💡 6. Sınıf Matematik: Asal Sayılar Ve Çarpanlar Çözümlü Örnekler

Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. 💡

• 15: 1, 3, 5, 15'e bölünür. Asal değildir.
• 17: Sadece 1'e ve 17'ye bölünür. Asaldır. ✅
• 21: 1, 3, 7, 21'e bölünür. Asal değildir.
• 23: Sadece 1'e ve 23'e bölünür. Asaldır. ✅
• 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30'a bölünür. Asal değildir.

Sonuç olarak 17 ve 23 asal sayılardır. 👉

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için o sayıyı asal sayılara bölerek ilerleriz. 🧐

• 36'yı en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: \( 36 \div 2 = 18 \)
• 18'i tekrar 2'ye bölelim: \( 18 \div 2 = 9 \)
• 9, 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 9 \div 3 = 3 \)
• 3, 3'e bölünür: \( 3 \div 3 = 1 \)

Bölme işlemi 1'e ulaştığında dururuz. Bölme işleminde kullandığımız asal sayılar 36'nın asal çarpanlarıdır.
36'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. 📌

Önce 48'in asal çarpanlarını bulalım:

• \( 48 \div 2 = 24 \)
• \( 24 \div 2 = 12 \)
• \( 12 \div 2 = 6 \)
• \( 6 \div 2 = 3 \)
• \( 3 \div 3 = 1 \)

Kullandığımız asal çarpanlar 2 (dört kere) ve 3'tür.
Bu durumda 48 sayısını şu şekilde yazabiliriz: \( 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
Üslü ifade şeklinde de gösterebiliriz: \( 48 = 2^4 \times 3 \)
Bu, 48'in asal çarpanlarının çarpımıdır. 👍

İki basamaklı en küçük asal sayıyı bulalım. 10 asal değildir (2 ve 5'e bölünür). 11 sadece 1'e ve 11'e bölünür. O halde iki basamaklı en küçük asal sayı 11'dir. 🚀
Şimdi iki basamaklı en büyük asal sayıyı bulalım. 99 asal değildir (3, 9, 11, 33'e bölünür). 98 asal değildir (2'ye bölünür). 97'yi kontrol edelim. 97'yi 2, 3, 5, 7 gibi küçük asal sayılara böldüğümüzde tam bölünmez. 97 sadece 1'e ve kendisine bölünür. O halde iki basamaklı en büyük asal sayı 97'dir. 🌟
Bu iki sayının toplamı: \( 11 + 97 = 108 \)
Toplamları 108'dir. 💯

Bu tür problemler, sayının belirli bir sayıya bölümünden kalanı ifade eder.
Elma sayısına E diyelim.

• E sayısının 3'e bölümünden kalan 2'dir. Yani \( E \equiv 2 \pmod{3} \). Bu, E sayısının 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, ... gibi sayılar olabileceği anlamına gelir.
• E sayısının 4'e bölümünden kalan 3'tür. Yani \( E \equiv 3 \pmod{4} \). Bu, E sayısının 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, ... gibi sayılar olabileceği anlamına gelir.

Her iki koşulu da sağlayan sayıları bulalım. Ortak olan sayılar 11, 23, 35, 47, ... şeklindedir.
Bu sayılar, 12'nin katlarından 1 eksik sayılardır (12'nin katı + 11 gibi düşünebiliriz, veya 12'nin katından 1 eksik olarak da görülebilir: \( 12k - 1 \)).
Sepetteki elma sayısı 50'den az olduğuna göre, bu ortak sayılardan 50'den küçük en büyük sayıyı bulmalıyız.
Ortak sayılarımız: 11, 23, 35, 47.
50'den küçük en büyük ortak sayı 47'dir. ✅

Bu soruda, hem 6'nın hem de 8'in ortak bir katını bulmamız gerekiyor. Eşit sayıda sabun almak istediğimiz için, en az kaç paket alacaklarını bulmak adına bu sayıların En Küçük Ortak Katı'nı (EKOK) hesaplamalıyız. 🛒
6 ve 8'in EKOK'unu bulalım:

• 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
• 8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, ...

