🎓 6. Sınıf
📚 6. Sınıf Matematik
💡 6. Sınıf Matematik: Iki paralel doğru ve bir kesen ile olusturulan acilar Çözümlü Örnekler
6. Sınıf Matematik: Iki paralel doğru ve bir kesen ile olusturulan acilar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki paralel doğru düşünelim. Bu doğruları kesen bir üçüncü doğru çizildiğinde, oluşan yöndeş açılar, iç ters açılar ve dış ters açılar hakkında ne biliyoruz? 🤔
Paralel doğrulara d₁ ve d₂ diyelim. Kesen doğruya ise k diyelim.
Şimdi bu doğruların oluşturduğu açılara bakalım.
Paralel doğrulara d₁ ve d₂ diyelim. Kesen doğruya ise k diyelim.
Şimdi bu doğruların oluşturduğu açılara bakalım.
Çözüm:
Harika bir soru! Bu açılar arasındaki ilişkiyi anlamak, geometrinin temel taşlarından biridir. 💡
Paralel iki doğru ve bir kesen olduğunda, şu açılar oluşur:
Paralel iki doğru ve bir kesen olduğunda, şu açılar oluşur:
- Yöndeş Açılar: Aynı yöne bakan, biri içte diğeri dışta olan açılardır. Bu açılar eşittir.
- İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında kalan ve zıt yönlere bakan açılardır. Bu açılar da eşittir.
- Dış Ters Açılar: Paralel doğruların dışında kalan ve zıt yönlere bakan açılardır. Bu açılar da eşittir.
- Karşı Durumlu Açılar: Paralel doğruların arasında kalan ve aynı tarafa bakan açılardır. Bu açıların toplamı 180°'dir.
Örnek 2:
İki paralel doğru (d₁ ve d₂) bir kesen (k) ile kesiliyor. Kesenin üst tarafında, d₁ doğrusunun sağında kalan açının ölçüsü 70° olarak verilmiştir. Bu açının oluşturduğu iç ters açı ile yöndeş açının ölçüsünü bulunuz. 👉
Çözüm:
Haydi bu soruyu adım adım çözelim! 🚀
Adım 1: Verilen Bilgiyi Anlama
Bu 70°'lik açı ile d₂ doğrusunun altında ve k'nin solunda kalan açı iç ters açıdır. İç ters açılar birbirine eşit olduğu için, bu açının ölçüsü de 70°'dir.
Adım 3: Yöndeş Açıyı Bulma
Bu 70°'lik açı ile d₂ doğrusunun üstünde ve k'nin sağında kalan açı yöndeş açıdır. Yöndeş açılar da birbirine eşit olduğu için, bu açının ölçüsü de 70°'dir.
Sonuç: İç ters açı 70° ve yöndeş açı da 70°'dir. ✅
Adım 1: Verilen Bilgiyi Anlama
- d₁ || d₂ (d₁ ve d₂ paraleldir.)
- Kesen k, d₁ ve d₂'yi kesiyor.
- d₁'in üstünde ve k'nin sağında kalan açı = 70°.
Bu 70°'lik açı ile d₂ doğrusunun altında ve k'nin solunda kalan açı iç ters açıdır. İç ters açılar birbirine eşit olduğu için, bu açının ölçüsü de 70°'dir.
Adım 3: Yöndeş Açıyı Bulma
Bu 70°'lik açı ile d₂ doğrusunun üstünde ve k'nin sağında kalan açı yöndeş açıdır. Yöndeş açılar da birbirine eşit olduğu için, bu açının ölçüsü de 70°'dir.
Sonuç: İç ters açı 70° ve yöndeş açı da 70°'dir. ✅
Örnek 3:
Aşağıdaki şekilde, d₁ ve d₂ doğruları birbirine paraleldir. Kesen doğru üzerindeki bir açının ölçüsü 110° olarak verilmiştir. Bu açının karşı durumlu açısını bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için karşı durumlu açıların özelliğini hatırlayalım.
Adım 1: Paralel Doğrular ve Kesen
d₁ || d₂ ve bir kesen var.
