💡 6. Sınıf Matematik: Asal sayılar ve asal çarpanlar Çözümlü Örnekler

Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. 1'den 20'ye kadar olan sayıları inceleyelim:

• 1: Asal değildir.
• 2: Asaldır (1 ve 2'ye bölünür).
• 3: Asaldır (1 ve 3'e bölünür).
• 4: Asal değildir (1, 2, 4'e bölünür).
• 5: Asaldır (1 ve 5'e bölünür).
• 6: Asal değildir (1, 2, 3, 6'ya bölünür).
• 7: Asaldır (1 ve 7'ye bölünür).
• 8: Asal değildir (1, 2, 4, 8'e bölünür).
• 9: Asal değildir (1, 3, 9'a bölünür).
• 10: Asal değildir (1, 2, 5, 10'a bölünür).
• 11: Asaldır (1 ve 11'e bölünür).
• 12: Asal değildir (1, 2, 3, 4, 6, 12'ye bölünür).
• 13: Asaldır (1 ve 13'e bölünür).
• 14: Asal değildir (1, 2, 7, 14'e bölünür).
• 15: Asal değildir (1, 3, 5, 15'e bölünür).
• 16: Asal değildir (1, 2, 4, 8, 16'ya bölünür).
• 17: Asaldır (1 ve 17'ye bölünür).
• 18: Asal değildir (1, 2, 3, 6, 9, 18'e bölünür).
• 19: Asaldır (1 ve 19'a bölünür).
• 20: Asal değildir (1, 2, 4, 5, 10, 20'ye bölünür).

Bu sayılar arasında asal olanlar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19'dur. ✅ Toplamda 8 tane asal sayı vardır.

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Bunu yapmanın en kolay yolu, sayıyı sırayla en küçük asal sayılardan başlayarak bölmektir.
36 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• 36 ÷ 2 = 18
• 18 ÷ 2 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

Bu durumda 36 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2 \times 2 \times 3 \times 3 \) veya \( 2^2 \times 3^2 \) şeklindedir. 💡
Dolayısıyla, 36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.

Öncelikle 100 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor.

• 100 ÷ 2 = 50
• 50 ÷ 2 = 25
• 25 ÷ 5 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

100 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2 \times 2 \times 5 \times 5 \) veya \( 2^2 \times 5^2 \) şeklindedir. ✅
Bu sayının asal çarpanları 2 ve 5'tir. Şimdi bu asal çarpanları toplayalım: \( 2 + 5 = 7 \).
Yani, 100 sayısının asal çarpanlarının toplamı 7'dir.

Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. 💡
Çift sayılar ise 2'ye tam bölünebilen sayılardır.
Şimdi çift sayıları ve asal olma durumlarını inceleyelim:

• 2: Hem çifttir hem de sadece 1 ve 2'ye bölünebildiği için asaldır.
• 4: Çifttir ancak 1, 2 ve 4'e bölünebildiği için asal değildir.
• 6: Çifttir ancak 1, 2, 3 ve 6'ya bölünebildiği için asal değildir.

Görüldüğü gibi, 2'den büyük tüm çift sayılar 2'ye bölünebildikleri için asal olamazlar. Bu nedenle, en küçük çift asal sayı 2'dir. 👉

Soruda verilen bilgilere göre, sepetteki elma sayısı 30 ile 40 arasında ve aynı zamanda bir asal sayıdır. 🧐
30 ile 40 arasındaki sayıları listeleyelim:
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39
Şimdi bu sayılardan hangilerinin asal sayı olduğunu bulalım:

• 31: Asaldır (sadece 1 ve 31'e bölünür).
• 32: Asal değildir (2'ye bölünür).
• 33: Asal değildir (3'e bölünür).
• 34: Asal değildir (2'ye bölünür).
• 35: Asal değildir (5'e bölünür).
• 36: Asal değildir (2'ye bölünür).
• 37: Asaldır (sadece 1 ve 37'ye bölünür).
• 38: Asal değildir (2'ye bölünür).
• 39: Asal değildir (3'e bölünür).

Bu aralıktaki asal sayılar 31 ve 37'dir. Ancak soruda "bir asal sayıdır" denildiği için, bu iki sayıdan biri doğru cevaptır. Soruda verilen bilgilerle tek bir cevap belirlenemez. Eğer soruda ek bir bilgi olsaydı (örneğin, "elma sayısı 35'ten büyüktür" gibi), o zaman tek bir cevaba ulaşabilirdik. Bu haliyle, cevap 31 veya 37 olabilir. 🤷‍♀️ (Not: Bu tür sorularda genellikle tek bir doğru cevap olacak şekilde ek bilgiler verilir. Bu örnekte, iki olası cevap bulunmaktadır.)

Pastanede satılan keklerin fiyatları 15 TL, 24 TL ve 31 TL'dir. Bu fiyatlardan asal olanı bulalım:

• 15: Asal değildir (3 ve 5'e bölünür).
• 24: Asal değildir (2'ye bölünür).
• 31: Asaldır (sadece 1 ve 31'e bölünür).

Dolayısıyla, 31 TL asal sayıdır. 💡
Bu durumun günlük hayattaki anlamı şudur: Eğer bir ürünün fiyatı asal bir sayı ise, bu fiyatın çarpanları sadece 1 ve ürünün kendi fiyatıdır. Bu, fiyatın daha basit birimlere bölünemeyeceği anlamına gelir. Örneğin, 31 TL'lik bir kekin fiyatını, daha küçük tam sayılarla çarpılarak elde etmek mümkün değildir. Bu, bazı durumlarda ürünün fiyatlandırmasında veya promosyon stratejilerinde bir etken olabilir.

Öncelikle 72 sayısını asal çarpanlarına ayırmalıyız.

• 72 ÷ 2 = 36
• 36 ÷ 2 = 18
• 18 ÷ 2 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \) veya \( 2^3 \times 3^2 \) şeklindedir. ✅
72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Şimdi bu asal çarpanların çarpımını bulalım: \( 2 \times 3 = 6 \).
Soruda bizden, asal çarpanlarının çarpımı ile sayının kendisinin toplamı isteniyor.
Yani: \( 6 + 72 = 78 \).
Sonuç olarak, 72 sayısının asal çarpanlarının çarpımı ile kendisinin toplamı 78'dir.

Öncelikle iki basamaklı en büyük asal sayıyı bulalım. İki basamaklı sayılar 10'dan 99'a kadardır.
99 asal değildir (3'e bölünür).
98 asal değildir (2'ye bölünür).
97 asal mıdır? 97'yi kendisinden küçük asal sayılara (2, 3, 5, 7) bölmeyi deneyelim. 97 bu sayılara tam bölünmez. Dolayısıyla, iki basamaklı en büyük asal sayı 97'dir. 🧐
Şimdi de iki basamaklı en küçük asal sayıyı bulalım. İki basamaklı sayılar 10'dan başlar.
10 asal değildir (2'ye bölünür).
11 asal mıdır? Evet, 11 sadece 1'e ve 11'e bölünür. Dolayısıyla, iki basamaklı en küçük asal sayı 11'dir. ✅
Son olarak, bu iki sayının farkını bulalım:
\( 97 - 11 = 86 \).
İki basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının farkı 86'dır. 👉