🎓 6. Sınıf
📚 6. Sınıf Matematik
💡 6. Sınıf Matematik: Sayılar Ve Nicelikler Çözümlü Örnekler
6. Sınıf Matematik: Sayılar Ve Nicelikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( 5^2 \) ve \( 3^3 \) ifadelerinin değerlerini bularak toplayınız.
Çözüm:
- 📌 Üslü İfadelerin Anlamı: Bir doğal sayının kendisiyle tekrarlı çarpımına üslü ifade denir.
- Bir sayının karesi (üssü 2) demek, sayının kendisiyle iki kez çarpılması demektir.
- Bir sayının küpü (üssü 3) demek, sayının kendisiyle üç kez çarpılması demektir.
- 👉 Önce \( 5^2 \) değerini bulalım:
\[ 5^2 = 5 \times 5 = 25 \] - 👉 Şimdi \( 3^3 \) değerini bulalım:
\[ 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \] - 👉 Son olarak, bulduğumuz değerleri toplayalım:
\[ 25 + 27 = 52 \] - ✅ Cevap: \( 52 \)
Örnek 2:
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ 18 \div (2^2 + 5) - 3 \]
\[ 18 \div (2^2 + 5) - 3 \]
Çözüm:
- 💡 İşlem Önceliği Kuralları: İşlemleri doğru sırayla yapmak çok önemlidir!
- Üslü İfadeler
- Parantez İçindeki İşlemler
- Çarpma veya Bölme (Soldan sağa doğru)
- Toplama veya Çıkarma (Soldan sağa doğru)
- 👉 Önce üslü ifadeyi hesaplayalım:
\[ 2^2 = 2 \times 2 = 4 \] İfade şimdi şöyle oldu: \( 18 \div (4 + 5) - 3 \) - 👉 Şimdi parantez içindeki işlemi yapalım:
\[ 4 + 5 = 9 \] İfade şimdi şöyle oldu: \( 18 \div 9 - 3 \) - 👉 Sırada bölme işlemi var:
\[ 18 \div 9 = 2 \] İfade şimdi şöyle oldu: \( 2 - 3 \) - 👉 Son olarak çıkarma işlemini yapalım:
\[ 2 - 3 = -1 \] - ✅ Cevap: \( -1 \)
Örnek 3:
Rakamları farklı \( 4A6B \) dört basamaklı sayısı hem 2'ye hem de 3'e tam bölünebilmektedir. Buna göre, \( A \) ve \( B \) yerine yazılabilecek farklı rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
- 📌 Bölünebilme Kuralları:
- 2 ile bölünebilme: Sayının son rakamı (birler basamağı) çift olmalıdır (0, 2, 4, 6, 8).
- 3 ile bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
- 👉 Sayımız \( 4A6B \). İlk olarak 2 ile bölünebilme kuralını uygulayalım. \( B \) bir çift rakam olmalı:
\[ B \in \{0, 2, 4, 6, 8\} \] - 👉 Ayrıca sayının rakamları farklı olmalı. Yani \( A \) ve \( B \) rakamları 4 ve 6'dan farklı olmalı.
Eğer \( B = 4 \) veya \( B = 6 \) olursa, rakamlar farklı olmaz. Bu yüzden \( B \) için olası değerler:
\[ B \in \{0, 2, 8\} \] - 👉 Şimdi 3 ile bölünebilme kuralını uygulayalım. Rakamları toplamı \( 4 + A + 6 + B \) yani \( 10 + A + B \) olmalı ve bu toplam 3'ün katı olmalı.
- Durum 1: \( B = 0 \) ise
\( 10 + A + 0 = 10 + A \). Bu toplam 3'ün katı olmalı.
\( A \) yerine 2, 5, 8 yazılabilir. (Çünkü \( 10+2=12 \), \( 10+5=15 \), \( 10+8=18 \) ve bunlar 3'ün katıdır.)
Rakamlar farklı olacağından \( A \ne 0, 4, 6 \). Tüm bu değerler uygun.
Olası \( A \) değerleri: \( \{2, 5, 8\} \) - Durum 2: \( B = 2 \) ise
\( 10 + A + 2 = 12 + A \). Bu toplam 3'ün katı olmalı.
\( A \) yerine 0, 3, 6, 9 yazılabilir. (Çünkü \( 12+0=12 \), \( 12+3=15 \), \( 12+6=18 \), \( 12+9=21 \))
Rakamlar farklı olacağından \( A \ne 2, 4, 6 \). Bu durumda \( A=6 \) olamaz.
