💡 5. Sınıf Matematik: Üçgen oluşturma Çözümlü Örnekler

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli bir ilişki olmalıdır. Bu ilişkiye üçgen eşitsizliği denir.

• Üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.
• Üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları farkından büyük olmalıdır.

Şimdi verilen kenar uzunlukları için bu kuralı kontrol edelim:

• 5 cm kenarı için: 3 cm + 4 cm = 7 cm. 5 cm < 7 cm. (Sağlıyor)
• 4 cm kenarı için: 3 cm + 5 cm = 8 cm. 4 cm < 8 cm. (Sağlıyor)
• 3 cm kenarı için: 4 cm + 5 cm = 9 cm. 3 cm < 9 cm. (Sağlıyor)

Ayrıca fark kontrolünü de yapalım:

• 5 cm kenarı için: |4 cm - 3 cm| = 1 cm. 5 cm > 1 cm. (Sağlıyor)
• 4 cm kenarı için: |5 cm - 3 cm| = 2 cm. 4 cm > 2 cm. (Sağlıyor)
• 3 cm kenarı için: |5 cm - 4 cm| = 1 cm. 3 cm > 1 cm. (Sağlıyor)

Tüm koşullar sağlandığı için, kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan bir üçgen çizilebilir. ✅

Yine üçgen eşitsizliği kuralını kontrol edelim. Bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.

• 6 cm kenarı için: 2 cm + 3 cm = 5 cm.

Burada 6 cm, 5 cm'den daha büyüktür. Yani 6 cm < 5 cm koşulu sağlanmıyor. ❌ Bu nedenle, kenar uzunlukları 2 cm, 3 cm ve 6 cm olan bir üçgen oluşturulamaz. 🚫

Üçgen eşitsizliğini kullanarak üçüncü kenarın alabileceği değerleri bulalım. Üçüncü kenara 'x' diyelim.

• Toplamdan küçük olma kuralı: x < 7 cm + 10 cm
• x < 17 cm

• Farktan büyük olma kuralı: x > |10 cm - 7 cm|
• x > 3 cm

Yani üçüncü kenar 'x', 3 cm'den büyük ve 17 cm'den küçüktür. Bu aralıkta tam sayı olarak en küçük değer 4 cm'dir. 👉 3 < 4 < 17

Üçgen eşitsizliğini kullanarak AC kenarının alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım. AC kenarına 'y' diyelim.

• Toplamdan küçük olma kuralı: y < 8 cm + 12 cm
• y < 20 cm

• Farktan büyük olma kuralı: y > |12 cm - 8 cm|
• y > 4 cm

AC kenarı 'y', 4 cm'den büyük ve 20 cm'den küçüktür. Bu aralıkta tam sayı olarak en büyük değer 19 cm'dir. 📌 4 < 19 < 20

Öncelikle Ayşe'nin elde ettiği iki eş parçanın uzunluğunu bulalım:

• 15 cm / 2 = 7.5 cm

Yani Ayşe'nin elinde 7.5 cm, 7.5 cm ve 10 cm uzunluğunda üç çubuk var. Şimdi bu çubuklarla üçgen oluşturulup oluşturulamayacağını üçgen eşitsizliği ile kontrol edelim:

• En uzun kenar kontrolü: 10 cm < 7.5 cm + 7.5 cm
• 10 cm < 15 cm (Sağlıyor)

• Diğer kenar kontrolü: 7.5 cm < 7.5 cm + 10 cm
• 7.5 cm < 17.5 cm (Sağlıyor)

Fark kontrolünü de yapalım:

• |7.5 cm - 7.5 cm| = 0 cm. 10 cm > 0 cm. (Sağlıyor)
• |10 cm - 7.5 cm| = 2.5 cm. 7.5 cm > 2.5 cm. (Sağlıyor)

Tüm koşullar sağlandığı için, Ayşe bu üç çubukla bir üçgen oluşturabilir. ✅

Bahçe çiti için kullanacağınız tahta parçalarının uzunlukları 3 m, 4 m ve 5 m'dir. Bu uzunluklarla üçgen oluşturulup oluşturulamayacağını üçgen eşitsizliği ile kontrol etmeliyiz.

• En uzun kenar kontrolü: 5 m < 3 m + 4 m
• 5 m < 7 m (Bu koşul sağlanıyor.)

Diğer kenarlar için de kontrol edelim:

• 4 m < 3 m + 5 m (4 m < 8 m - Sağlıyor)
• 3 m < 4 m + 5 m (3 m < 9 m - Sağlıyor)

Ayrıca, en uzun kenar (5 m), diğer iki kenarın farkından (4 m - 3 m = 1 m) büyük olmalıdır:

• 5 m > 1 m (Bu koşul da sağlanıyor.)

