💡 6. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve katlar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
12 sayısının çarpanlarını bulunuz. 💡
Çarpanlar, bir sayıyı kalansız bölen doğal sayılardır.
Çözüm ve Açıklama
12 sayısının çarpanlarını bulmak için, 12'yi kalansız bölen tüm doğal sayıları sırasıyla kontrol edelim:
\( 12 \div 1 = 12 \) 👉 1 ve 12 çarpanlardır.
\( 12 \div 2 = 6 \) 👉 2 ve 6 çarpanlardır.
\( 12 \div 3 = 4 \) 👉 3 ve 4 çarpanlardır.
\( 12 \div 4 = 3 \) 👉 4 ve 3'ü zaten bulduk.
Bu nedenle, 12 sayısının çarpanları şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ✅
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
20 sayısının katlarını bulunuz. 🚀
Katlar, bir sayının kendisiyle pozitif tam sayıların çarpımı sonucu elde edilen sayılardır.
Çözüm ve Açıklama
20 sayısının ilk birkaç katını bulalım:
\( 20 \times 1 = 20 \)
\( 20 \times 2 = 40 \)
\( 20 \times 3 = 60 \)
\( 20 \times 4 = 80 \)
\( 20 \times 5 = 100 \)
Yani, 20 sayısının katları: 20, 40, 60, 80, 100, ... (sonsuza kadar devam eder). 📌
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
18 ve 24 sayılarının ortak bölenlerini bulunuz. 🤔
Ortak bölenler, iki veya daha fazla sayıyı kalansız bölen ortak sayılardır.
Çözüm ve Açıklama
Önce 18'in çarpanlarını bulalım:
18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Şimdi 24'ün çarpanlarını bulalım:
24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
İki sayının ortak bölenleri, her iki listede de bulunan sayılardır:
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
6 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz. ✨
En küçük ortak kat, iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
Çözüm ve Açıklama
6'nın katlarını yazalım:
6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
8'in katlarını yazalım:
8, 16, 24, 32, 40, ...
Her iki sayının ortak katları arasında en küçüğü 24'tür.
Bu nedenle, 6 ve 8'in en küçük ortak katı (EKOK) 24'tür. 💡
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir manav, elindeki portakalları 3'erli, 4'erli ve 6'şarlı gruplara ayırdığında hiç portakal artmıyor. 🍊
Bu manavın elinde en az kaç portakal olabilir?
Çözüm ve Açıklama
Manavın elindeki portakal sayısı, hem 3'ün, hem 4'ün, hem de 6'nın katı olmalıdır. En az sayıda portakal istediğimiz için bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, ...
4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, ...
6'nın katları: 6, 12, 18, 24, ...
Bu üç sayının ortak katlarının en küçüğü 12'dir.
Yani, manavın elinde en az 12 portakal olabilir. ✅
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir otobüs firması, seferlerini 40 dakikada bir ve 60 dakikada bir yapan iki farklı otobüs tipi kullanmaktadır. 🚌
Bu iki otobüs tipi aynı anda hareket ettikten sonra, tekrar aynı anda hareket etmeleri için en az kaç dakika geçmesi gerekir?
Çözüm ve Açıklama
Otobüslerin tekrar aynı anda hareket etmesi için geçen süre, hem 40 dakikanın hem de 60 dakikanın ortak bir katı olmalıdır. En az süreyi sorduğu için en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
40'ın katları: 40, 80, 120, 160, ...
60'ın katları: 60, 120, 180, ...
Her iki sayının ortak katlarının en küçüğü 120'dir.
Bu nedenle, otobüsler en az 120 dakika sonra tekrar aynı anda hareket ederler. ⏰
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir kutudaki bilyeler 5'erli gruplandığında 2 bilye artıyor, 7'şerli gruplandığında ise 2 bilye artıyor. 🔵
Bu kutuda en az kaç bilye olabilir?
Çözüm ve Açıklama
Kutudaki bilye sayısı, hem 5'in hem de 7'nin katından 2 fazla olmalıdır.
Önce 5 ve 7'nin en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:
5 ve 7 aralarında asal sayılar olduğu için EKOK'ları çarpımlarına eşittir: \( 5 \times 7 = 35 \).
Bu ortak katın üzerine artan bilye sayısını ekleriz:
En az bilye sayısı = \( (5 \times 7) + 2 = 35 + 2 = 37 \).
Yani, kutuda en az 37 bilye olabilir. 👉
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 🔍
Asal çarpanlar, bir sayıyı oluşturan ve sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır.
Çözüm ve Açıklama
120 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için bölme işlemi yaparız:
\( 120 \div 2 = 60 \)
\( 60 \div 2 = 30 \)
\( 30 \div 2 = 15 \)
\( 15 \div 3 = 5 \)
\( 5 \div 5 = 1 \)
Bölme işlemi sonucunda elde ettiğimiz asal sayılar şunlardır: 2, 2, 2, 3, 5.
