💡 6. Sınıf Matematik: Paralel doğrular ve kesen Çözümlü Örnekler

Öncelikle verilen bilgileri gözden geçirelim:

• d₁

  ||

  d₂

  (d₁ doğrusu d₂ doğrusuna paraleldir.)

• d₃

  doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir.
• Oluşan açılardan biri

  70^\circ

  .

Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılar arasında özel ilişkiler vardır. Yöndeş açılar, aynı yöne bakan ve kesenin aynı tarafında bulunan açılardır. Paralel doğrular söz konusu olduğunda, yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir. 👉 Bu nedenle,

70^\circ

olan açı ile yöndeş olan açının ölçüsü de

70^\circ

'dir. ✅

Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılarla ilgili temel bilgileri hatırlayalım:

• Yöndeş Açılar: Ölçüleri eşittir.
• İç Ters Açılar: Ölçüleri eşittir.
• Dış Ters Açılar: Ölçüleri eşittir.
• Karşıt Açılar: Ölçüleri eşittir.
• Karşı Durumlu Açılar: Toplamları

  180^\circ

  'dir. (Bunlar aynı zamanda ardışık iç açılardır.)

Soruda bahsedilen "ardışık iki açı" genellikle "karşı durumlu açılar" veya "aynı yönde olmayan ardışık iç açılar" olarak adlandırılır. Bu tür açıların toplamı her zaman

180^\circ

'dir. 📌 Bu, bir doğru üzerindeki bütünler açıların toplamı ile ilgilidir. ✅ Yani, iki paralel doğru bir kesenle kesildiğinde, oluşan ardışık (karşı durumlu) iki açının toplamı

180^\circ

'dir.

Bu soruyu adım adım çözelim:

1. Bilgileri Anlama:

   d₁

   ||

   d₂

   ve

   d₃

   doğrusu kesendir. Bir noktada oluşan iki açı bütünlerdir.
2. Bütünler Açılar: Bütünler iki açının toplamı

   180^\circ

   'dir. Bu bilgiyi kullanarak bir denklem kuracağız.
3. Denklem Kurma:
\[ (x + 10^\circ) + (2x - 40^\circ) = 180^\circ \]
4. Denklemi Çözme:
• Benzer terimleri birleştirme:

  3x - 30^\circ = 180^\circ

• Her iki tarafa

  30^\circ

  ekleme:

  3x = 180^\circ + 30^\circ

• 3x = 210^\circ

• Her iki tarafı

  3

  'e bölme:

  x = \frac{210^\circ}{3}

• x = 70^\circ

✅ Sonuç olarak,

x

değeri

70^\circ

'dir.

Bu günlük hayat örneğini matematiksel olarak inceleyelim:

• Paralel Doğrular: Dolapların yan yüzeyleri birbirine paraleldir. Matematikte

  d₁

  ||

  d₂

  olarak gösterebiliriz.
• Kesen Doğru: Öğrencinin süpürgesi, bu paralel yüzeyleri kesen bir doğrudur.
• Açı İlişkisi: Süpürgenin bir dolabın yan yüzeyiyle yaptığı açı

  90^\circ

  . Bu, kesenin paralel doğrulardan birine dik olduğunu gösterir.

Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılarda, kesenin bir doğruya dik olması durumunda diğer paralel doğruya da dik olacağını biliyoruz. Yani, her iki paralel doğru ile de

90^\circ

'lik açılar yapacaktır. 👉 Soruda "diğer dolabın yan yüzeyiyle yaptığı aynı yöndeki açı" soruluyor. Bu, "yöndeş açı" kavramına karşılık gelir. Paralel doğrularda yöndeş açıların ölçüleri eşittir. ✅ Dolayısıyla, süpürgenin diğer dolabın yan yüzeyiyle yaptığı aynı yöndeki açının ölçüsü de

90^\circ

'dir. Bu, koridorun düz olduğunu ve süpürgenin tam dik tutulduğunu gösterir.

