💡 6. Sınıf Matematik: Doğal sayılarla işlemler, çarpanlar ve katlar, kümeler Çözümlü Örnekler

54 sayısının çarpanlarını bulmak için, 54'ü kalansız bölen doğal sayıları belirlemeliyiz. 💡

• 1 x 54 = 54
• 2 x 27 = 54
• 3 x 18 = 54
• 6 x 9 = 54

Bu durumda 54 sayısının çarpanları şunlardır: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. ✅

Bir sayının katlarını bulmak için o sayıyı doğal sayılarla (1, 2, 3, ...) çarparız. ➕
12 sayısının ilk 5 katı şunlardır:

• 12 x 1 = 12
• 12 x 2 = 24
• 12 x 3 = 36
• 12 x 4 = 48
• 12 x 5 = 60

Dolayısıyla 12 sayısının ilk 5 katı 12, 24, 36, 48, 60'tır. 👉

İki kümenin birleşimi, her iki kümede bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümedir. Elemanlar tekrarlı yazılmaz. 🤝

• A kümesindeki elemanlar: 1, 2, 3, 4, 5
• B kümesindeki elemanlar: 3, 4, 5, 6, 7

A ∪ B kümesi, bu elemanların tamamını içerir: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. ✅

EBOB'u bulmak için her iki sayının çarpanlarını listeleriz ve ortak olan en büyük sayıyı seçeriz. 🧐

• 48'in çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
• 60'ın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Ortak çarpanlar: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Bu ortak çarpanların en büyüğü 12'dir. Yani EBOB(48, 60) = 12. 📌

EKOK'u bulmak için her iki sayının katlarını listeleriz ve ortak olan en küçük sayıyı belirleriz. 🚀

• 36'nın katları: 36, 72, 108, 144, 180, 216, ...
• 45'in katları: 45, 90, 135, 180, 225, ...

Ortak katların en küçüğü 180'dir. Yani EKOK(36, 45) = 180. 🎉

Bu soruda, 72 sayısının çarpanlarını bulmamız gerekiyor. Çünkü paketlerdeki elma sayısı, 72'yi kalansız bölen bir sayı olmalıdır. En fazla kaçar adetlik paket sorulduğu için, 72'nin en büyük çarpanını bulmalıyız. 🍎

• 72'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Bu çarpanlar, manavın elmalarını kaçar adetlik paketlere ayırabileceğini gösterir. En fazla kaçar adetlik paket sorulduğu için, 72'nin en büyük çarpanı olan 72'yi seçeriz. Manav, elmalarını 72 adetlik paketlere ayırabilir (yani tek bir paket yapar). ✅

Bu soruda, 150 sayısının çarpanlarını bulmamız gerekiyor. Çünkü her otobüsteki öğrenci sayısı 150'yi kalansız bölen bir sayı olmalıdır. Otobüsler en az kaç öğrenci almalıdır sorusu, 150'nin en küçük çarpanını bulmamızı gerektirir. 🚌

• 150'nin çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150

Bu çarpanlar, otobüslerin alabileceği öğrenci sayısını gösterir. En az kaç öğrenci almalıdır sorulduğu için, 150'nin en küçük çarpanı olan 1'i seçeriz. Ancak soruda "otobüsler" (çoğul) denildiği ve mantıken otobüslerin en az 2 öğrenci alması beklendiği için, 1'den sonraki en küçük çarpan olan 2'yi de düşünebiliriz. Fakat sorunun tam matematiksel karşılığı, 150'nin çarpanları arasından en küçüğünü bulmaktır. Bu durumda 1 öğrenci almalıdır. Eğer soru "en az kaç otobüs kullanılmalıdır" diye sorsaydı, o zaman 150'nin çarpanlarına göre farklı otobüs sayıları bulabilirdik. Bu soruda en az öğrenci sayısı 1'dir. 💡

