını uygulayalım:
Eğer her sırada 1 öğrenci olursa, 40 sıra olur. (Bu kurala uymaz) ❌
Eğer her sırada 2 öğrenci olursa, 20 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 4 öğrenci olursa, 10 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 5 öğrenci olursa, 8 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 8 öğrenci olursa, 5 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 10 öğrenci olursa, 4 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 20 öğrenci olursa, 2 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 40 öğrenci olursa, 1 sıra olur. ✅
Buna göre, öğrenciler 7 farklı şekilde sıralanabilirler. 👍
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Ayşe, bir sayı tutuyor. Bu sayının 6 tane doğal sayı çarpanı olduğunu biliyor. Eğer tuttuğu sayının çarpanlarından biri 5 ise, Ayşe'nin tuttuğu sayı kaç olabilir? (En küçük değeri bulunuz.) 🧩
Çözüm ve Açıklama
Ayşe'nin tuttuğu sayının 5'in bir katı olması gerektiğini anlıyoruz, çünkü 5 çarpanlarından biriymiş. Ayrıca sayının 6 tane doğal sayı çarpanı var. 6. sınıf seviyesinde bu tür soruları deneme yanılma yoluyla çözebiliriz.
5'in katlarını deneyelim ve çarpan sayılarını kontrol edelim:
Sayı = 5: Çarpanları (1, 5). Toplam 2 çarpan. (6 değil) ❌
Sayı = 10: Çarpanları (1, 2, 5, 10). Toplam 4 çarpan. (6 değil) ❌
Sayı = 15: Çarpanları (1, 3, 5, 15). Toplam 4 çarpan. (6 değil) ❌
Sayı = 20: Çarpanları (1, 2, 4, 5, 10, 20). Toplam 6 çarpan. ✅
20 sayısının çarpanları 1, 2, 4, 5, 10, 20'dir ve 6 tanedir. Ayrıca 5 de çarpanlarından biridir.
O zaman Ayşe'nin tuttuğu sayı 20 olabilir. Bu, koşulları sağlayan en küçük sayıdır. 👍
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir fırıncı, yeni pişirdiği 45 tane kurabiyeyi, her kutuya eşit sayıda olacak şekilde paketlemek istiyor. Eğer kutulara 1 kurabiye koymak istemiyorsa, fırıncı kurabiyeleri kutulara kaç farklı şekilde yerleştirebilir? 🍪📦
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde 45 sayısının çarpanlarını bulmalıyız, çünkü her kutudaki kurabiye sayısı 45'in bir çarpanı olmalıdır. "Kutulara 1 kurabiye koymak istemiyorsa" ifadesi, 1 çarpanını dışarıda bırakmamız gerektiğini gösterir.
45 sayısının çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 45 = 45 \)
\( 3 \times 15 = 45 \)
\( 5 \times 9 = 45 \)
45'in tüm çarpanları: 1, 3, 5, 9, 15, 45'tir.
Şimdi "kutulara 1 kurabiye koymak istemiyorsa" kuralını uygulayalım:
Her kutuya 1 kurabiye (bu durumu istemiyoruz) ❌
Her kutuya 3 kurabiye konulursa, 15 kutu olur. ✅
Her kutuya 5 kurabiye konulursa, 9 kutu olur. ✅
Her kutuya 9 kurabiye konulursa, 5 kutu olur. ✅
Her kutuya 15 kurabiye konulursa, 3 kutu olur. ✅
Her kutuya 45 kurabiye konulursa, 1 kutu olur. ✅
Fırıncı kurabiyeleri 5 farklı şekilde paketleyebilir. 👏
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Elif'in dikdörtgen şeklindeki bahçesinin alanı 30 metrekaredir. Bahçenin kenar uzunlukları metre cinsinden birer doğal sayı olduğuna göre, bu bahçenin çevresi en az kaç metre olabilir? 🌳📏
Çözüm ve Açıklama
Dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Alan 30 metrekare ise, kenar uzunlukları 30'un çarpanları olmalıdır.
30 sayısının doğal sayı çarpanlarını (yani olası kenar uzunluklarını) bulalım:
\( 1 \times 30 = 30 \) (Kenarlar: 1 m ve 30 m)
\( 2 \times 15 = 30 \) (Kenarlar: 2 m ve 15 m)
\( 3 \times 10 = 30 \) (Kenarlar: 3 m ve 10 m)
\( 5 \times 6 = 30 \) (Kenarlar: 5 m ve 6 m)
Bir dikdörtgenin çevresi \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \) formülü ile bulunur. Çevrenin en az olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir.
