💡 6. Sınıf Matematik: Paralel doğruların kesenlerle oluşturduğu şekiller Çözümlü Örnekler

Paralel iki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılarla ilgili temel bilgileri hatırlayalım:

• Bir noktada kesişen iki doğru, birbirini bütünleyen (toplamları \( 180^\circ \) olan) açılar oluşturur.
• Karşılıklı açılar birbirine eşittir.

Çözüm Adımları:

1. Verilen açı \( 75^\circ \) olsun. Bu açıya komşu olan açı, doğru açı oluşturduğu için \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur.
2. Bu \( 75^\circ \) açının karşılıklı açısı da \( 75^\circ \) olacaktır.
3. Az önce bulduğumuz \( 105^\circ \) açının karşılıklı açısı da \( 105^\circ \) olacaktır.

Sonuç olarak, bu kesişim noktasında oluşan açılar: \( 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ \) şeklindedir. ✅

İç ters açıların ve yöndeş açıların özelliklerini kullanalım:

• Yöndeş Açılar: Paralel doğruları kesen bir doğrunun aynı yönlü açılarıdır ve birbirlerine eşittirler.
• İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında, kesenin farklı taraflarında kalan açılardır ve birbirlerine eşittirler.

Çözüm Adımları:

1. d2 doğrusunu kesen k doğrusunun oluşturduğu \( 100^\circ \) derecelik yöndeş açı, d1 doğrusunu kesen k doğrusunun da aynı yöndeki açısına eşittir. Yani, d1 doğrusunu kesen k doğrusunun oluşturduğu açılardan biri \( 100^\circ \) olur.
2. Bu \( 100^\circ \) derecelik açı ile iç ters açı olan \( 5x \) derecelik açı birbirine eşittir. (Çünkü yöndeş açı ile iç ters açı, kesenin diğer tarafında ve paralel doğruların arasında kalır.)
3. Bu durumda denklemimiz şu şekilde olur: \( 5x = 100^\circ \)
4. Denklemi çözerek x'i bulalım: \( x = \frac{100^\circ}{5} = 20^\circ \)

Sonuç olarak, x değeri \( 20^\circ \) olur. 👉

İç ters açıların birbirine eşit olduğunu biliyoruz.

Çözüm Adımları:

1. İç ters açıların eşitliğinden yararlanarak bir denklem kurarız: \( 3y + 10^\circ = 5y - 30^\circ \)
2. Denklemdeki bilinmeyeni (y) bulmak için eşitliğin her iki tarafını düzenleriz:
• Her iki taraftan \( 3y \) çıkaralım: \( 10^\circ = 2y - 30^\circ \)
• Her iki tarafa \( 30^\circ \) ekleyelim: \( 40^\circ = 2y \)
• Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( y = 20^\circ \)
3. Şimdi bulduğumuz y değerini açıların birinde yerine koyarak açıların ölçüsünü bulalım. İlk açı için: \( 3y + 10^\circ = 3(20^\circ) + 10^\circ = 60^\circ + 10^\circ = 70^\circ \)
4. İkinci açı için de kontrol edelim: \( 5y - 30^\circ = 5(20^\circ) - 30^\circ = 100^\circ - 30^\circ = 70^\circ \)

Her iki açı da \( 70^\circ \) olarak bulunur. ✅

Karşı durumlu açıların özelliklerini hatırlayalım:

• Karşı durumlu açılar, paralel doğruların arasında ve kesenin aynı tarafında kalan açılardır.
• Bu açıların toplamı her zaman \( 180^\circ \) olur.

Çözüm Adımları:

1. Verilen açı \( 110^\circ \) olsun.
2. Karşı durumlu açıların toplamının \( 180^\circ \) olması gerektiği bilgisini kullanırız.
3. Diğer karşı durumlu açıyı bulmak için \( 180^\circ \) 'den verilen açıyı çıkarırız: \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)

Diğer karşı durumlu açı \( 70^\circ \) olarak bulunur. 💡

Tren raylarının paralel olduğunu ve demir çubuğun kesen olduğunu hayal edelim.

• Paralel doğruların kesenlerle oluşturduğu açılar arasındaki ilişkiyi kullanacağız.

Çözüm Adımları:

1. Demir çubuğun bir paralel ray kenarıyla yaptığı \( 60^\circ \) 'lik açı, bu paralel doğruların arasında ve kesenin diğer tarafında kalan iç ters açı ile aynı ölçüdedir. Yani, diğer paralel ray kenarıyla oluşan iç ters açılardan biri \( 60^\circ \) olur.
2. Alternatif olarak, bu \( 60^\circ \) 'lik açıya komşu olan ve doğru açı oluşturan açı \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur. Bu \( 120^\circ \) 'lik açı, diğer paralel ray kenarıyla yöndeş açı oluşturur.
3. Bir diğer yaklaşım ise, \( 60^\circ \) 'lik açı ile diğer paralel ray kenarı arasında kalan karşı durumlu açıdır. Karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, bu açı \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur.