Adım 2: Karşı Durumlu Açılar
Verilen 110°'lik açı, paralel doğruların arasında ve kesenin bir tarafında yer alıyor. Bu açının karşı durumlu açısı, paralel doğruların arasında ve kesenin diğer tarafında yer alan açıdır.
Adım 3: Açıların Toplamı
Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir. Bu nedenle, bilmediğimiz karşı durumlu açının ölçüsünü bulmak için 180°'den verilen açıyı çıkarırız.
Hesaplama: \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
Sonuç: Karşı durumlu açının ölçüsü 70°'dir. 📌
Adım 1: Paralel Doğrular ve Kesen
d₁ || d₂ ve bir kesen var.
Adım 2: Karşı Durumlu Açılar
Verilen 110°'lik açı, paralel doğruların arasında ve kesenin bir tarafında yer alıyor. Bu açının karşı durumlu açısı, paralel doğruların arasında ve kesenin diğer tarafında yer alan açıdır.
Adım 3: Açıların Toplamı
Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir. Bu nedenle, bilmediğimiz karşı durumlu açının ölçüsünü bulmak için 180°'den verilen açıyı çıkarırız.
Hesaplama: \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
Sonuç: Karşı durumlu açının ölçüsü 70°'dir. 📌
Örnek 4:
Bir tren rayı düşünelim. İki paralel ray çizgisi, bir makas (kesen doğru) ile birleşiyor. Bir makas kolunun açısı 55° olarak ölçülüyor. Bu 55°'lik açının, rayların dışında kalan ve ters yöne bakan dış ters açısı kaç derecedir? 🚂
Çözüm:
Tren rayları, paralel doğrular ve kesen mantığını anlamak için harika bir örnektir! 🛤️
Adım 1: Durumu Görselleştirme
İki paralel ray çizgisi (d₁ ve d₂) ve onları kesen bir makas kolu (k) hayal edelim.
Adım 2: Dış Ters Açılar
Bize verilen 55°'lik açı, rayların (paralel doğruların) dışında ve makas kolunun bir tarafında. Bizden istenen dış ters açı ise, rayların dışında ve makas kolunun diğer tarafında yer alır.
Adım 3: Dış Ters Açının Özelliği
Dış ters açılar da tıpkı iç ters açılar ve yöndeş açılar gibi birbirine eşittir.
Sonuç: Bu nedenle, 55°'lik açının dış ters açısı da 55°'dir. ✅
Adım 1: Durumu Görselleştirme
İki paralel ray çizgisi (d₁ ve d₂) ve onları kesen bir makas kolu (k) hayal edelim.
Adım 2: Dış Ters Açılar
Bize verilen 55°'lik açı, rayların (paralel doğruların) dışında ve makas kolunun bir tarafında. Bizden istenen dış ters açı ise, rayların dışında ve makas kolunun diğer tarafında yer alır.
Adım 3: Dış Ters Açının Özelliği
Dış ters açılar da tıpkı iç ters açılar ve yöndeş açılar gibi birbirine eşittir.
Sonuç: Bu nedenle, 55°'lik açının dış ters açısı da 55°'dir. ✅
Örnek 5:
Bir kapı düşünelim. Kapının kenarları (d₁ ve d₂) birbirine paraleldir. Kapı kolu ise bu paralel kenarları kesen bir doğrudur (k). Eğer kapı kolunun bir tarafında oluşan açı 80° ise, kapı kolunun diğer tarafında, kapının dışında kalan ve aynı yöne bakan yöndeş açısı kaç derecedir? 🚪
Çözüm:
Kapı ve kapı kolu, paralel doğrular ve kesen kavramını günlük hayatta görmek için güzel bir örnektir. 💡
Adım 1: Paralel Kenarlar ve Kesen
Kapının iki dikey kenarı paraleldir (d₁ || d₂). Kapı kolu ise bu paralel kenarları kesen bir doğrudur (k).
