💡 6. Sınıf Matematik: İki Paralel Doğru ve İki Kesen Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
İki paralel doğru olan d1 ve d2'yi bir d3 keseni kesmektedir.
Kesenin d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 70^\circ \) ise, bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm ve Açıklama
Yöndeş açılar, birbirine paralel doğruları kesen bir doğrunun aynı yönlere bakan açılarıdır.
Bu açılar birbirine eşittir.
Soruda verilen açı \( 70^\circ \) olduğuna göre, onunla yöndeş olan açı da \( 70^\circ \)'dir. ✅
İki paralel doğru olan a ve b'yi bir c doğrusu kesiyor.
Kesişim noktalarından birinde oluşan \( 110^\circ \) luk bir açının, diğer paralel doğru üzerindeki iç ters açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm ve Açıklama
İç ters açılar, paralel doğruların arasında kalan ve kesene zıt yönlerde bakan açılardır.
İç ters açılar birbirine eşittir.
Ancak, soruda verilen \( 110^\circ \) luk açı, doğrudan iç tersi ile eş olmayabilir. Önce bu açının bütünleri veya komşu tümleri ile ilişki kurmalıyız.
\( 110^\circ \) luk açının tümler açısı \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur.
Bu \( 70^\circ \) luk açı, diğer paralel doğru üzerindeki bir açı ile iç ters konumdadır.
Dolayısıyla, aradığımız iç ters açı \( 70^\circ \)'dir. 👉
Verilen: a || b, c keseni, bir açı \( 110^\circ \)
Adım 2: Bu bütünler, diğer paralel doğru üzerindeki iç ters açıya eşittir.
Sonuç: İç ters açı \( = 70^\circ \)
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
d1 ve d2 birbirine paralel doğrulardır. k doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir.
Kesenin d1'i kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 55^\circ \) ise, diğer paralel doğru d2 üzerindeki karşı durumlu (iç açılar) açının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm ve Açıklama
Karşı durumlu açılar (iç açılar), paralel doğruların arasında kalan ve kesene aynı tarafta bakan açılardır.
Karşı durumlu açılar birbirini 180 dereceye tamamlar (toplamları \( 180^\circ \)'dir).
Soruda verilen \( 55^\circ \) luk açı ile karşı durumlu olan açı, diğer paralel doğru üzerindedir.
Bu iki açının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
Aradığımız açı: \( 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \) 📌
Verilen: d1 || d2, k keseni, bir açı \( 55^\circ \)
İstenen: Bu açının karşı durumlu açısı
Kural: Karşı durumlu açılar toplamı \( 180^\circ \)'dir.
İki paralel doğru olan m ve n'yi p doğrusu kesiyor.
Kesişim noktalarından birinde oluşan \( 130^\circ \) luk bir açının, diğer paralel doğru üzerindeki dış ters açısının ölçüsü kaç derecedir? 🚀
Çözüm ve Açıklama
Dış ters açılar, paralel doğruların dışında kalan ve kesene zıt yönlerde bakan açılardır.
Dış ters açılar birbirine eşittir.
Soruda verilen \( 130^\circ \) luk açı, doğrudan dış tersi ile eş olmayabilir. Önce bu açının bütünleri ile ilişki kurmalıyız.
\( 130^\circ \) luk açının bütünleri \( 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \) olur.
Bu \( 50^\circ \) luk açı, diğer paralel doğru üzerindeki bir açı ile dış ters konumdadır.
Dolayısıyla, aradığımız dış ters açı \( 50^\circ \)'dir. ✨
Verilen: m || n, p keseni, bir açı \( 130^\circ \)
Adım 2: Bu bütünler, diğer paralel doğru üzerindeki dış ters açıya eşittir.
Sonuç: Dış ters açı \( = 50^\circ \)
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularını, d3 doğrusu kesmektedir.
Kesişim noktalarından birinde oluşan açılardan biri \( \alpha \) açısıdır. Bu \( \alpha \) açısı ile aynı yöne bakan ve diğer paralel doğru üzerindeki açı yöndeş açıdır.
Eğer \( \alpha \) açısının bütünleri \( 120^\circ \) ise, yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 📈
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle \( \alpha \) açısının ölçüsünü bulmalıyız.
Bir açının bütünleri ile toplamı \( 180^\circ \) eder.
