💡 6. Sınıf Matematik: Çarpanlar Çözümlü Örnekler

12 sayısının doğal çarpanlarını bulmak için, 12'yi kalansız bölen tüm pozitif tam sayıları tespit etmeliyiz.

• 1 ile başlayalım: \( 1 \times 12 = 12 \). Yani 1 ve 12 çarpanlardır.
• 2 ile devam edelim: \( 2 \times 6 = 12 \). Yani 2 ve 6 çarpanlardır.
• 3 ile devam edelim: \( 3 \times 4 = 12 \). Yani 3 ve 4 çarpanlardır.
• 4'ü zaten bulduk, bu yüzden durabiliriz.

Bu durumda 12 sayısının doğal çarpanları şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ✅

30 sayısının asal çarpanlarını bulmak için, sayıyı asal çarpanlarına ayıracağız. Bunun için bölme algoritmasını kullanabiliriz.

• 30'u en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: \( 30 \div 2 = 15 \).
• 15 sayısı 2'ye bölünmez, bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 15 \div 3 = 5 \).
• 5 sayısı 3'e bölünmez, bir sonraki asal sayı olan 5'e bölelim: \( 5 \div 5 = 1 \).

Bölme işlemi 1'e ulaştığında dururuz. Bu süreçte kullandığımız asal sayılar 30'un asal çarpanlarıdır.
30'un asal çarpanları: 2, 3, 5. 👉 \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)

48 sayısının doğal çarpanlarını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.

• Asal çarpanlarına ayırma: \( 48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \).
• Bu durumda asal çarpanlarına ayrılmış hali: \( 48 = 2^4 \times 3^1 \).

Bir sayının doğal çarpan sayısını bulmak için, asal çarpanlarının üslerini birer artırıp çarparız.

• Üsler: 4 ve 1.
• Üsleri birer artırırsak: \( (4+1) \) ve \( (1+1) \).
• Çarpımları: \( (4+1) \times (1+1) = 5 \times 2 = 10 \).

Yani 48 sayısının 10 tane doğal çarpanı vardır. 🥳

Bu soruda, 36 sayısının doğal çarpanlarını bulmamız gerekiyor. Çünkü her bir çarpan, manavın portakalları paketleyebileceği farklı grup sayısını temsil eder.
36 sayısının doğal çarpanları şunlardır:

• \( 1 \times 36 = 36 \) (1 paket, her pakette 36 portakal)
• \( 2 \times 18 = 36 \) (2 paket, her pakette 18 portakal)
• \( 3 \times 12 = 36 \) (3 paket, her pakette 12 portakal)
• \( 4 \times 9 = 36 \) (4 paket, her pakette 9 portakal)
• \( 6 \times 6 = 36 \) (6 paket, her pakette 6 portakal)

Manav, portakalları 6 farklı şekilde paketleyebilir. 📦

Bu soruyu çözmek için her sayının asal çarpanlarını bulmalı ve sadece 2 ve 3'ten oluşup oluşmadığını kontrol etmeliyiz.

• 18: \( 18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2 \). Asal çarpanları 2 ve 3'tür. ✅
• 24: \( 24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \). Asal çarpanları 2 ve 3'tür. ✅
• 35: \( 35 = 5 \times 7 \). Asal çarpanları 5 ve 7'dir. Bu sayının asal çarpanları sadece 2 ve 3 değildir. ❌
• 72: \( 72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \). Asal çarpanları 2 ve 3'tür. ✅

Bu nedenle, 18, 24 ve 72 sayıları için işaretleme yapılmalıdır. 👍

Öncelikle iki basamaklı en büyük çift sayıyı bulalım.

• İki basamaklı en büyük sayı 99'dur.
• 99 tek sayıdır.
• 99'dan küçük en büyük çift sayı 98'dir.

Şimdi 98 sayısının doğal çarpan sayısını bulalım. Bunun için önce 98'i asal çarpanlarına ayırmalıyız.

• \( 98 = 2 \times 49 \)
• \( 49 = 7 \times 7 = 7^2 \)
• Yani, \( 98 = 2^1 \times 7^2 \).

Doğal çarpan sayısını bulmak için üsleri birer artırıp çarparız:

• Üsler: 1 ve 2.
• Üsleri birer artırırsak: \( (1+1) \) ve \( (2+1) \).
• Çarpımları: \( (1+1) \times (2+1) = 2 \times 3 = 6 \).

İki basamaklı en büyük çift sayının (98'in) 6 tane doğal çarpanı vardır. ✨

Bu problemde, 28 sayısının 1'den büyük doğal çarpanlarını bulmalıyız. Her bir çarpan, öğretmenin oluşturabileceği grup sayısını temsil eder.
28 sayısının doğal çarpanları şunlardır:

• \( 1 \times 28 = 28 \) (1 grup, 28 öğrenci)
• \( 2 \times 14 = 28 \) (2 grup, 14 öğrenci)
• \( 4 \times 7 = 28 \) (4 grup, 7 öğrenci)

Soruda grup sayısının 1'den fazla olması gerektiği belirtilmiş. Bu nedenle 1 çarpanını dikkate almayız.
Öğretmen, öğrencileri 3 farklı şekilde gruplandırabilir (2'şerli, 4'erli veya 7'şerli gruplar oluşturabilir). 👨‍👩‍👧‍👦

Her bir seçeneği tek tek inceleyerek doğru cevabı bulalım:

• A) 15 sayısının asal çarpanları 3 ve 5'tir.
  \( 15 = 3 \times 5 \). Bu ifade doğrudur. ✅
• B) 100 sayısının 9 tane doğal çarpanı vardır.
  \( 100 = 2^2 \times 5^2 \). Çarpan sayısı: \( (2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9 \). Bu ifade doğrudur. ✅
• C) 40 sayısının çarpanlarından biri 8'dir.
  \( 40 \div 8 = 5 \). Yani 8, 40'ın bir çarpanıdır. Bu ifade doğrudur. ✅
• D) 50 sayısının tek doğal çarpanı sayısı çifttir.
  50 sayısının asal çarpanları \( 50 = 2^1 \times 5^2 \). Çarpan sayısı: \( (1+1) \times (2+1) = 2 \times 3 = 6 \). Çarpanları bulalım: 1, 2, 5, 10, 25, 50. Tek çarpanları: 1, 5, 25. Tek doğal çarpan sayısı 3'tür. 3 çift bir sayı değildir. Bu ifade yanlıştır. ❌

Yanlış olan ifade D seçeneğidir. 🧐