Adım 2: Yöndeş Açılar
Bize verilen 80°'lik açı, kapının bir kenarının (d₁) yanında ve kapı kolunun (k) bir tarafında yer alıyor. Bizden istenen yöndeş açı ise, diğer paralel kenarın (d₂) yanında ve kapı kolunun (k) aynı tarafında yer alır.
Adım 3: Yöndeş Açının Özelliği
Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Sonuç: Bu nedenle, 80°'lik açının yöndeş açısı da 80°'dir. 👉
Adım 1: Paralel Kenarlar ve Kesen
Kapının iki dikey kenarı paraleldir (d₁ || d₂). Kapı kolu ise bu paralel kenarları kesen bir doğrudur (k).
Adım 2: Yöndeş Açılar
Bize verilen 80°'lik açı, kapının bir kenarının (d₁) yanında ve kapı kolunun (k) bir tarafında yer alıyor. Bizden istenen yöndeş açı ise, diğer paralel kenarın (d₂) yanında ve kapı kolunun (k) aynı tarafında yer alır.
Adım 3: Yöndeş Açının Özelliği
Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Sonuç: Bu nedenle, 80°'lik açının yöndeş açısı da 80°'dir. 👉
Örnek 6:
d₁ ve d₂ doğruları paraleldir. Kesen doğru üzerindeki bir A açısı \( = 4x + 10^\circ \) ve bu açının karşı durumlu açısı olan B açısı \( = 5x - 20^\circ \) olarak verilmiştir. x'in değerini ve A açısının ölçüsünü bulunuz. 🧮
Çözüm:
Bu soruda hem açıların özelliklerini kullanacağız hem de basit bir denklem çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım! ✍️
Adım 1: Karşı Durumlu Açılar Özelliği
Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir. Yani, \( A + B = 180^\circ \).
Adım 2: Denklemi Kurma
Verilen açıları denklemde yerine yazalım:
\( (4x + 10^\circ) + (5x - 20^\circ) = 180^\circ \)
Adım 3: Denklemi Çözme
x'li terimleri ve sabit terimleri bir araya getirelim:
\( 9x - 10^\circ = 180^\circ \)
Her iki tarafa 10° ekleyelim:
\( 9x = 190^\circ \)
Her iki tarafı 9'a bölelim:
\( x = \frac{190}{9}^\circ \)
Adım 4: A Açısının Ölçüsünü Bulma
Şimdi x'in değerini A açısının formülünde yerine koyalım:
\( A = 4x + 10^\circ \)
\( A = 4 \left( \frac{190}{9} \right)^\circ + 10^\circ \)
\( A = \frac{760}{9}^\circ + \frac{90}{9}^\circ \)
\( A = \frac{850}{9}^\circ \)
Sonuç:
Adım 1: Karşı Durumlu Açılar Özelliği
Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir. Yani, \( A + B = 180^\circ \).
Adım 2: Denklemi Kurma
Verilen açıları denklemde yerine yazalım:
\( (4x + 10^\circ) + (5x - 20^\circ) = 180^\circ \)
Adım 3: Denklemi Çözme
x'li terimleri ve sabit terimleri bir araya getirelim:
\( 9x - 10^\circ = 180^\circ \)
Her iki tarafa 10° ekleyelim:
\( 9x = 190^\circ \)
Her iki tarafı 9'a bölelim:
\( x = \frac{190}{9}^\circ \)
Adım 4: A Açısının Ölçüsünü Bulma
Şimdi x'in değerini A açısının formülünde yerine koyalım:
\( A = 4x + 10^\circ \)
\( A = 4 \left( \frac{190}{9} \right)^\circ + 10^\circ \)
\( A = \frac{760}{9}^\circ + \frac{90}{9}^\circ \)
\( A = \frac{850}{9}^\circ \)
Sonuç:
- x'in değeri \( \frac{190}{9}^\circ \)
- A açısının ölçüsü \( \frac{850}{9}^\circ \)
Örnek 7:
Birbirine paralel iki demiryolu hattı düşünün. Bu hatları kesen bir köprü ayağı (kesen doğru) bulunmaktadır. Köprü ayağının bir tarafında, demiryolu hattının üzerinde kalan açının ölçüsü 60°'dir. Bu açının iç ters açısı ile yöndeş açısının toplamı kaç derecedir? 🌉
Çözüm:
Bu soruda hem iç ters açıyı hem de yöndeş açıyı bulup toplamamız gerekiyor. Hadi başlayalım! 💡
Adım 1: Verilen Bilgi
Verilen 60°'lik açının iç ters açısı, paralel hatların arasında ve köprü ayağının diğer tarafında kalan açıdır. İç ters açılar eşit olduğu için bu açı da 60°'dir.