Kenarlar 1 m ve 30 m ise: Çevre \( = 2 \times (1 + 30) = 2 \times 31 = 62 \) m
Kenarlar 2 m ve 15 m ise: Çevre \( = 2 \times (2 + 15) = 2 \times 17 = 34 \) m
Kenarlar 3 m ve 10 m ise: Çevre \( = 2 \times (3 + 10) = 2 \times 13 = 26 \) m
Kenarlar 5 m ve 6 m ise: Çevre \( = 2 \times (5 + 6) = 2 \times 11 = 22 \) m
Bu durumda, bahçenin çevresi en az 22 metre olabilir. 🌿
6. Sınıf Matematik: Sayıların Çarpanları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
👉 24 sayısının tüm doğal sayı çarpanlarını bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölen doğal sayılardır. 💡 24 sayısının çarpanlarını bulmak için, hangi iki sayının çarpımının 24 ettiğini düşünmeliyiz:
\( 1 \times 24 = 24 \) ✅
\( 2 \times 12 = 24 \) ✅
\( 3 \times 8 = 24 \) ✅
\( 4 \times 6 = 24 \) ✅
5 ile çarpıldığında 24 etmez.
6 ile çarpıldığında 4 eder (zaten bulmuştuk).
Bu durumda, 24 sayısının doğal sayı çarpanları şunlardır:
📌 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Örnek 2:
📚 60 sayısının kaç tane doğal sayı çarpanı vardır? Bu çarpanları listeleyiniz. 🧐
Çözüm:
60 sayısının çarpanlarını bulmak için yine çarpım şeklinde yazmaya çalışalım:
\( 1 \times 60 = 60 \) ✅
\( 2 \times 30 = 60 \) ✅
\( 3 \times 20 = 60 \) ✅
\( 4 \times 15 = 60 \) ✅
\( 5 \times 12 = 60 \) ✅
\( 6 \times 10 = 60 \) ✅
7, 8, 9 ile çarpıldığında 60 etmez.
10 ile çarpıldığında 6 eder (zaten bulmuştuk).
60 sayısının doğal sayı çarpanları şunlardır:
📌 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Toplamda 12 tane doğal sayı çarpanı vardır. 👍
Örnek 3:
🔬 72 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için genellikle çarpan ağacı veya bölme algoritması yöntemini kullanırız. Biz bölme algoritması yöntemini kullanalım:
72'yi en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: \( 72 \div 2 = 36 \) ✅
36'yı tekrar 2'ye bölelim: \( 36 \div 2 = 18 \) ✅
18'i tekrar 2'ye bölelim: \( 18 \div 2 = 9 \) ✅
9'u 2'ye bölemeyiz, sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 9 \div 3 = 3 \) ✅
3'ü tekrar 3'e bölelim: \( 3 \div 3 = 1 \) ✅
İşlem 1'e ulaştığında tamamlanır. Bölme işleminde kullandığımız asal sayılar, 72'nin asal çarpanlarıdır.
📌 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. (72'yi asal çarpanlarının çarpımı şeklinde \( 2^3 \times 3^2 \) olarak yazabiliriz. Burada üslü ifade sadece gösterim içindir, asal çarpanlar 2 ve 3'tür.)
Örnek 4:
Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır? A) 15 B) 21 C) 29 D) 33
Çözüm:
Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen (yani 1 ve kendisi olmak üzere sadece iki doğal sayı çarpanı olan) 1'den büyük doğal sayılardır. Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) 15: 1, 3, 5 ve 15'e bölünebilir. Asal değildir. ❌
B) 21: 1, 3, 7 ve 21'e bölünebilir. Asal değildir. ❌
C) 29: Sadece 1 ve 29'a bölünebilir. Asal bir sayıdır. ✅
D) 33: 1, 3, 11 ve 33'e bölünebilir. Asal değildir. ❌
Bu durumda doğru cevap C) 29'dur. 💡
Örnek 5:
Bir okulda 40 öğrenci vardır. Bu öğrenciler, her sırada eşit sayıda öğrenci olacak şekilde sıralanacaktır. Sınıfın düzeni için kaç farklı şekilde sıra oluşturulabilir? (Her sırada en az 2 öğrenci olmalıdır.) 🧑🎓📐
Çözüm:
Bu soru, 40 sayısının çarpanlarını bulmamızı istiyor, çünkü her sıradaki öğrenci sayısı 40'ın bir çarpanı olmalıdır. Ayrıca, her sırada en az 2 öğrenci olacağı belirtilmiş.