Eğer \( \alpha \) açısının bütünleri \( 120^\circ \) ise, \( \alpha \) açısının kendisi \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur.
Soruda, \( \alpha \) açısı ile yöndeş olan açının ölçüsü soruluyor.
Yöndeş açılar birbirine eşittir.
Bu nedenle, yöndeş olan açı da \( 60^\circ \)'dir. 🎯
Bir tren rayı düşünelim. İki paralel ray, bir yolcu köprüsü tarafından kesiliyor.
Köprünün bir rayı kestiği noktada oluşan \( 80^\circ \) luk bir açının, diğer ray üzerindeki karşı durumlu (iç açılar) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🛤️
Çözüm ve Açıklama
Tren rayları birbirine paraleldir ve köprü bu paralel doğruları kesen bir doğrudur.
Bu durumda, köprünün bir rayı kestiği noktada oluşan \( 80^\circ \) luk açı ile diğer ray üzerindeki karşı durumlu (iç açılar) açı arasında, toplamları \( 180^\circ \) olan bir ilişki vardır.
Aradığımız açı: \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \) 🚉
Benzerlik: Raylar paralel doğrular, köprü kesendir.
Verilen: Bir açı \( 80^\circ \)
İstenen: Karşı durumlu (iç açılar) açı
Kural: Karşı durumlu açılar toplamı \( 180^\circ \)'dir.
d1 ve d2 doğruları paraleldir. d3 doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir.
Kesişim noktalarından birinde oluşan açılardan biri \( x \) derecedir. Bu \( x \) açısının iç tersi ile, diğer paralel doğru üzerindeki yöndeş açının toplamı \( 150^\circ \) olduğuna göre, \( x \) kaç derecedir? 🧮
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:
1. d1 || d2
2. Kesişim noktalarından birinde oluşan açı \( x \).
3. Bu \( x \) açısının iç tersi ile, diğer paralel doğru üzerindeki yöndeş açının toplamı \( 150^\circ \).
Kavramlar:
* İç ters açılar birbirine eşittir. Yani, \( x \) açısının iç tersi de \( x \) derecedir.
* Yöndeş açılar birbirine eşittir. \( x \) açısı ile aynı yöne bakan açı da \( x \) derecedir.
Çözüm:
Soruda belirtilen iki açının toplamı \( 150^\circ \) idi:
( \( x \) açısının iç tersi ) + ( \( x \) açısının yöndeşi ) \( = 150^\circ \)
\( x + x = 150^\circ \)
\( 2x = 150^\circ \)
\( x = \frac{150^\circ}{2} \)
\( x = 75^\circ \) ✅
Verilen: d1 || d2, bir açı \( x \), iç tersi ile yöndeşinin toplamı \( 150^\circ \)
İstenen: \( x \) değeri
Adım 1: İç ters açının \( x \) olduğunu belirle.
Adım 2: Yöndeş açının \( x \) olduğunu belirle.
Adım 3: Denklemi kur: \( x + x = 150^\circ \)
Adım 4: Denklemi çöz: \( 2x = 150^\circ \Rightarrow x = 75^\circ \)
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
İki paralel doğru olan L1 ve L2'yi kesen K doğrusu üzerinde, L1'i kesen noktada oluşan açılardan biri \( a \) derecedir.
Bu \( a \) açısının karşı durumlu (iç açılar) açısı ile, L2'yi kesen noktada oluşan ve \( a \) açısı ile yöndeş olan açının toplamı \( 200^\circ \) olduğuna göre, \( a \) kaç derecedir? ✍️
Çözüm ve Açıklama
Sorudaki bilgileri adım adım inceleyelim:
1. L1 || L2 ve K doğrusu kesendir.
2. L1'i kesen noktada bir açı \( a \) derecedir.
3. Bu \( a \) açısının karşı durumlu (iç açılar) açısı, diğer paralel doğru L2 üzerindedir.
4. L2'yi kesen noktada oluşan ve \( a \) açısı ile yöndeş olan açı da vardır.
5. Bu iki açının toplamı \( 200^\circ \) olarak verilmiştir.
Kavramlar ve İlişkiler:
* \( a \) açısının karşı durumlu (iç açılar) açısı, \( 180^\circ - a \) derecedir.
