🎓 6. Sınıf
📚 6. Sınıf Matematik
💡 6. Sınıf Matematik: Asal Sayılar Çözümlü Örnekler
6. Sınıf Matematik: Asal Sayılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır?
A) 9
B) 11
C) 15
D) 21
💡 Asal Sayı Nedir? Sadece 1'e ve kendisine tam bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
💡 Asal Sayı Nedir? Sadece 1'e ve kendisine tam bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
Çözüm:
- Öncelikle asal sayının tanımını hatırlayalım: Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılar asal sayıdır.
- Şimdi şıklardaki sayıları inceleyelim:
- A) 9: 1, 3 ve 9'a bölünür. (3 tane böleni var)
- B) 11: Sadece 1'e ve 11'e bölünür. (2 tane böleni var)
- C) 15: 1, 3, 5 ve 15'e bölünür. (4 tane böleni var)
- D) 21: 1, 3, 7 ve 21'e bölünür. (4 tane böleni var)
- Bu durumda, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen tek sayı 11'dir.
Örnek 2:
1 ile 20 arasındaki asal sayıları bulunuz.
Çözüm:
- 1 ile 20 arasındaki sayıları listeleyelim: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
- Şimdi bu sayılardan asal olanları teker teker kontrol edelim:
- 2: Sadece 1 ve 2'ye bölünür. (Asaldır)
- 3: Sadece 1 ve 3'e bölünür. (Asaldır)
- 4: 1, 2, 4'e bölünür. (Asal değildir)
- 5: Sadece 1 ve 5'e bölünür. (Asaldır)
- 6: 1, 2, 3, 6'ya bölünür. (Asal değildir)
- 7: Sadece 1 ve 7'ye bölünür. (Asaldır)
- 8: 1, 2, 4, 8'e bölünür. (Asal değildir)
- 9: 1, 3, 9'a bölünür. (Asal değildir)
- 10: 1, 2, 5, 10'a bölünür. (Asal değildir)
- 11: Sadece 1 ve 11'e bölünür. (Asaldır)
- 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12'ye bölünür. (Asal değildir)
- 13: Sadece 1 ve 13'e bölünür. (Asaldır)
- 14: 1, 2, 7, 14'e bölünür. (Asal değildir)
- 15: 1, 3, 5, 15'e bölünür. (Asal değildir)
- 16: 1, 2, 4, 8, 16'ya bölünür. (Asal değildir)
- 17: Sadece 1 ve 17'ye bölünür. (Asaldır)
- 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18'e bölünür. (Asal değildir)
- 19: Sadece 1 ve 19'a bölünür. (Asaldır)
- 1'in asal sayı olmadığını unutmayın. En küçük asal sayı 2'dir.
Örnek 3:
50 sayısının asal çarpanları nelerdir?
👉 Asal Çarpan Nedir? Bir sayıyı oluşturan ve asal sayı olan çarpanlara asal çarpan denir.
👉 Asal Çarpan Nedir? Bir sayıyı oluşturan ve asal sayı olan çarpanlara asal çarpan denir.
Çözüm:
- 50 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye çalışalım.
- 50 sayısı çift olduğu için 2'ye bölünür: \( 50 \div 2 = 25 \)
- Şimdi 25 sayısını kontrol edelim. 25 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e de bölünmez.
- 25 sayısı 5'e bölünür: \( 25 \div 5 = 5 \)
- Son olarak 5 sayısını kontrol edelim. 5 sayısı 5'e bölünür: \( 5 \div 5 = 1 \)
- Bölme işlemi 1'e ulaştığında dururuz.
- Bu işlemde kullandığımız asal sayılar 2 ve 5'tir.
- Yani 50 sayısının asal çarpanları 2 ve 5'tir.
- Bunu şu şekilde de gösterebiliriz: \( 50 = 2 \times 5 \times 5 \) veya \( 50 = 2 \times 5^2 \)
Örnek 4:
İki basamaklı en küçük asal sayı ile iki basamaklı en büyük asal sayının toplamı kaçtır?
Çözüm:
✅ Sonuç: İki basamaklı en küçük asal sayı (11) ile iki basamaklı en büyük asal sayının (97) toplamı 108'dir.
- Öncelikle iki basamaklı en küçük asal sayıyı bulalım.
- İki basamaklı sayılar 10'dan başlar.
- 10: 1, 2, 5, 10'a bölünür. (Asal değil)
- 11: Sadece 1 ve 11'e bölünür. (Asaldır)
- Demek ki iki basamaklı en küçük asal sayı 11'dir.
- Şimdi iki basamaklı en büyük asal sayıyı bulalım.
- İki basamaklı en büyük sayı 99'dur.
- 99: 1, 3, 9, 11, 33, 99'a bölünür. (Asal değil)
- 98: Çift sayıdır, 2'ye bölünür. (Asal değil)
- 97: Bu sayıyı kontrol ettiğimizde, 1'den ve kendisinden başka böleni olmadığını görürüz. (Asaldır)
- Demek ki iki basamaklı en büyük asal sayı 97'dir.