Şimdi "her sırada en az 2 öğrenci olmalıdır" kuralını uygulayalım:
Eğer her sırada 1 öğrenci olursa, 40 sıra olur. (Bu kurala uymaz) ❌
Eğer her sırada 2 öğrenci olursa, 20 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 4 öğrenci olursa, 10 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 5 öğrenci olursa, 8 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 8 öğrenci olursa, 5 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 10 öğrenci olursa, 4 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 20 öğrenci olursa, 2 sıra olur. ✅
Eğer her sırada 40 öğrenci olursa, 1 sıra olur. ✅
Buna göre, öğrenciler 7 farklı şekilde sıralanabilirler. 👍
Örnek 6:
Ayşe, bir sayı tutuyor. Bu sayının 6 tane doğal sayı çarpanı olduğunu biliyor. Eğer tuttuğu sayının çarpanlarından biri 5 ise, Ayşe'nin tuttuğu sayı kaç olabilir? (En küçük değeri bulunuz.) 🧩
Çözüm:
Ayşe'nin tuttuğu sayının 5'in bir katı olması gerektiğini anlıyoruz, çünkü 5 çarpanlarından biriymiş. Ayrıca sayının 6 tane doğal sayı çarpanı var. 6. sınıf seviyesinde bu tür soruları deneme yanılma yoluyla çözebiliriz.
5'in katlarını deneyelim ve çarpan sayılarını kontrol edelim:
Sayı = 5: Çarpanları (1, 5). Toplam 2 çarpan. (6 değil) ❌
Sayı = 10: Çarpanları (1, 2, 5, 10). Toplam 4 çarpan. (6 değil) ❌
Sayı = 15: Çarpanları (1, 3, 5, 15). Toplam 4 çarpan. (6 değil) ❌
Sayı = 20: Çarpanları (1, 2, 4, 5, 10, 20). Toplam 6 çarpan. ✅
20 sayısının çarpanları 1, 2, 4, 5, 10, 20'dir ve 6 tanedir. Ayrıca 5 de çarpanlarından biridir.
O zaman Ayşe'nin tuttuğu sayı 20 olabilir. Bu, koşulları sağlayan en küçük sayıdır. 👍
Örnek 7:
Bir fırıncı, yeni pişirdiği 45 tane kurabiyeyi, her kutuya eşit sayıda olacak şekilde paketlemek istiyor. Eğer kutulara 1 kurabiye koymak istemiyorsa, fırıncı kurabiyeleri kutulara kaç farklı şekilde yerleştirebilir? 🍪📦
Çözüm:
Bu problemde 45 sayısının çarpanlarını bulmalıyız, çünkü her kutudaki kurabiye sayısı 45'in bir çarpanı olmalıdır. "Kutulara 1 kurabiye koymak istemiyorsa" ifadesi, 1 çarpanını dışarıda bırakmamız gerektiğini gösterir.
45 sayısının çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 45 = 45 \)
\( 3 \times 15 = 45 \)
\( 5 \times 9 = 45 \)
45'in tüm çarpanları: 1, 3, 5, 9, 15, 45'tir.
Şimdi "kutulara 1 kurabiye koymak istemiyorsa" kuralını uygulayalım:
Her kutuya 1 kurabiye (bu durumu istemiyoruz) ❌
Her kutuya 3 kurabiye konulursa, 15 kutu olur. ✅
Her kutuya 5 kurabiye konulursa, 9 kutu olur. ✅
Her kutuya 9 kurabiye konulursa, 5 kutu olur. ✅
Her kutuya 15 kurabiye konulursa, 3 kutu olur. ✅
Her kutuya 45 kurabiye konulursa, 1 kutu olur. ✅
Fırıncı kurabiyeleri 5 farklı şekilde paketleyebilir. 👏
Örnek 8:
Elif'in dikdörtgen şeklindeki bahçesinin alanı 30 metrekaredir. Bahçenin kenar uzunlukları metre cinsinden birer doğal sayı olduğuna göre, bu bahçenin çevresi en az kaç metre olabilir? 🌳📏
Çözüm:
Dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Alan 30 metrekare ise, kenar uzunlukları 30'un çarpanları olmalıdır.
30 sayısının doğal sayı çarpanlarını (yani olası kenar uzunluklarını) bulalım:
\( 1 \times 30 = 30 \) (Kenarlar: 1 m ve 30 m)
\( 2 \times 15 = 30 \) (Kenarlar: 2 m ve 15 m)
\( 3 \times 10 = 30 \) (Kenarlar: 3 m ve 10 m)
\( 5 \times 6 = 30 \) (Kenarlar: 5 m ve 6 m)
Bir dikdörtgenin çevresi \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \) formülü ile bulunur. Çevrenin en az olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir.
Kenarlar 1 m ve 30 m ise: Çevre \( = 2 \times (1 + 30) = 2 \times 31 = 62 \) m
Kenarlar 2 m ve 15 m ise: Çevre \( = 2 \times (2 + 15) = 2 \times 17 = 34 \) m
Kenarlar 3 m ve 10 m ise: Çevre \( = 2 \times (3 + 10) = 2 \times 13 = 26 \) m
Kenarlar 5 m ve 6 m ise: Çevre \( = 2 \times (5 + 6) = 2 \times 11 = 22 \) m
Bu durumda, bahçenin çevresi en az 22 metre olabilir. 🌿