Bu nedenle, 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. ✅
6. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve katlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
12 sayısının çarpanlarını bulunuz. 💡
Çarpanlar, bir sayıyı kalansız bölen doğal sayılardır.
Çözüm:
12 sayısının çarpanlarını bulmak için, 12'yi kalansız bölen tüm doğal sayıları sırasıyla kontrol edelim:
\( 12 \div 1 = 12 \) 👉 1 ve 12 çarpanlardır.
\( 12 \div 2 = 6 \) 👉 2 ve 6 çarpanlardır.
\( 12 \div 3 = 4 \) 👉 3 ve 4 çarpanlardır.
\( 12 \div 4 = 3 \) 👉 4 ve 3'ü zaten bulduk.
Bu nedenle, 12 sayısının çarpanları şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ✅
Örnek 2:
20 sayısının katlarını bulunuz. 🚀
Katlar, bir sayının kendisiyle pozitif tam sayıların çarpımı sonucu elde edilen sayılardır.
Çözüm:
20 sayısının ilk birkaç katını bulalım:
\( 20 \times 1 = 20 \)
\( 20 \times 2 = 40 \)
\( 20 \times 3 = 60 \)
\( 20 \times 4 = 80 \)
\( 20 \times 5 = 100 \)
Yani, 20 sayısının katları: 20, 40, 60, 80, 100, ... (sonsuza kadar devam eder). 📌
Örnek 3:
18 ve 24 sayılarının ortak bölenlerini bulunuz. 🤔
Ortak bölenler, iki veya daha fazla sayıyı kalansız bölen ortak sayılardır.
Çözüm:
Önce 18'in çarpanlarını bulalım:
18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Şimdi 24'ün çarpanlarını bulalım:
24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
İki sayının ortak bölenleri, her iki listede de bulunan sayılardır:
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6. ✅
Örnek 4:
6 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz. ✨
En küçük ortak kat, iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
Çözüm:
6'nın katlarını yazalım:
6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
8'in katlarını yazalım:
8, 16, 24, 32, 40, ...
Her iki sayının ortak katları arasında en küçüğü 24'tür.
Bu nedenle, 6 ve 8'in en küçük ortak katı (EKOK) 24'tür. 💡
Örnek 5:
Bir manav, elindeki portakalları 3'erli, 4'erli ve 6'şarlı gruplara ayırdığında hiç portakal artmıyor. 🍊
Bu manavın elinde en az kaç portakal olabilir?
Çözüm:
Manavın elindeki portakal sayısı, hem 3'ün, hem 4'ün, hem de 6'nın katı olmalıdır. En az sayıda portakal istediğimiz için bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, ...
4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, ...
6'nın katları: 6, 12, 18, 24, ...
Bu üç sayının ortak katlarının en küçüğü 12'dir.
Yani, manavın elinde en az 12 portakal olabilir. ✅
Örnek 6:
Bir otobüs firması, seferlerini 40 dakikada bir ve 60 dakikada bir yapan iki farklı otobüs tipi kullanmaktadır. 🚌
Bu iki otobüs tipi aynı anda hareket ettikten sonra, tekrar aynı anda hareket etmeleri için en az kaç dakika geçmesi gerekir?
Çözüm:
Otobüslerin tekrar aynı anda hareket etmesi için geçen süre, hem 40 dakikanın hem de 60 dakikanın ortak bir katı olmalıdır. En az süreyi sorduğu için en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
40'ın katları: 40, 80, 120, 160, ...
60'ın katları: 60, 120, 180, ...
Her iki sayının ortak katlarının en küçüğü 120'dir.
Bu nedenle, otobüsler en az 120 dakika sonra tekrar aynı anda hareket ederler. ⏰
Örnek 7:
Bir kutudaki bilyeler 5'erli gruplandığında 2 bilye artıyor, 7'şerli gruplandığında ise 2 bilye artıyor. 🔵
Bu kutuda en az kaç bilye olabilir?
Çözüm:
Kutudaki bilye sayısı, hem 5'in hem de 7'nin katından 2 fazla olmalıdır.
Önce 5 ve 7'nin en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:
5 ve 7 aralarında asal sayılar olduğu için EKOK'ları çarpımlarına eşittir: \( 5 \times 7 = 35 \).
Bu ortak katın üzerine artan bilye sayısını ekleriz:
En az bilye sayısı = \( (5 \times 7) + 2 = 35 + 2 = 37 \).
Yani, kutuda en az 37 bilye olabilir. 👉
Örnek 8:
120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 🔍
Asal çarpanlar, bir sayıyı oluşturan ve sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır.
Çözüm:
120 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için bölme işlemi yaparız:
\( 120 \div 2 = 60 \)
\( 60 \div 2 = 30 \)
\( 30 \div 2 = 15 \)
\( 15 \div 3 = 5 \)
\( 5 \div 5 = 1 \)
Bölme işlemi sonucunda elde ettiğimiz asal sayılar şunlardır: 2, 2, 2, 3, 5.
Bu nedenle, 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. ✅