💡 6. Sınıf Matematik: Asal Çarpanlar Çözümlü Örnekler

12 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• En küçük asal sayı olan 2'den başlayalım. 12, 2'ye tam bölünür: \( 12 \div 2 = 6 \)
• Elde ettiğimiz 6 sayısı da 2'ye tam bölünür: \( 6 \div 2 = 3 \)
• Şimdi elimizde 3 sayısı var. 3, 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 3 \div 3 = 1 \)
• Bölüm 1 olana kadar devam ettik.

Bu durumda, 12'nin asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2 \times 2 \times 3 \) veya üslü ifadeyle \( 2^2 \times 3 \) şeklinde yazılır. ✅

30 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için şu adımları izleyelim:

• 30'u en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: \( 30 \div 2 = 15 \)
• Elde ettiğimiz 15 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 15 \div 3 = 5 \)
• Elde ettiğimiz 5 sayısı 3'e bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5'e bölelim: \( 5 \div 5 = 1 \)
• Bölüm 1'e ulaştık.

Dolayısıyla, 30'un asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Üslü ifadeyle \( 2 \times 3 \times 5 \) şeklinde gösterilir. 💡

Öncelikle 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 72 \div 2 = 36 \)
• \( 36 \div 2 = 18 \)
• \( 18 \div 2 = 9 \)
• \( 9 \div 3 = 3 \)
• \( 3 \div 3 = 1 \)

Bu durumda 72'nin asal çarpanlarına ayrılmış şekli \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \) yani \( 2^3 \times 3^2 \) olur. Soruda verilen \( a^x \times b^y \) formatına göre, \( a = 2 \), \( x = 3 \), \( b = 3 \), \( y = 2 \) olur. Şimdi istenen toplama işlemini yapalım: \( a + b + x + y = 2 + 3 + 3 + 2 = 10 \). ✅

Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5 ise, bu sayı bu asal sayıların çarpımının kuvvetleri şeklinde yazılabilir. Yani sayı \( 2^a \times 3^b \times 5^c \) formundadır. Sayıyı en büyük yapmak için mümkün olan en büyük kuvvetleri kullanmalıyız, ancak sayının 100'den küçük olması gerekiyor. Deneyelim:

• \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \). Bu sayı 100'den küçük.
• Kuvvetleri artırmaya çalışalım. Örneğin 2'nin kuvvetini artıralım: \( 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \). Hala 100'den küçük.
• Bir daha deneyelim: \( 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \). Bu sayı 100'den büyük. O zaman 2'nin kuvvetini 3 yapamayız.
• Şimdi 3'ün kuvvetini artıralım: \( 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90 \). Bu sayı 100'den küçük.
• Başka bir deneme: \( 2 \times 3 \times 5^2 = 2 \times 3 \times 25 = 150 \). Bu sayı 100'den büyük.

En büyük sayıyı bulmak için farklı kombinasyonları denedik. \( 2^2 \times 3 \times 5 = 60 \) ve \( 2 \times 3^2 \times 5 = 90 \) sayıları 100'den küçük. Aralarında en büyük olan 90'dır. 📌

Üretim tarihi 15.03.2023. Son kullanma tarihi, üretim tarihinden sonraki en yakın asal sayı olan gün kadar sonra olacak. 15'ten sonraki asal sayılar şunlardır: 17, 19, 23, 29, 31... Bu sayılar arasında 15'e en yakın olan asal sayı 17'dir. Yani son kullanma tarihi, üretim tarihinden 17 gün sonra olacaktır. Üretim tarihi 15 Mart. 15 Mart + 17 gün = 32 Mart. Ancak Mart ayı 31 gündür. Bu durumda 32. gün, 1 Nisan'a denk gelir. Dolayısıyla, son kullanma tarihi 1 Nisan'dır. ✅

Ali'nin 48 sayısının asal çarpanlarını bulması için şu adımları izlemesi gerekir:

• Bölme Yöntemi: Ali, 48'i en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak bölmeye başlar.
• \( 48 \div 2 = 24 \)
• \( 24 \div 2 = 12 \)
• \( 12 \div 2 = 6 \)
• \( 6 \div 2 = 3 \)
• Elde edilen 3 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e böler: \( 3 \div 3 = 1 \)
• Bölüm 1'e ulaştığı için işlem tamamlanır.

Ali, bu adımları takip ederek 48'in asal çarpanlarının 2, 2, 2, 2 ve 3 olduğunu bulur. Üslü ifadeyle \( 2^4 \times 3 \) şeklinde gösterebilir. 💡

Önce 100 sayısının asal çarpanlarını bulalım:

• \( 100 \div 2 = 50 \)
• \( 50 \div 2 = 25 \)
• \( 25 \div 5 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)

100'ün asal çarpanları 2 ve 5'tir. (Farklı asal çarpanlar soruluyor, tekrar edenler bir kere sayılır.) Şimdi 120 sayısının asal çarpanlarını bulalım:

• \( 120 \div 2 = 60 \)
• \( 60 \div 2 = 30 \)
• \( 30 \div 2 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)

120'nin asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. İki sayının farklı asal çarpanları kümesini birleştirelim: {2, 5} \( \cup \) {2, 3, 5} = {2, 3, 5}. Bu asal çarpanların toplamı: \( 2 + 3 + 5 = 10 \). ✅

Cep telefonunun fiyatı 6000 TL. Önce 6000 TL'nin asal çarpanlarını bulalım:

• \( 6000 = 600 \times 10 = (6 \times 100) \times (2 \times 5) = (2 \times 3 \times 10^2) \times (2 \times 5) \)
• \( = (2 \times 3 \times (2 \times 5)^2) \times (2 \times 5) = (2 \times 3 \times 2^2 \times 5^2) \times (2 \times 5) \)
• \( = 2^1 \times 3^1 \times 2^2 \times 5^2 \times 2^1 \times 5^1 \)
• Üsleri toplarsak: \( 2^{(1+2+1)} \times 3^1 \times 5^{(2+1)} = 2^4 \times 3^1 \times 5^3 \)

6000'in asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Kampanyaya göre indirim miktarı, bu asal çarpanların çarpımına eşittir: \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \) TL. Telefonun indirimli fiyatı: Orijinal Fiyat - İndirim Miktarı \( 6000 \, \text{TL} - 30 \, \text{TL} = 5970 \, \text{TL} \). 🚀