Olası \( A \) değerleri: \( \{0, 3, 9\} \) - Durum 3: \( B = 8 \) ise
\( 10 + A + 8 = 18 + A \). Bu toplam 3'ün katı olmalı.
\( A \) yerine 0, 3, 6, 9 yazılabilir. (Çünkü \( 18+0=18 \), \( 18+3=21 \), \( 18+6=24 \), \( 18+9=27 \))
Rakamlar farklı olacağından \( A \ne 8, 4, 6 \). Bu durumda \( A=6 \) olamaz.
Olası \( A \) değerleri: \( \{0, 3, 9\} \) - 👉 \( A \) yerine yazılabilecek farklı rakamlar: \( \{0, 2, 3, 5, 8, 9\} \)
- 👉 Bu rakamların toplamı:
\[ 0 + 2 + 3 + 5 + 8 + 9 = 27 \] - ✅ Cevap: \( 27 \)
Örnek 4:
72 sayısının asal çarpanlarını bulunuz ve bu asal çarpanların çarpımı şeklinde yazınız.
Çözüm:
- 📌 Asal Sayı Nedir? Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. (Örnek: 2, 3, 5, 7, 11...)
- 📌 Asal Çarpan Nedir? Bir sayının çarpanları (bölenleri) arasında asal olan sayılara asal çarpan denir.
- 👉 72 sayısının asal çarpanlarını bulmak için bölen listesi yöntemini kullanalım. Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölüyoruz:
\( 72 \div 2 = 36 \)
\( 36 \div 2 = 18 \)
\( 18 \div 2 = 9 \)
\( 9 \div 3 = 3 \)
\( 3 \div 3 = 1 \) - 👉 Bu durumda 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
- 👉 72 sayısını asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazarsak:
\[ 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \] Bu ifadeyi üslü olarak da yazabiliriz:
\[ 72 = 2^3 \times 3^2 \] - ✅ Cevap: 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Çarpım şeklinde gösterimi \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \) veya \( 2^3 \times 3^2 \).
Örnek 5:
Sayı doğrusu üzerinde -5, 0, 3, -2 tam sayılarını gösteriniz. Daha sonra bu tam sayılardan mutlak değeri en büyük olanı ve mutlak değeri en küçük olanı bulunuz.
Çözüm:
- 📌 Tam Sayılar: Doğal sayılar, bunların negatifleri ve sıfırın birleşimiyle oluşan kümedir.
- 📌 Mutlak Değer: Bir tam sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktası (0) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. Mutlak değer asla negatif olamaz ve \( |a| \) şeklinde gösterilir.
- 👉 Sayı doğrusu üzerinde tam sayıları gösterelim: Sayı doğrusunda 0'ın solunda -2 ve -5, sağında ise 3 yer alır. Sıralama: ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
- 👉 Verilen sayıların mutlak değerlerini bulalım:
\[ |-5| = 5 \] \[ |0| = 0 \] \[ |3| = 3 \] \[ |-2| = 2 \] - 👉 Bulduğumuz mutlak değerleri karşılaştıralım: \( 5 > 3 > 2 > 0 \)
- 👉 Mutlak değeri en büyük olan sayı: \( |-5| = 5 \) olduğu için -5'tir.
- 👉 Mutlak değeri en küçük olan sayı: \( |0| = 0 \) olduğu için 0'dır.
- ✅ Cevap: Mutlak değeri en büyük olan sayı -5, mutlak değeri en küçük olan sayı 0'dır.
Örnek 6:
Ayşe, bir kek tarifindeki malzemelerin \( \frac{3}{4} \)'ünü kullanmıştır. Eğer tarifte toplam \( 1 \frac{1}{2} \) su bardağı un gerekiyorsa, Ayşe'nin keki yapmak için kaç su bardağı un kullandığını bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Yeni Nesil Sorular: Günlük hayat senaryoları ile matematiksel problemleri birleştiren sorulardır.
- 📌 Kesirlerle İşlemler: Bir bütünün kesir kadarını bulmak için çarpma işlemi yaparız.