* \( a \) açısı ile yöndeş olan açı, \( a \) derecedir. Bu açı L2 üzerindedir.
Çözüm:
Soruda verilen toplamı kullanarak denklem kuralım:
( \( a \) açısının karşı durumlu açısı ) + ( \( a \) açısının yöndeşi ) \( = 200^\circ \)
\( (180^\circ - a) + a = 200^\circ \)
\( 180^\circ = 200^\circ \)
Bu sonuç bir çelişkidir! ❌ Bu durum, soruda verilen bilgilerin geometrik olarak mümkün olmadığını gösterir.
Ancak, soruyu bu haliyle çözmeye çalışırsak ve bir hata olduğunu varsayarsak, eğer "karşı durumlu" yerine "iç ters" deseydi veya yöndeş açı başka bir açıyla ilişkilendirilseydi farklı bir sonuç çıkabilirdi.
Varsayımsal Düzeltme (Öğretici Amaçlı): Eğer soru şöyle olsaydı: "Bu \( a \) açısının iç tersi ile, L2'yi kesen noktada oluşan ve \( a \) açısı ile yöndeş olan açının toplamı \( 200^\circ \) olduğuna göre, \( a \) kaç derecedir?"
Bu durumda denklem şöyle olurdu: \( a + a = 200^\circ \Rightarrow 2a = 200^\circ \Rightarrow a = 100^\circ \).
Ancak orijinal sorudaki haliyle bu durum geometrik olarak mümkün değildir. ⚠️
Verilen: L1 || L2, bir açı \( a \), karşı durumlu açısı ile yöndeşinin toplamı \( 200^\circ \)
İstenen: \( a \) değeri
Adım 1: \( a \) açısının karşı durumlu açısının \( 180^\circ - a \) olduğunu belirle.
Adım 2: \( a \) açısının yöndeş açısının \( a \) olduğunu belirle.
Adım 3: Denklemi kur: \( (180^\circ - a) + a = 200^\circ \)
Adım 4: Denklemi çöz: \( 180^\circ = 200^\circ \) (Çelişki!)
Sonuç: Sorudaki bilgiler geometrik olarak tutarsızdır.
6. Sınıf Matematik: İki Paralel Doğru ve İki Kesen Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki paralel doğru olan d1 ve d2'yi bir d3 keseni kesmektedir.
Kesenin d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 70^\circ \) ise, bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Yöndeş açılar, birbirine paralel doğruları kesen bir doğrunun aynı yönlere bakan açılarıdır.
Bu açılar birbirine eşittir.
Soruda verilen açı \( 70^\circ \) olduğuna göre, onunla yöndeş olan açı da \( 70^\circ \)'dir. ✅
İki paralel doğru olan a ve b'yi bir c doğrusu kesiyor.
Kesişim noktalarından birinde oluşan \( 110^\circ \) luk bir açının, diğer paralel doğru üzerindeki iç ters açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
İç ters açılar, paralel doğruların arasında kalan ve kesene zıt yönlerde bakan açılardır.
İç ters açılar birbirine eşittir.
Ancak, soruda verilen \( 110^\circ \) luk açı, doğrudan iç tersi ile eş olmayabilir. Önce bu açının bütünleri veya komşu tümleri ile ilişki kurmalıyız.
\( 110^\circ \) luk açının tümler açısı \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olur.
Bu \( 70^\circ \) luk açı, diğer paralel doğru üzerindeki bir açı ile iç ters konumdadır.
Dolayısıyla, aradığımız iç ters açı \( 70^\circ \)'dir. 👉
Verilen: a || b, c keseni, bir açı \( 110^\circ \)
Adım 2: Bu bütünler, diğer paralel doğru üzerindeki iç ters açıya eşittir.
Sonuç: İç ters açı \( = 70^\circ \)
Örnek 3:
d1 ve d2 birbirine paralel doğrulardır. k doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir.
Kesenin d1'i kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 55^\circ \) ise, diğer paralel doğru d2 üzerindeki karşı durumlu (iç açılar) açının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Karşı durumlu açılar (iç açılar), paralel doğruların arasında kalan ve kesene aynı tarafta bakan açılardır.
Karşı durumlu açılar birbirini 180 dereceye tamamlar (toplamları \( 180^\circ \)'dir).
