İki doğrunun kesişmesiyle oluşan açılardan biri \( 55^\circ \) ise, bu açı ile ters (karşıt) açının ölçüsü kaç derecedir? ↔️
Ters (Karşıt) Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu, köşeleri ortak ve birbirine zıt yönlü olan açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Çözüm ve Açıklama
Ters (karşıt) açıların özellikleri gereği ölçüleri birbirine eşittir.
Bize verilen açının ölçüsü \( 55^\circ \) olduğuna göre:
Ters açının ölçüsü de \( 55^\circ \) olur. ✅
Bu durumda oluşan diğer iki açı da birbirine eşittir ve toplamları \( 360^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 250^\circ \) olur. Bu diğer iki açının her biri \( 250^\circ / 2 = 125^\circ \) olur. Yani, \( 55^\circ \) açısının komşu bütünleri \( 125^\circ \) olur.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Üçgende Açılar (Temel)
Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \( 70^\circ \), B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) ise, C açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Üçgenin İç Açıları Toplamı: Herhangi bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir.
Çözüm ve Açıklama
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için, bilinen iki açının toplamını \( 180^\circ \) den çıkararak üçüncü açıyı bulabiliriz.
A açısı = \( 70^\circ \) B açısı = \( 50^\circ \) Toplam bilinen açılar = \( 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ \)
C açısını bulmak için:
\( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
Yani, C açısının ölçüsü \( 60^\circ \) olur. ✅
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Yol Tarifi ve Açılar
Ali, evinden okula gitmek için önce doğuya doğru 100 metre yürüyor. Sonra kuzeye doğru 90 derecelik bir dönüş yaparak 50 metre yürüyor. Ali'nin ilk yürüdüğü yön ile son yürüdüğü yön arasındaki açısal fark kaç derecedir? 🗺️
Yönler: Kuzey, Güney, Doğu, Batı birbirine diktir (90 derece).
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda Ali'nin yürüdüğü yönler arasındaki ilişkiyi anlamalıyız.
Ali ilk olarak doğuya doğru yürüyor.
Daha sonra kuzeye doğru 90 derecelik bir dönüş yapıyor.
Harita üzerinde düşündüğümüzde, doğu ile kuzey yönleri birbirine diktir. Yani aralarındaki açı \( 90^\circ \) dir.
Ali'nin yaptığı 90 derecelik dönüş, zaten doğu yönünden kuzey yönüne geçiş için gereken açıdır.
Dolayısıyla, ilk yürüdüğü yön (doğu) ile son yürüdüğü yön (kuzey) arasındaki açısal fark \( 90^\circ \)'dir. ✅
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Saat ve Açılar
Bir duvar saatinin akrep (saat kolu) 3'ü gösterirken, yelkovan (dakika kolu) ise 12'yi göstermektedir. Bu iki kol arasındaki en küçük açı kaç derecedir? ⏰
Saat Kadranı: Bir saat kadranı \( 360^\circ \) dır ve 12 eşit parçaya bölünmüştür.
Çözüm ve Açıklama
Bir saatte 12 saat dilimi bulunur ve bu dilimler \( 360^\circ \) 'yi oluşturur.
Her bir saat dilimi arasındaki açı:
\( 360^\circ \div 12 = 30^\circ \)
Saat 3'ü gösterdiğinde akrep tam olarak 3'ün üzerinde, yelkovan ise 12'nin üzerindedir.
Bu iki konum arasındaki saat dilimi sayısı:
3'ten 12'ye kadar 3 saat dilimi vardır (12'den 1'e, 1'den 2'ye, 2'den 3'e).
Bu dilimlerin oluşturduğu toplam açı:
\( 3 \times 30^\circ = 90^\circ \)
Yani, saat 3'ü gösterdiğinde akrep ve yelkovan arasındaki en küçük açı \( 90^\circ \) olur. ✅
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Paralel Doğrular ve Yöndeş Açılar
Birbirine paralel iki doğruyu kesen bir üçüncü doğru (kesen) çizilmiştir. Kesenin alt tarafta, paralel doğruların sağ tarafında kalan açının ölçüsü \( 110^\circ \) ise, bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 📏
Yöndeş Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan, kesenin aynı tarafında bulunan ve birbirine benzer konumdaki açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
Çözüm ve Açıklama
Soruyu daha iyi anlamak için paralel doğruları ve keseni hayal edelim:
İki paralel doğru (d1 ve d2) ve bunları kesen bir doğru (k) var.