Bu soruda, 28 sayısının 3 ve 4'ün ortak katı olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. Ancak soru "bu iki farklı grup büyüklüğü kullanılarak tüm öğrenciler gruplandırılabiliyorsa" dediği için, aslında 28'in hem 3'e hem de 4'e bölünebilen bir sayı olup olmadığını değil, 28'i 3'lü ve 4'lü gruplara ayırıp ayıramayacağımızı düşünmeliyiz. Bu bir deneme yanılma ve toplama-çıkarma işlemidir. 🤔
Öncelikle 28'i 3'lü gruplara ayırmaya çalışalım: 28 / 3 = 9 kalan 1. Yani 9 tane 3 kişilik grup ve 1 öğrenci artar. Bu durum tek başına yeterli değil.
Şimdi 28'i 4'lü gruplara ayırmaya çalışalım: 28 / 4 = 7 kalan 0. Yani 7 tane 4 kişilik grup. Bu da tek başına yeterli değil.
Soru, hem 3 kişilik hem de 4 kişilik grupların KULLANILABİLECEĞİ bir durumdan bahsediyor. Yani 28 öğrenciyi, bazıları 3'erli, bazıları 4'erli gruplar halinde ayırabilir miyiz? Bu, 28'i 3 ve 4'ün bir kombinasyonu ile ifade etmektir.
Örneğin, eğer 4 kişilik gruplardan birini 3 kişilik gruba dönüştürürsek, 3 öğrenci eksilir ve 2 öğrenci eklenir. Bu da mantıklı değil.
Bu tür sorularda, genel denklem şu şekildedir: \( 3x + 4y = 28 \), burada \( x \) 3 kişilik grup sayısı ve \( y \) 4 kişilik grup sayısıdır. \( x \) ve \( y \) negatif olmayan tam sayılar olmalıdır.
Deneyelim:

• Eğer \( y = 1 \) (1 tane 4 kişilik grup) ise: \( 3x + 4(1) = 28 \implies 3x = 24 \implies x = 8 \). Yani 8 tane 3 kişilik grup ve 1 tane 4 kişilik grup. Toplam öğrenci: \( (8 \times 3) + (1 \times 4) = 24 + 4 = 28 \). Bu bir olası durumdur. ✅
• Eğer \( y = 2 \) (2 tane 4 kişilik grup) ise: \( 3x + 4(2) = 28 \implies 3x + 8 = 28 \implies 3x = 20 \). \( x \) tam sayı çıkmaz.
• Eğer \( y = 3 \) (3 tane 4 kişilik grup) ise: \( 3x + 4(3) = 28 \implies 3x + 12 = 28 \implies 3x = 16 \). \( x \) tam sayı çıkmaz.
• Eğer \( y = 4 \) (4 tane 4 kişilik grup) ise: \( 3x + 4(4) = 28 \implies 3x + 16 = 28 \implies 3x = 12 \implies x = 4 \). Yani 4 tane 3 kişilik grup ve 4 tane 4 kişilik grup. Toplam öğrenci: \( (4 \times 3) + (4 \times 4) = 12 + 16 = 28 \). Bu da bir olası durumdur. ✅
• Eğer \( y = 5 \) (5 tane 4 kişilik grup) ise: \( 3x + 4(5) = 28 \implies 3x + 20 = 28 \implies 3x = 8 \). \( x \) tam sayı çıkmaz.
• Eğer \( y = 6 \) (6 tane 4 kişilik grup) ise: \( 3x + 4(6) = 28 \implies 3x + 24 = 28 \implies 3x = 4 \). \( x \) tam sayı çıkmaz.
• Eğer \( y = 7 \) (7 tane 4 kişilik grup) ise: \( 3x + 4(7) = 28 \implies 3x + 28 = 28 \implies 3x = 0 \implies x = 0 \). Yani 0 tane 3 kişilik grup ve 7 tane 4 kişilik grup. Toplam öğrenci: \( (0 \times 3) + (7 \times 4) = 0 + 28 = 28 \). Bu da bir olası durumdur. ✅

Bu iki farklı grup büyüklüğü kullanılarak tüm öğrenciler gruplandırılabileceği 3 farklı şekilde gerçekleşebilir. 🥳