Soruda verilen \( 55^\circ \) luk açı ile karşı durumlu olan açı, diğer paralel doğru üzerindedir.
Bu iki açının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
Aradığımız açı: \( 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \) 📌
Verilen: d1 || d2, k keseni, bir açı \( 55^\circ \)
İstenen: Bu açının karşı durumlu açısı
Kural: Karşı durumlu açılar toplamı \( 180^\circ \)'dir.
İki paralel doğru olan m ve n'yi p doğrusu kesiyor.
Kesişim noktalarından birinde oluşan \( 130^\circ \) luk bir açının, diğer paralel doğru üzerindeki dış ters açısının ölçüsü kaç derecedir? 🚀
Çözüm:
Dış ters açılar, paralel doğruların dışında kalan ve kesene zıt yönlerde bakan açılardır.
Dış ters açılar birbirine eşittir.
Soruda verilen \( 130^\circ \) luk açı, doğrudan dış tersi ile eş olmayabilir. Önce bu açının bütünleri ile ilişki kurmalıyız.
\( 130^\circ \) luk açının bütünleri \( 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \) olur.
Bu \( 50^\circ \) luk açı, diğer paralel doğru üzerindeki bir açı ile dış ters konumdadır.
Dolayısıyla, aradığımız dış ters açı \( 50^\circ \)'dir. ✨
Verilen: m || n, p keseni, bir açı \( 130^\circ \)
Adım 2: Bu bütünler, diğer paralel doğru üzerindeki dış ters açıya eşittir.
Sonuç: Dış ters açı \( = 50^\circ \)
Örnek 5:
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularını, d3 doğrusu kesmektedir.
Kesişim noktalarından birinde oluşan açılardan biri \( \alpha \) açısıdır. Bu \( \alpha \) açısı ile aynı yöne bakan ve diğer paralel doğru üzerindeki açı yöndeş açıdır.
Eğer \( \alpha \) açısının bütünleri \( 120^\circ \) ise, yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 📈
Çözüm:
Öncelikle \( \alpha \) açısının ölçüsünü bulmalıyız.
Bir açının bütünleri ile toplamı \( 180^\circ \) eder.
Eğer \( \alpha \) açısının bütünleri \( 120^\circ \) ise, \( \alpha \) açısının kendisi \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur.
Soruda, \( \alpha \) açısı ile yöndeş olan açının ölçüsü soruluyor.
Yöndeş açılar birbirine eşittir.
Bu nedenle, yöndeş olan açı da \( 60^\circ \)'dir. 🎯
Bir tren rayı düşünelim. İki paralel ray, bir yolcu köprüsü tarafından kesiliyor.
Köprünün bir rayı kestiği noktada oluşan \( 80^\circ \) luk bir açının, diğer ray üzerindeki karşı durumlu (iç açılar) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🛤️
Çözüm:
Tren rayları birbirine paraleldir ve köprü bu paralel doğruları kesen bir doğrudur.
Bu durumda, köprünün bir rayı kestiği noktada oluşan \( 80^\circ \) luk açı ile diğer ray üzerindeki karşı durumlu (iç açılar) açı arasında, toplamları \( 180^\circ \) olan bir ilişki vardır.
Aradığımız açı: \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \) 🚉
Benzerlik: Raylar paralel doğrular, köprü kesendir.
Verilen: Bir açı \( 80^\circ \)
İstenen: Karşı durumlu (iç açılar) açı
Kural: Karşı durumlu açılar toplamı \( 180^\circ \)'dir.
d1 ve d2 doğruları paraleldir. d3 doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir.
Kesişim noktalarından birinde oluşan açılardan biri \( x \) derecedir. Bu \( x \) açısının iç tersi ile, diğer paralel doğru üzerindeki yöndeş açının toplamı \( 150^\circ \) olduğuna göre, \( x \) kaç derecedir? 🧮
Çözüm:
Öncelikle verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:
1. d1 || d2
2. Kesişim noktalarından birinde oluşan açı \( x \).
3. Bu \( x \) açısının iç tersi ile, diğer paralel doğru üzerindeki yöndeş açının toplamı \( 150^\circ \).
Kavramlar:
* İç ters açılar birbirine eşittir. Yani, \( x \) açısının iç tersi de \( x \) derecedir.