- 👉 İlk olarak, tarifteki toplam un miktarını bileşik kesre çevirelim:
\[ 1 \frac{1}{2} = \frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2} \] su bardağı un. - 👉 Ayşe, bu miktarın \( \frac{3}{4} \)'ünü kullanmış. Yani \( \frac{3}{2} \) bardağın \( \frac{3}{4} \)'ünü bulmalıyız. Bunun için kesirleri çarparız:
\[ \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} \] - 👉 Kesirlerde çarpma yaparken payları kendi arasında, paydaları kendi arasında çarparız:
\[ \frac{3 \times 3}{2 \times 4} = \frac{9}{8} \] - 👉 Sonucu tam sayılı kesir olarak ifade edebiliriz:
\[ \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8} \] - ✅ Cevap: Ayşe, keki yapmak için \( \frac{9}{8} \) veya \( 1 \frac{1}{8} \) su bardağı un kullanmıştır.
Örnek 7:
Bir markette elmanın kilogram fiyatı \( 4.75 \) TL, portakalın kilogram fiyatı ise \( 3.50 \) TL'dir. Ali, \( 2.5 \) kg elma ve \( 3 \) kg portakal almıştır. Ali'nin toplam kaç TL ödemesi gerektiğini bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Günlük Hayattan Matematik: Market alışverişleri, para hesaplamaları gibi durumlar ondalık gösterimlerin sıkça kullanıldığı yerlerdir.
- 📌 Ondalık Gösterimlerle Çarpma ve Toplama: Virgüllü sayılarla işlem yaparken basamak değerlerine dikkat ederiz.
- 👉 Önce Ali'nin elmalar için ödeyeceği tutarı hesaplayalım:
Elmanın kilogram fiyatı \( 4.75 \) TL ve \( 2.5 \) kg alınmış.
\[ 4.75 \times 2.5 \] Virgülleri yok sayarak çarpalım: \( 475 \times 25 = 11875 \)
Sayıların ondalık basamak sayıları toplamı \( 2 + 1 = 3 \) olduğu için, sonuçta virgülden sonra 3 basamak olmalı.
Elma için ödenen: \( 11.875 \) TL. - 👉 Şimdi de portakallar için ödeyeceği tutarı hesaplayalım:
Portakalın kilogram fiyatı \( 3.50 \) TL ve \( 3 \) kg alınmış.
\[ 3.50 \times 3 = 10.50 \] TL. - 👉 Son olarak, Ali'nin toplam ödeyeceği tutarı bulmak için elmaları ve portakalları ödediği fiyatları toplayalım:
\[ 11.875 + 10.50 \] Toplama yaparken virgüller alt alta gelmeli:
\( 11.875 \)
\( + 10.500 \)
\( ---------- \)
\( 22.375 \) - ✅ Cevap: Ali'nin toplam \( 22.375 \) TL ödemesi gerekir.
Örnek 8:
Bir sınıfta 15 kız öğrenci ve 10 erkek öğrenci vardır.
a) Kız öğrencilerin sayısının erkek öğrencilerin sayısına oranını bulunuz.
b) Erkek öğrencilerin sayısının tüm sınıf mevcuduna oranını bulunuz.
a) Kız öğrencilerin sayısının erkek öğrencilerin sayısına oranını bulunuz.
b) Erkek öğrencilerin sayısının tüm sınıf mevcuduna oranını bulunuz.
Çözüm:
- 📌 Oran Nedir? İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. Oranın birimi yoktur.
- 👉 Öncelikle sınıf mevcudunu bulalım:
Sınıf mevcudu = Kız öğrenci sayısı + Erkek öğrenci sayısı
\[ \text{Sınıf mevcudu} = 15 + 10 = 25 \] öğrenci. - a) Kız öğrencilerin sayısının erkek öğrencilerin sayısına oranı:
\[ \frac{\text{Kız öğrenci sayısı}}{\text{Erkek öğrenci sayısı}} = \frac{15}{10} \] Bu oranı sadeleştirebiliriz. Hem 15 hem de 10, 5 ile bölünebilir.
\[ \frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2} \] - b) Erkek öğrencilerin sayısının tüm sınıf mevcuduna oranı:
\[ \frac{\text{Erkek öğrenci sayısı}}{\text{Sınıf mevcudu}} = \frac{10}{25} \] Bu oranı sadeleştirebiliriz. Hem 10 hem de 25, 5 ile bölünebilir.
\[ \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5} \] - ✅ Cevap:
a) Kız öğrencilerin erkek öğrencilere oranı \( \frac{3}{2} \)'dir.
b) Erkek öğrencilerin tüm sınıf mevcuduna oranı \( \frac{2}{5} \)'tir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/6-sinif-matematik-sayilar-ve-nicelikler/sorular