Kesenin (k) alt tarafında ve paralel doğruların (d1, d2) sağ tarafında kalan açı \( 110^\circ \).
Yöndeş Açılar kuralına göre, kesenin aynı tarafında ve paralel doğruların aynı yönüne bakan açılar eşittir.
Bu durumda, verilen \( 110^\circ \) 'lik açı ile aynı yöne bakan ve paralel doğruların üzerinde kalan açı da \( 110^\circ \) olur. ✅
Ek Bilgi: Eğer bize sorulan açı \( 110^\circ \) 'lik açının iç ters açısı olsaydı, o da \( 110^\circ \) olurdu. Eğer karşıt (ters) açısı olsaydı, o da \( 110^\circ \) olurdu. Eğer komşu bütünleri sorulsaydı, \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olurdu.
6. Sınıf Matematik: Doğruda ve üçgende açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Temel Açılar ve Tanımları
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir dar açıyı ifade eder?
A) \( 180^\circ \)
B) \( 90^\circ \)
C) \( 45^\circ \)
D) \( 190^\circ \)
💡 Dar Açı: Ölçüsü \( 0^\circ \) ile \( 90^\circ \) arasında olan açılardır.
Çözüm:
Doğru cevabı bulmak için açı tanımlarını hatırlayalım:
Dar Açı: Ölçüsü \( 0^\circ \) ile \( 90^\circ \) arasında olan açıdır.
Dik Açı: Ölçüsü tam olarak \( 90^\circ \) olan açıdır.
Geniş Açı: Ölçüsü \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında olan açıdır.
Doğru Açı: Ölçüsü tam olarak \( 180^\circ \) olan açıdır.
Şıklara baktığımızda:
A) \( 180^\circ \) bir doğru açıdır.
B) \( 90^\circ \) bir dik açıdır.
C) \( 45^\circ \) hem \( 0^\circ \) hem de \( 90^\circ \) arasında olduğu için bir dar açıdır. ✅
D) \( 190^\circ \) bir geniş açıdan daha büyüktür (tam açıya yakındır).
Bu nedenle doğru cevap C şıkkıdır.
Örnek 2:
Tamamlayıcı Açılar
Bir açının ölçüsü \( 30^\circ \) ise, bu açının tümlerinin ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Tümler Açılar: Toplamları \( 90^\circ \) olan iki açıya denir.
Çözüm:
Tümler açıların toplamı \( 90^\circ \) olmalıdır. Bize verilen açının ölçüsü \( 30^\circ \).
İki doğrunun kesişmesiyle oluşan açılardan biri \( 55^\circ \) ise, bu açı ile ters (karşıt) açının ölçüsü kaç derecedir? ↔️
Ters (Karşıt) Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu, köşeleri ortak ve birbirine zıt yönlü olan açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Çözüm:
Ters (karşıt) açıların özellikleri gereği ölçüleri birbirine eşittir.
Bize verilen açının ölçüsü \( 55^\circ \) olduğuna göre:
Ters açının ölçüsü de \( 55^\circ \) olur. ✅
Bu durumda oluşan diğer iki açı da birbirine eşittir ve toplamları \( 360^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 250^\circ \) olur. Bu diğer iki açının her biri \( 250^\circ / 2 = 125^\circ \) olur. Yani, \( 55^\circ \) açısının komşu bütünleri \( 125^\circ \) olur.
Örnek 5:
Üçgende Açılar (Temel)
Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \( 70^\circ \), B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) ise, C açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Üçgenin İç Açıları Toplamı: Herhangi bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir.
Çözüm:
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için, bilinen iki açının toplamını \( 180^\circ \) den çıkararak üçüncü açıyı bulabiliriz.