* Yöndeş açılar birbirine eşittir. \( x \) açısı ile aynı yöne bakan açı da \( x \) derecedir.
Çözüm:
Soruda belirtilen iki açının toplamı \( 150^\circ \) idi:
( \( x \) açısının iç tersi ) + ( \( x \) açısının yöndeşi ) \( = 150^\circ \)
\( x + x = 150^\circ \)
\( 2x = 150^\circ \)
\( x = \frac{150^\circ}{2} \)
\( x = 75^\circ \) ✅
Verilen: d1 || d2, bir açı \( x \), iç tersi ile yöndeşinin toplamı \( 150^\circ \)
İstenen: \( x \) değeri
Adım 1: İç ters açının \( x \) olduğunu belirle.
Adım 2: Yöndeş açının \( x \) olduğunu belirle.
Adım 3: Denklemi kur: \( x + x = 150^\circ \)
Adım 4: Denklemi çöz: \( 2x = 150^\circ \Rightarrow x = 75^\circ \)
Örnek 8:
İki paralel doğru olan L1 ve L2'yi kesen K doğrusu üzerinde, L1'i kesen noktada oluşan açılardan biri \( a \) derecedir.
Bu \( a \) açısının karşı durumlu (iç açılar) açısı ile, L2'yi kesen noktada oluşan ve \( a \) açısı ile yöndeş olan açının toplamı \( 200^\circ \) olduğuna göre, \( a \) kaç derecedir? ✍️
Çözüm:
Sorudaki bilgileri adım adım inceleyelim:
1. L1 || L2 ve K doğrusu kesendir.
2. L1'i kesen noktada bir açı \( a \) derecedir.
3. Bu \( a \) açısının karşı durumlu (iç açılar) açısı, diğer paralel doğru L2 üzerindedir.
4. L2'yi kesen noktada oluşan ve \( a \) açısı ile yöndeş olan açı da vardır.
5. Bu iki açının toplamı \( 200^\circ \) olarak verilmiştir.
Kavramlar ve İlişkiler:
* \( a \) açısının karşı durumlu (iç açılar) açısı, \( 180^\circ - a \) derecedir.
* \( a \) açısı ile yöndeş olan açı, \( a \) derecedir. Bu açı L2 üzerindedir.
Çözüm:
Soruda verilen toplamı kullanarak denklem kuralım:
( \( a \) açısının karşı durumlu açısı ) + ( \( a \) açısının yöndeşi ) \( = 200^\circ \)
\( (180^\circ - a) + a = 200^\circ \)
\( 180^\circ = 200^\circ \)
Bu sonuç bir çelişkidir! ❌ Bu durum, soruda verilen bilgilerin geometrik olarak mümkün olmadığını gösterir.
Ancak, soruyu bu haliyle çözmeye çalışırsak ve bir hata olduğunu varsayarsak, eğer "karşı durumlu" yerine "iç ters" deseydi veya yöndeş açı başka bir açıyla ilişkilendirilseydi farklı bir sonuç çıkabilirdi.
Varsayımsal Düzeltme (Öğretici Amaçlı): Eğer soru şöyle olsaydı: "Bu \( a \) açısının iç tersi ile, L2'yi kesen noktada oluşan ve \( a \) açısı ile yöndeş olan açının toplamı \( 200^\circ \) olduğuna göre, \( a \) kaç derecedir?"
Bu durumda denklem şöyle olurdu: \( a + a = 200^\circ \Rightarrow 2a = 200^\circ \Rightarrow a = 100^\circ \).
Ancak orijinal sorudaki haliyle bu durum geometrik olarak mümkün değildir. ⚠️
Verilen: L1 || L2, bir açı \( a \), karşı durumlu açısı ile yöndeşinin toplamı \( 200^\circ \)
İstenen: \( a \) değeri
Adım 1: \( a \) açısının karşı durumlu açısının \( 180^\circ - a \) olduğunu belirle.
Adım 2: \( a \) açısının yöndeş açısının \( a \) olduğunu belirle.
Adım 3: Denklemi kur: \( (180^\circ - a) + a = 200^\circ \)
Adım 4: Denklemi çöz: \( 180^\circ = 200^\circ \) (Çelişki!)
Sonuç: Sorudaki bilgiler geometrik olarak tutarsızdır.