Adım 3: Yöndeş Açıyı Bulma
Verilen 60°'lik açının yöndeş açısı ise, diğer paralel hattın (d₂) üzerinde ve köprü ayağının aynı tarafında kalan açıdır. Yöndeş açılar eşit olduğu için bu açı da 60°'dir.
Adım 4: Toplamı Hesaplama
İstenen, iç ters açı ile yöndeş açının toplamıdır:
\( 60^\circ (\text{iç ters}) + 60^\circ (\text{yöndeş}) = 120^\circ \)
Sonuç: İç ters açı ile yöndeş açının toplamı 120°'dir. ✅
Adım 1: Verilen Bilgi
- İki paralel demiryolu hattı (d₁ || d₂).
- Bir köprü ayağı (kesen k).
- d₁'in üzerinde ve k'nin bir tarafında kalan açı = 60°.
Verilen 60°'lik açının iç ters açısı, paralel hatların arasında ve köprü ayağının diğer tarafında kalan açıdır. İç ters açılar eşit olduğu için bu açı da 60°'dir.
Adım 3: Yöndeş Açıyı Bulma
Verilen 60°'lik açının yöndeş açısı ise, diğer paralel hattın (d₂) üzerinde ve köprü ayağının aynı tarafında kalan açıdır. Yöndeş açılar eşit olduğu için bu açı da 60°'dir.
Adım 4: Toplamı Hesaplama
İstenen, iç ters açı ile yöndeş açının toplamıdır:
\( 60^\circ (\text{iç ters}) + 60^\circ (\text{yöndeş}) = 120^\circ \)
Sonuç: İç ters açı ile yöndeş açının toplamı 120°'dir. ✅
Örnek 8:
İki paralel doğru (d₁ ve d₂) bir kesen (k) ile kesiliyor. Kesenin sol tarafında, d₁ doğrusunun altında kalan açının ölçüsü 130°'dir. Bu açının karşı durumlu açısını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için karşı durumlu açılar arasındaki ilişkiyi kullanacağız. 🤔
Adım 1: Paralel Doğrular ve Kesen
d₁ || d₂ ve bir kesen k var.
Adım 2: Verilen Açı ve Konumu
Kesenin sol tarafında, d₁'in altında kalan açı 130°.
Adım 3: Karşı Durumlu Açının Konumu
Bu 130°'lik açının karşı durumlu açısı, paralel doğruların arasında ve kesenin diğer tarafında (sağ tarafında) yer alan açıdır.
Adım 4: Karşı Durumlu Açılar Özelliği
Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir. Bu nedenle, bilmediğimiz karşı durumlu açıyı bulmak için 180°'den verilen açıyı çıkarırız.
Hesaplama: \( 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)
Sonuç: Karşı durumlu açının ölçüsü 50°'dir. 📌
Adım 1: Paralel Doğrular ve Kesen
d₁ || d₂ ve bir kesen k var.
Adım 2: Verilen Açı ve Konumu
Kesenin sol tarafında, d₁'in altında kalan açı 130°.
Adım 3: Karşı Durumlu Açının Konumu
Bu 130°'lik açının karşı durumlu açısı, paralel doğruların arasında ve kesenin diğer tarafında (sağ tarafında) yer alan açıdır.
Adım 4: Karşı Durumlu Açılar Özelliği
Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir. Bu nedenle, bilmediğimiz karşı durumlu açıyı bulmak için 180°'den verilen açıyı çıkarırız.