A açısı = \( 70^\circ \) B açısı = \( 50^\circ \) Toplam bilinen açılar = \( 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ \)
C açısını bulmak için:
\( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
Yani, C açısının ölçüsü \( 60^\circ \) olur. ✅
Örnek 6:
Yol Tarifi ve Açılar
Ali, evinden okula gitmek için önce doğuya doğru 100 metre yürüyor. Sonra kuzeye doğru 90 derecelik bir dönüş yaparak 50 metre yürüyor. Ali'nin ilk yürüdüğü yön ile son yürüdüğü yön arasındaki açısal fark kaç derecedir? 🗺️
Yönler: Kuzey, Güney, Doğu, Batı birbirine diktir (90 derece).
Çözüm:
Bu soruda Ali'nin yürüdüğü yönler arasındaki ilişkiyi anlamalıyız.
Ali ilk olarak doğuya doğru yürüyor.
Daha sonra kuzeye doğru 90 derecelik bir dönüş yapıyor.
Harita üzerinde düşündüğümüzde, doğu ile kuzey yönleri birbirine diktir. Yani aralarındaki açı \( 90^\circ \) dir.
Ali'nin yaptığı 90 derecelik dönüş, zaten doğu yönünden kuzey yönüne geçiş için gereken açıdır.
Dolayısıyla, ilk yürüdüğü yön (doğu) ile son yürüdüğü yön (kuzey) arasındaki açısal fark \( 90^\circ \)'dir. ✅
Örnek 7:
Saat ve Açılar
Bir duvar saatinin akrep (saat kolu) 3'ü gösterirken, yelkovan (dakika kolu) ise 12'yi göstermektedir. Bu iki kol arasındaki en küçük açı kaç derecedir? ⏰
Saat Kadranı: Bir saat kadranı \( 360^\circ \) dır ve 12 eşit parçaya bölünmüştür.
Çözüm:
Bir saatte 12 saat dilimi bulunur ve bu dilimler \( 360^\circ \) 'yi oluşturur.
Her bir saat dilimi arasındaki açı:
\( 360^\circ \div 12 = 30^\circ \)
Saat 3'ü gösterdiğinde akrep tam olarak 3'ün üzerinde, yelkovan ise 12'nin üzerindedir.
Bu iki konum arasındaki saat dilimi sayısı:
3'ten 12'ye kadar 3 saat dilimi vardır (12'den 1'e, 1'den 2'ye, 2'den 3'e).
Bu dilimlerin oluşturduğu toplam açı:
\( 3 \times 30^\circ = 90^\circ \)
Yani, saat 3'ü gösterdiğinde akrep ve yelkovan arasındaki en küçük açı \( 90^\circ \) olur. ✅
Örnek 8:
Paralel Doğrular ve Yöndeş Açılar
Birbirine paralel iki doğruyu kesen bir üçüncü doğru (kesen) çizilmiştir. Kesenin alt tarafta, paralel doğruların sağ tarafında kalan açının ölçüsü \( 110^\circ \) ise, bu açıyla yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 📏
Yöndeş Açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan, kesenin aynı tarafında bulunan ve birbirine benzer konumdaki açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
Çözüm:
Soruyu daha iyi anlamak için paralel doğruları ve keseni hayal edelim:
İki paralel doğru (d1 ve d2) ve bunları kesen bir doğru (k) var.
Kesenin (k) alt tarafında ve paralel doğruların (d1, d2) sağ tarafında kalan açı \( 110^\circ \).
Yöndeş Açılar kuralına göre, kesenin aynı tarafında ve paralel doğruların aynı yönüne bakan açılar eşittir.
Bu durumda, verilen \( 110^\circ \) 'lik açı ile aynı yöne bakan ve paralel doğruların üzerinde kalan açı da \( 110^\circ \) olur. ✅
Ek Bilgi: Eğer bize sorulan açı \( 110^\circ \) 'lik açının iç ters açısı olsaydı, o da \( 110^\circ \) olurdu. Eğer karşıt (ters) açısı olsaydı, o da \( 110^\circ \) olurdu. Eğer komşu bütünleri sorulsaydı, \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) olurdu.