Her iki listenin ilk ortak katı 24'tür. Bu, toplamda 24 adet sabun alacakları anlamına gelir. 💯
Şimdi paket sayılarını bulalım:

• A marka sabunlar 6'lı paketlerde: \( 24 \div 6 = 4 \) paket
• B marka sabunlar 8'li paketlerde: \( 24 \div 8 = 3 \) paket

Bu kişi en az 4 paket A marka ve 3 paket B marka sabun almalıdır. 👉

"Özel Sayılar" sadece 2 ve 3'ün kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabiliyor. Bu sayılar asal çarpan olarak sadece 2 ve 3 içerebilir. 🚀
100'den küçük "Özel Sayılar"ı bulmak için 2'nin ve 3'ün kuvvetlerini deneyerek çarpımlarını kontrol edelim:

• Sadece 2'nin kuvvetleri: \( 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64 \). ( \( 2^7=128 \) > 100) - 6 tane.
• Sadece 3'ün kuvvetleri: \( 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81 \). ( \( 3^5=243 \) > 100) - 4 tane.
• 2 ve 3'ün kuvvetlerinin çarpımları:
• \( 2^1 \times 3^1 = 6 \)
• \( 2^2 \times 3^1 = 12 \)
• \( 2^3 \times 3^1 = 24 \)
• \( 2^4 \times 3^1 = 48 \)
• \( 2^5 \times 3^1 = 96 \)
• \( 2^1 \times 3^2 = 18 \)
• \( 2^2 \times 3^2 = 36 \)
• \( 2^3 \times 3^2 = 72 \)
• \( 2^1 \times 3^3 = 54 \)
• \( 2^2 \times 3^3 = 108 \) > 100 (Bu ve sonrası 100'den büyük)
Bu çarpımlardan 100'den küçük olanlar: 6, 12, 24, 48, 96, 18, 36, 72, 54. - 9 tane.

Ayrıca 1 sayısı da \( 2^0 \times 3^0 \) olarak düşünülebilir ve bu da bir "Özel Sayı"dır. 1'i de eklemeliyiz.
Toplam "Özel Sayı" sayısı = (Sadece 2'nin kuvvetleri) + (Sadece 3'ün kuvvetleri) + (2 ve 3'ün karışımı) + (1)
Toplam = 6 + 4 + 9 + 1 = 20 tane. 🧐

Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölen doğal sayılardır. 🔢
50'yi kalansız bölen sayıları bulalım:

• 1, çünkü her sayının çarpanıdır: \( 50 \div 1 = 50 \)
• 2, çünkü 50 çift sayıdır: \( 50 \div 2 = 25 \)
• 5, çünkü sonu 0 ile bitiyor: \( 50 \div 5 = 10 \)
• 10, çünkü 50'nin sonu 0: \( 50 \div 10 = 5 \)
• 25, çünkü \( 2 \times 25 = 50 \): \( 50 \div 25 = 2 \)
• 50, çünkü her sayının kendisi de çarpanıdır: \( 50 \div 50 = 1 \)

Ayrıca 50'nin asal çarpanları 2 ve 5'tir. Bu asal çarpanları ve bunların çarpımlarını da kontrol edebiliriz. \( 2 \times 5 = 10 \).
50'nin çarpanları sırasıyla şunlardır: 1, 2, 5, 10, 25, 50. ✅

Bu soruda, hem 12'nin hem de 18'in ortak bir bölenini bulmamız gerekiyor. Paketlerin mümkün olan en büyük boyutta olmasını istediğimiz için, bu sayıların En Büyük Ortak Bölen'ini (EBOB) hesaplamalıyız. 📦
12 ve 18'in EBOB'unu bulalım:

• 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Her iki listenin ortak olan en büyük çarpanı 6'dır. 💯
Bu, pastanecinin kekleri ve kurabiyeleri en fazla 6'şar adetlik paketlere ayırabileceği anlamına gelir.

• Kekler için: \( 12 \div 6 = 2 \) paket
• Kurabiyeler için: \( 18 \div 6 = 3 \) paket

Pastaneci en fazla 6'şar adetlik paketler hazırlayabilir. 👉

Önce 72'nin asal çarpanlarını bulalım:

• \( 72 \div 2 = 36 \)
• \( 36 \div 2 = 18 \)
• \( 18 \div 2 = 9 \)
• \( 9 \div 3 = 3 \)
• \( 3 \div 3 = 1 \)

72'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür.
Bu asal çarpanların toplamı: \( 2 + 3 = 5 \)
72 sayısının asal çarpanlarının toplamı 5'tir. ➕