Bu durumda, demir çubuğun diğer paralel ray kenarıyla yaptığı açılar \( 60^\circ \) ve \( 120^\circ \) olabilir. Soruda özellikle hangi ilişkiyi sorduğu belirtilmediği için, bu iki durum da geçerlidir. Ancak genellikle sorulan, doğrudan eş veya bütünler olan açılardır. En yaygın ilişki olan iç ters açı, \( 60^\circ \) olarak bulunur. 👉

Bu durumu paralel doğrular ve kesenler olarak modellediğimizde, duvarlar paralel doğruları, ip ise kesen doğruyu temsil eder.

• Paralel doğruların kesenlerle oluşturduğu temel açı ilişkilerini kullanacağız.

Çözüm Adımları:

1. Duvarlar birbirine paraleldir (d1 // d2). İp ise bu paralel doğruları kesen bir doğrudur (k).
2. İpin bir duvara paralel olan çizgiyle yaptığı \( 40^\circ \) 'lik açı, iç ters açı prensibiyle diğer duvara paralel olan çizgiyle de \( 40^\circ \) 'lik bir açı oluşturur.
3. Ayrıca, \( 40^\circ \) 'lik açıya komşu olan ve doğru açı oluşturan açı \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) olur. Bu \( 140^\circ \) 'lik açı, diğer duvara paralel olan çizgiyle yöndeş açı oluşturur.

Dolayısıyla, ipin diğer duvara paralel olan çizgiyle oluşturduğu açılar \( 40^\circ \) ve \( 140^\circ \) olacaktır. Soruda genellikle doğrudan eşit olan açı sorulduğu için, cevap \( 40^\circ \) olarak düşünülebilir. 💡

Bu soruda birden fazla kesen ve paralel doğru olduğu için dikkatli olmalıyız.

• Paralel doğruların kesenlerle oluşturduğu temel açı kurallarını adım adım uygulayacağız.

Çözüm Adımları:

1. İlk olarak, k1 doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktadaki \( 80^\circ \) 'lik açıya bakalım.
2. Bu \( 80^\circ \) 'lik açı ile d2 doğrusu arasında kalan yöndeş açı da \( 80^\circ \) olacaktır (çünkü d1 // d2).
3. Şimdi k2 doğrusunun d2 doğrusunu kestiği noktaya gelelim. Bu noktada k2'nin d2 ile oluşturduğu açılardan biri, k1'in d1 ile oluşturduğu \( 80^\circ \) 'lik açı ile iç terstir.
4. İç ters açıların eşitliğini kullanarak, k2'nin d2'yi kestiği noktada oluşan iç ters açının da \( 80^\circ \) olduğunu buluruz.
5. Bu \( 80^\circ \) 'lik açı, soruda bizden istenen açıdır.

Sonuç olarak, k2 doğrusunun d2 doğrusu ile oluşturduğu açılardan biri \( 80^\circ \) olur. ✅

Bu soruda yöndeş açılar ve iç ters açılar arasındaki ilişkiyi kullanacağız.

Çözüm Adımları:

1. k doğrusunun d1'i kestiği noktada oluşan \( a = 120^\circ \) açısına bakalım.
2. Bu \( 120^\circ \) 'lik açı ile d2 doğrusunu kesen k doğrusunun oluşturduğu yöndeş açı birbirine eşittir. Yani, k'nin d2'yi kestiği noktada oluşan yöndeş açı da \( 120^\circ \) olur.
3. Soruda verilen \( b \) açısı, bu \( 120^\circ \) 'lik yöndeş açı ile iç ters bir açıdır.
4. İç ters açıların birbirine eşit olduğunu bildiğimiz için, \( b \) açısı da \( 120^\circ \) olur.

Sonuç olarak, \( b \) açısı \( 120^\circ \) derecedir. 👉

Bu soruda, A noktasındaki açının B noktasındaki karşı durumlu açı ile ilişkisini bulmalıyız.

• Paralel doğrular ve kesenler arasındaki açı ilişkilerini kullanacağız.

Çözüm Adımları:

1. A noktasında oluşan \( 50^\circ \) 'lik açıya bakalım.
2. Bu \( 50^\circ \) 'lik açı ile B noktasında oluşan iç ters açı birbirine eşittir. Yani, B noktasındaki iç ters açı \( 50^\circ \) olur.
3. Soruda bizden B noktasında oluşan karşı durumlu açı isteniyor.
4. B noktasında \( 50^\circ \) olan iç ters açı ile komşu olan ve doğru açı oluşturan açı \( 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \) olur.
5. Bu \( 130^\circ \) 'lik açı, B noktasında oluşan karşı durumlu açı ile aynıdır. (Çünkü iki açı da paralel doğruların arasında ve kesenin aynı tarafındadır.)

Sonuç olarak, B noktasında oluşan karşı durumlu açı \( 130^\circ \) olur. ✅