Tüm üçgen eşitsizliği koşulları sağlandığı için, bu tahta parçalarıyla sağlam bir üçgen şeklinde çit yapabilirsiniz. 👍

Üçgenin kenar uzunlukları ardışık tek sayılar olduğuna göre, bu sayılara şu şekilde temsil edebiliriz:

• En kısa kenar: x
• Ortanca kenar: x + 2
• En uzun kenar: x + 4

(Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2'dir.) Çevresi 21 cm olduğuna göre, bu kenar uzunluklarının toplamı 21 cm olmalıdır:

• x + (x + 2) + (x + 4) = 21

Denklemi çözelim:

• 3x + 6 = 21
• 3x = 21 - 6
• 3x = 15
• x = 15 / 3
• x = 5 cm

Şimdi kenar uzunluklarını bulalım:

• En kısa kenar: x = 5 cm
• Ortanca kenar: x + 2 = 5 + 2 = 7 cm
• En uzun kenar: x + 4 = 5 + 4 = 9 cm

Kontrol edelim: 5 + 7 + 9 = 21 cm. (Çevre doğru) Üçgen eşitsizliğini de kontrol edelim: 9 < 5 + 7 (9 < 12 - Sağlıyor). Bu nedenle, en uzun kenar 9 cm'dir. ✅

Marangozun elindeki 30 cm'lik tahta, üç parçaya ayrılıyor. Bu parçaların uzunlukları tam sayı ve toplamları 30 cm olmalı. Üçgen oluşturabilmek için üçgen eşitsizliği sağlanmalı. Üç parçanın uzunlukları a, b, c olsun.

• a + b + c = 30
• Üçgen eşitsizliği: a < b + c, b < a + c, c < a + b

Bu eşitsizlikleri biraz daha basitleştirebiliriz. En uzun kenarın, diğer iki kenarın toplamından küçük olması yeterlidir. Örneğin, c en uzun kenar ise c < a + b olmalı. a + b + c = 30 ise, a + b = 30 - c olur. O halde, c < 30 - c olmalı. Bu da 2c < 30, yani c < 15 demektir. Yani, üçgenin en uzun kenarı 15 cm'den küçük olmalıdır. En uzun kenarın alabileceği en büyük tam sayı değeri 14 cm'dir. En uzun kenar 14 cm ise, diğer iki kenarın toplamı 30 - 14 = 16 cm olmalıdır. Bu iki kenar 14'ten küçük olmalı ve 16'yı vermelidir. Örneğin (2, 14) olamaz çünkü 14 < 2 + 14 eşitsizliği sağlanır ama 2 < 14 + 14 sağlanır, fakat 14 < 2 + 14 olur ama 2 < 14 + 14 olur, ancak 14 en uzun kenar ise diğerleri 14'ten küçük olmalı. En uzun kenar 14 cm ise, diğer iki kenar 14'ten küçük olmalı ve toplamları 16 olmalı. Olasılıklar: (8, 8), (7, 9), (6, 10), (5, 11), (4, 12), (3, 13). Bunlardan (8,8), (7,9), (6,10), (5,11), (4,12), (3,13) üçgen oluşturur. (2,14) olmaz çünkü 14 en uzun kenar olamaz. En uzun kenar 14 cm iken olası kenar üçlüleri:

• (8, 8, 14) -> 8 < 8+14, 14 < 8+8 (14 < 16) ✅
• (7, 9, 14) -> 7 < 9+14, 9 < 7+14, 14 < 7+9 (14 < 16) ✅
• (6, 10, 14) -> 6 < 10+14, 10 < 6+14, 14 < 6+10 (14 < 16) ✅
• (5, 11, 14) -> 5 < 11+14, 11 < 5+14, 14 < 5+11 (14 < 16) ✅
• (4, 12, 14) -> 4 < 12+14, 12 < 4+14, 14 < 4+12 (14 < 16) ✅
• (3, 13, 14) -> 3 < 13+14, 13 < 3+14, 14 < 3+13 (14 < 16) ✅

Bu 6 üçgen oluşturur. Şimdi en uzun kenarın alabileceği diğer değerlere bakalım:

• En uzun kenar 13 cm ise: Diğer iki kenarın toplamı 30 - 13 = 17 cm olmalı. Bu kenarlar 13'ten küçük olmalı. Olasılıklar: (4, 13) olamaz. (5, 12), (6, 11), (7, 10), (8, 9). Bunlar 13'ten küçük olmalı. (5,12), (6,11), (7,10), (8,9) olur. 5 üçgen.
• En uzun kenar 12 cm ise: Diğer iki kenarın toplamı 30 - 12 = 18 cm olmalı. Bu kenarlar 12'den küçük olmalı. Olasılıklar: (6, 12) olamaz. (7, 11), (8, 10), (9, 9). 3 üçgen.
• En uzun kenar 11 cm ise: Diğer iki kenarın toplamı 30 - 11 = 19 cm olmalı. Bu kenarlar 11'den küçük olmalı. Olasılıklar: (8, 11) olamaz. (9, 10). 1 üçgen.

Toplam farklı üçgen sayısı = 6 (14 cm kenar için) + 5 (13 cm kenar için) + 3 (12 cm kenar için) + 1 (11 cm kenar için) = 15 farklı şekilde üçgen oluşturabilir. (Not: Bu soru 5. sınıf müfredatı için oldukça zorlayıcıdır. Genellikle bu seviyede sadece kenar uzunlukları verilip üçgen çizilip çizilemeyeceği sorulur.)