- Şimdi bu iki sayıyı toplayalım: \( 11 + 97 = 108 \)
✅ Sonuç: İki basamaklı en küçük asal sayı (11) ile iki basamaklı en büyük asal sayının (97) toplamı 108'dir.
Örnek 5:
Bir sepetteki elmalar, 3'erli gruplandığında her seferinde 2 elma artıyor. 5'erli gruplandığında ise her seferinde 3 elma artıyor. Sepetteki elma sayısı 30'dan az olduğuna göre, sepette kaç elma olabilir?
💡 Bu tür sorularda sayının hem 3'e bölümünden kalanı hem de 5'e bölümünden kalanını dikkate almalıyız.
💡 Bu tür sorularda sayının hem 3'e bölümünden kalanı hem de 5'e bölümünden kalanını dikkate almalıyız.
Çözüm:
- Soruda verilen bilgilere göre, sepetteki elma sayısını \(x\) ile gösterelim.
- 1. Bilgi: Elmalar 3'erli gruplandığında 2 elma artıyor. Bu şu anlama gelir: \( x \div 3 \) işleminin kalanı 2'dir.
- Bu şartı sağlayan sayılar: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, ...
- 2. Bilgi: Elmalar 5'erli gruplandığında 3 elma artıyor. Bu şu anlama gelir: \( x \div 5 \) işleminin kalanı 3'tür.
- Bu şartı sağlayan sayılar: 3, 8, 13, 18, 23, 28, ...
- Şimdi her iki şartı da aynı anda sağlayan ve 30'dan az olan sayıları bulalım.
- Her iki listede de ortak olan sayılara bakalım: 8, 23.
- Bu sayılar 30'dan azdır.
Örnek 6:
Bir manav, elindeki portakalları 7'şerli paketlediğinde hiç artmıyor. Aynı portakalları 11'erli paketlediğinde ise her seferinde 5 portakal artıyor. Manavın elinde en az kaç portakal vardır?
📌 Bu problem, asal sayıların bölünebilme kuralları ile ilgilidir.
📌 Bu problem, asal sayıların bölünebilme kuralları ile ilgilidir.
Çözüm:
- Manavın elindeki portakal sayısını \( P \) ile gösterelim.
- 1. Bilgi: Portakallar 7'şerli paketlendiğinde hiç artmıyor. Bu, \( P \) sayısının 7'nin bir katı olduğu anlamına gelir.
- Yani \( P \), 7'nin katları olabilir: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, ...
- 2. Bilgi: Portakallar 11'erli paketlendiğinde 5 portakal artıyor. Bu, \( P \) sayısının 11'e bölümünden kalanın 5 olduğu anlamına gelir.
- Şimdi 7'nin katları arasından 11'e bölündüğünde 5 kalanını veren sayıyı bulalım:
- 7: \( 7 \div 11 \) kalan 7 (olmaz)
- 14: \( 14 \div 11 \) kalan 3 (olmaz)
- 21: \( 21 \div 11 \) kalan 10 (olmaz)
- 28: \( 28 \div 11 \) kalan 6 (olmaz)
- 35: \( 35 \div 11 \) kalan 2 (olmaz)
- 42: \( 42 \div 11 \) kalan 9 (olmaz)
- 49: \( 49 \div 11 \) kalan 5 (olur!)
- En az portakal sayısını sorduğu için ilk bulduğumuz sayı yeterlidir.
Örnek 7:
30 ile 40 arasındaki asal sayılar hangileridir?
Çözüm:
✅ Sonuç: 30 ile 40 arasındaki asal sayılar 31 ve 37'dir.
- 30 ile 40 arasındaki sayıları listeleyelim: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39.
- Şimdi bu sayılardan asal olanları kontrol edelim:
- 31: Sadece 1 ve 31'e bölünür. (Asaldır)
- 32: Çift sayıdır, 2'ye bölünür. (Asal değildir)
- 33: 3'e ve 11'e bölünür. (Asal değildir)
- 34: Çift sayıdır, 2'ye bölünür. (Asal değildir)
- 35: 5'e ve 7'ye bölünür. (Asal değildir)
- 36: Çift sayıdır, 2'ye bölünür. (Asal değildir)
- 37: Sadece 1 ve 37'ye bölünür. (Asaldır)
- 38: Çift sayıdır, 2'ye bölünür. (Asal değildir)
- 39: 3'e ve 13'e bölünür. (Asal değildir)
✅ Sonuç: 30 ile 40 arasındaki asal sayılar 31 ve 37'dir.
Örnek 8:
100 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözüm:
- 100 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam edelim.
- 100 çift sayıdır, 2'ye bölünür: \( 100 \div 2 = 50 \)
- Elde ettiğimiz 50 sayısı da çift olduğu için tekrar 2'ye bölünür: \( 50 \div 2 = 25 \)
- Şimdi 25 sayısını kontrol edelim. 25, 2'ye veya 3'e bölünmez.
- 25 sayısı 5'e bölünür: \( 25 \div 5 = 5 \)
- Son olarak 5 sayısı yine 5'e bölünür: \( 5 \div 5 = 1 \)
- Bölme işlemi 1'e ulaştı.