Bu sorunun çözümü için iç ters açıların özelliklerini kullanacağız:

1. İç Ters Açılar: Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu iç ters açılar birbirine eşittir.
2. Eşitlik Kurma: Soruda verilen iç açılar birbirine eşit olmalıdır.
\[ 5y + 15^\circ = 3y + 45^\circ \]
3. Denklemi Çözme:
• Her iki taraftan

  3y

  çıkarma:

  2y + 15^\circ = 45^\circ

• Her iki taraftan

  15^\circ

  çıkarma:

  2y = 45^\circ - 15^\circ

• 2y = 30^\circ

• Her iki tarafı

  2

  'ye bölme:

  y = \frac{30^\circ}{2}

• y = 15^\circ

✅ Böylece

y

değerini

15^\circ

olarak bulduk.

Bu senaryoyu matematiksel olarak analiz edelim:

• Paralel Doğrular: Tren rayları birbirine paraleldir.
• Kesen Doğru: Makas sistemi, bu paralel rayları kesen bir doğru parçası gibidir.
• Açı İlişkisi: Makasın bir tarafının bir ray ile yaptığı açı

  120^\circ

  .

Soruda "iç ters açı" soruluyor. Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu iç ters açılar birbirine eşittir. 👉 Makasın bir ray ile yaptığı

120^\circ

'lik açı ile diğer ray üzerindeki iç ters açı birbirine eşit olacaktır. ✅ Bu durumda, makasın diğer tarafının diğer ray ile yaptığı iç ters açının ölçüsü

120^\circ

'dir.

Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim:

1. Ters Açılar: Soruda

   a

   ve

   b

   açılarının ters açılar olduğu belirtiliyor. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
2. Eşitlik: Bu durumda

   a = b

   'dir.
3. Verilen Toplam: Soruda

   a + b = 100^\circ

   olarak verilmiş.
4. Yerine Koyma:

   a = b

   eşitliğini

   a + b = 100^\circ

   denkleminde yerine koyalım.

• a + a = 100^\circ

• 2a = 100^\circ

5. Çözüm: Her iki tarafı

   2

   'ye bölelim.

• a = \frac{100^\circ}{2}

• a = 50^\circ

✅ Bu durumda

a

açısının ölçüsü

50^\circ

'dir.

b

açısı da

50^\circ

'dir. Bu iki açının ters açı olması ve toplamlarının

100^\circ

olması bilgisiyle çözüme ulaştık. Paralel doğrular bilgisi, açılar arasındaki ilişkiyi kurmamıza yardımcı olmuştur.

Paralel doğrular ve kesenler konusundaki temel bilgilerden biri, iç ters açıların özellikleridir.

• Tanım: İç ters açılar, kesenin farklı taraflarında kalan ve paralel doğruların arasında (içinde) yer alan açılardır.
• İlişki: İki paralel doğru bir kesenle kesildiğinde, oluşan iç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

👉 Yani, eğer bir iç ters açının ölçüsü

x

ise, diğer iç ters açının ölçüsü de

x

'dir. ✅ Bu özellik, paralel doğruları belirlemek veya bilinmeyen açıları bulmak için sıklıkla kullanılır.

Bu soruyu adım adım çözelim:

1. Paralel ve Kesen:

   d₁

   ||

   d₂

   ve

   d₃

   doğrusu kesendir.
2. Verilen Açı:

   d₃

   'ün

   d₁

   'i kestiği noktada oluşan açılardan biri

   110^\circ

   .
3. Karşı Durumlu Açılar: Karşı durumlu açılar, kesenin aynı tarafında bulunan ve paralel doğruların arasında (içinde) yer alan açılardır. Bu açıların toplamı

   180^\circ

   'dir.
4. Hesaplama:

   110^\circ

   'lik açı ile karşı durumlu olan açının ölçüsünü bulmak için

   180^\circ

   'den

   110^\circ

   'yi çıkarırız.
\[ \text{Karşı Durumlu Açı} = 180^\circ - 110^\circ \] \[ \text{Karşı Durumlu Açı} = 70^\circ \]

✅ Dolayısıyla,

110^\circ

'lik açı ile karşı durumlu olan açının ölçüsü

70^\circ

'dir.