Hesaplama: \( 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)
Sonuç: Karşı durumlu açının ölçüsü 50°'dir. 📌
Örnek 9:
Bir inşaat alanında, birbirine paralel iki kolon (d₁ ve d₂) arasına bir kiriş (kesen doğru) yerleştiriliyor. Kirişin bir tarafında, kolonun dış kısmında ve kirişin üstünde kalan açının ölçüsü 75°'dir. Bu açının iç ters açısı ile karşı durumlu açısının toplamı kaç derecedir? 🏗️
Çözüm:
Bu soruda hem iç ters açıyı hem de karşı durumlu açıyı bulup toplamamız gerekiyor. Hadi başlayalım! 🚀
Adım 1: Durumu Anlama
Verilen 75°'lik açının iç ters açısı, kolonların arasında ve kirişin diğer tarafında kalan açıdır. İç ters açılar eşit olduğu için bu açı da 75°'dir.
Adım 3: Karşı Durumlu Açıyı Bulma
Şimdi 75°'lik açının karşı durumlu açısını bulalım. Öncelikle, 75°'lik açının yanındaki bütünler açıyı bulalım. Bütünler açı \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur. Bu 105°'lik açı, kolonların arasında ve kirişin aynı tarafında kalan açıdır. Bunun karşı durumlu açısı ise, kolonların arasında ve kirişin diğer tarafında kalan açıdır. Karşı durumlu açıların toplamı 180° olduğundan, bu açıyı bulmak için 180°'den 105°'yi çıkarırız: \( 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
Alternatif Yol (Daha Kolay):
Verilen 75°'lik açının yöndeş açısı, diğer kolonun dışında ve kirişin aynı tarafında kalan açıdır ve bu da 75°'dir. Bu 75°'lik açının karşı durumlu açısı ise, kolonların arasında ve kirişin diğer tarafında kalan açıdır. Karşı durumlu açıların toplamı 180° olduğundan, bu açı \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur.
Adım 4: Toplamı Hesaplama
İstenen, iç ters açı ile karşı durumlu açının toplamıdır.
İç ters açı = 75°
Karşı durumlu açı = 105°
Toplam = \( 75^\circ + 105^\circ = 180^\circ \)
Sonuç: İç ters açı ile karşı durumlu açının toplamı 180°'dir. ✅
Adım 1: Durumu Anlama
- İki paralel kolon (d₁ || d₂).
- Kiriş (kesen k).
- Kolonun dışında, kirişin üstünde kalan açı = 75°.
Verilen 75°'lik açının iç ters açısı, kolonların arasında ve kirişin diğer tarafında kalan açıdır. İç ters açılar eşit olduğu için bu açı da 75°'dir.
Adım 3: Karşı Durumlu Açıyı Bulma
Şimdi 75°'lik açının karşı durumlu açısını bulalım. Öncelikle, 75°'lik açının yanındaki bütünler açıyı bulalım. Bütünler açı \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur. Bu 105°'lik açı, kolonların arasında ve kirişin aynı tarafında kalan açıdır. Bunun karşı durumlu açısı ise, kolonların arasında ve kirişin diğer tarafında kalan açıdır. Karşı durumlu açıların toplamı 180° olduğundan, bu açıyı bulmak için 180°'den 105°'yi çıkarırız: \( 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
Alternatif Yol (Daha Kolay):
Verilen 75°'lik açının yöndeş açısı, diğer kolonun dışında ve kirişin aynı tarafında kalan açıdır ve bu da 75°'dir. Bu 75°'lik açının karşı durumlu açısı ise, kolonların arasında ve kirişin diğer tarafında kalan açıdır. Karşı durumlu açıların toplamı 180° olduğundan, bu açı \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur.
Adım 4: Toplamı Hesaplama
İstenen, iç ters açı ile karşı durumlu açının toplamıdır.
İç ters açı = 75°
Karşı durumlu açı = 105°
Toplam = \( 75^\circ + 105^\circ = 180^\circ \)
Sonuç: İç ters açı ile karşı durumlu açının toplamı 180°'dir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/6-sinif-matematik-iki-paralel-dogru-ve-bir-kesen-ile-olusturulan-acilar/sorular