- Bu işlemde kullandığımız asal sayılar 2 ve 5'tir.
- 100 sayısını asal çarpanları şeklinde yazalım: \( 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
- Bunu üslü ifade şeklinde de gösterebiliriz: \( 100 = 2^2 \times 5^2 \)
Örnek 9:
Ardışık iki asal sayının toplamı 16'dır. Bu iki asal sayının çarpımı kaçtır?
💡 Ardışık Asal Sayı: Aralarında başka asal sayı olmayan iki asal sayı demektir.
💡 Ardışık Asal Sayı: Aralarında başka asal sayı olmayan iki asal sayı demektir.
Çözüm:
- Ardışık iki asal sayının toplamının 16 olduğunu biliyoruz.
- Toplamın tek sayı (16) olması için, sayılardan birinin çift, diğerinin ise tek olması gerekir.
- Tek çift asal sayı sadece 2'dir.
- O halde, sayılardan biri 2 olmalıdır.
- Şimdi diğer asal sayıyı bulmak için toplamdan 2'yi çıkaralım: \( 16 - 2 = 14 \)
- Bulduğumuz 14 sayısı asal mıdır? Hayır, 14 sayısı 2'ye ve 7'ye bölünebildiği için asal değildir.
- Bu durum bir çelişki yaratıyor. Tekrar düşünelim.
- Toplamın çift olması için ya iki tek sayının toplamı ya da iki çift sayının toplamı olmalıdır.
- İki çift sayının toplamı her zaman çifttir. Ancak 2'den başka çift asal sayı yoktur. Eğer iki tane 2'yi toplarsak 4 elde ederiz, 16 değil.
- Bu durumda, tek çift asal sayı olan 2'yi kullanmak zorundayız.
- Eğer sayılardan biri 2 ise, diğeri 14 olmalıydı ama 14 asal değil.
- Peki, acaba soruda bir hata mı var? Hayır, soruyu dikkatle tekrar okuyalım. "Ardışık iki asal sayının toplamı 16'dır."
- Tekrar deneyelim. Asal sayıları ve toplamlarını kontrol edelim:
- 2 + 3 = 5 (Tek)
- 3 + 5 = 8 (Çift)
- 5 + 7 = 12 (Çift)
- 7 + 11 = 18 (Çift)
- 11 + 13 = 24 (Çift)
- Gördüğümüz gibi, 2 dışındaki tüm asal sayılar tektir. İki tek sayının toplamı her zaman çifttir.
- Eğer toplam 16 ise ve sayılarımız tek olsaydı, örneğin \( x + y = 16 \) olmalıydı.
- Ancak, ardışık asal sayılar arasında 2'den sonraki tüm sayılar tek olduğu için, bu iki tek sayının toplamı 16 olamaz.
- Tekrar ilk mantığımıza dönelim: Toplamın çift olması için ya iki tek sayının toplamı ya da iki çift sayının toplamı gerekir.
- Tek çift asal sayı 2'dir. Eğer sayılardan biri 2 ise, diğeri 14 olmalıydı ama 14 asal değil.
- Bu soruda bir yanılgı var gibi görünüyor. LGS seviyesinde bu tür bir soru gelmez. Ancak varsayımsal olarak devam edelim.
- Eğer soruda "ardışık" kelimesi yerine "herhangi iki asal sayının toplamı 16'dır" denseydi, o zaman 3 ve 13 asal sayıları olabilirdi (3+13=16). Bu durumda çarpımları \( 3 \times 13 = 39 \) olurdu.
- Ancak soruda "ardışık" denmiş. Bu durumda, 2'den başka çift asal sayı olmadığı için ve iki tek asal sayının toplamı her zaman çift olacağı için, tek çift asal sayı olan 2'yi kullanmak zorundayız.
- Eğer sayılardan biri 2 ise, diğeri 14 olmalıydı. Ancak 14 asal sayı değildir.
- Bu nedenle, bu koşulları sağlayan ardışık iki asal sayı bulunmamaktadır.
- Sorunun orijinalinde bir hata olabilir veya "ardışık" kelimesi farklı bir anlamda kullanılmış olabilir.
- Ancak standart matematik tanımına göre, bu koşulları sağlayan ardışık iki asal sayı yoktur.
- Eğer soruyu "iki asal sayının toplamı 16'dır" şeklinde anlarsak, bu sayılar 3 ve 13 olurdu. Bu durumda çarpımları \( 3 \times 13 = 39 \) olurdu.
- Sorunun "ardışık" kelimesi nedeniyle bu şekilde çözülmesi bekleniyor:
- Tek çift asal sayı 2'dir.
- Diğer tüm asal sayılar tektir.
- İki tek sayının toplamı çifttir.
- Eğer iki asal sayının toplamı 16 (çift) ise, bu sayılardan biri çift olmalıdır (yani 2).
- Eğer sayılardan biri 2 ise, diğeri \( 16 - 2 = 14 \) olmalıdır.
- Ancak 14 asal sayı değildir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/6-sinif-matematik-asal-sayilar/sorular