💡 5. Sınıf Matematik: Ters Açılar Ve Komşu Açılar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
📌 Aşağıda birbiriyle kesişen iki doğru gösterilmiştir. Bu doğruların oluşturduğu açılardan biri \( 50^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu \( 50^\circ \)'lik açının tam karşısında bulunan açının ölçüsü kaç derecedir?
(İpucu: Karşılıklı açılar birbirine eşittir.)
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, ters açılar kavramını anlamamızı istiyor. 💡
Birbirini kesen iki doğru, karşılıklı olarak duran dört açı oluşturur.
Bu karşılıklı açılara ters açılar denir.
Ters açıların en önemli özelliği, ölçülerinin birbirine eşit olmasıdır. ✅
Soruda verilen açı \( 50^\circ \) olduğuna göre, onun tam karşısındaki ters açının ölçüsü de aynı olacaktır.
\[ \text{Ters Açının Ölçüsü} = 50^\circ \]
Bu nedenle, \( 50^\circ \)'lik açının tam karşısında bulunan açının ölçüsü de \( 50^\circ \)'dir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir doğru parçasının üzerinde, başlangıç noktası aynı olan iki ışın çiziliyor. Bu ışınlar ve doğru parçası arasında iki komşu açı oluşuyor.
Bu açılardan biri \( 110^\circ \) ise, diğer komşu açının ölçüsü kaç derecedir?
(İpucu: Doğru açı \( 180^\circ \)'dir.)
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, komşu açılar ve doğru açı kavramlarını kullanmamızı gerektiriyor. 🤔
Aynı köşeye ve ortak bir kenara sahip olan, ancak iç bölgeleri çakışmayan açılara komşu açılar denir.
Eğer bu komşu açılar bir doğru üzerinde yan yana duruyorsa, yani bir doğru açı oluşturuyorlarsa, toplamları \( 180^\circ \) olur. 📏
Soruda verilen açılardan biri \( 110^\circ \) ve bu açılar bir doğru açı oluşturuyor.
Diğer komşu açıyı bulmak için \( 180^\circ \)'den verilen açıyı çıkarırız:
\[ \text{Diğer Komşu Açının Ölçüsü} = 180^\circ - 110^\circ \]
\[ \text{Diğer Komşu Açının Ölçüsü} = 70^\circ \]
Bu nedenle, diğer komşu açının ölçüsü \( 70^\circ \)'dir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Aşağıda A noktasında kesişen iki doğru, KL doğrusu ve MN doğrusu gösterilmiştir.
Kesişim sonucu oluşan açılardan bir tanesi \( 75^\circ \) olarak verilmiştir. Bu açı, KLM açısı değildir, varsayalım ki KAN açısı \( 75^\circ \) olsun.
Buna göre, KAN açısının komşusu olan KAM açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda hem kesişen doğruları hem de komşu açıları birlikte değerlendirmemiz gerekiyor. 🧐
KL doğrusu ve MN doğrusu A noktasında kesişiyor.
KAN açısı ve KAM açısı, A noktasında komşu açılardır ve KL doğrusu üzerinde bir doğru açı oluştururlar.
Bir doğru açının ölçüsü her zaman \( 180^\circ \)'dir. ✅
KAN açısının ölçüsü \( 75^\circ \) olarak verilmiştir. Bu açı ile KAM açısı bir doğru açı oluşturduğundan, toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır.
KAM açısının ölçüsünü bulmak için \( 180^\circ \)'den KAN açısının ölçüsünü çıkarırız:
Bu nedenle, KAN açısının komşusu olan KAM açısının ölçüsü \( 105^\circ \)'dir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki doğru birbiriyle kesiştiğinde dört açı oluşur. Bu açılardan birinin ölçüsü \( 60^\circ \) olarak veriliyor.
Bu \( 60^\circ \)'lik açının hem tersini hem de komşusunu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, hem ters açılar hem de komşu açılar kavramlarını aynı anda kullanmamızı istiyor. 🧠
Verilen açının ölçüsü \( 60^\circ \).
Ters Açıyı Bulma:
Ters açılar, kesişen doğruların karşılıklı olarak oluşturduğu açılardır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Bu nedenle, \( 60^\circ \)'lik açının tersi olan açının ölçüsü de \( 60^\circ \)'dir. ✅
Komşu Açıyı Bulma:
Komşu açılar, aynı köşeye ve ortak bir kenara sahip olan açılardır.
Eğer bir doğru üzerinde yan yana duruyorlarsa (yani bir doğru açı oluşturuyorlarsa), toplamları \( 180^\circ \) olur.
\( 60^\circ \)'lik açının komşusu olan açı, \( 60^\circ \) ile birlikte bir doğru açı oluşturur.
Bu komşu açının ölçüsünü bulmak için \( 180^\circ \)'den \( 60^\circ \)'yi çıkarırız:
\[ 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]
Bu nedenle, \( 60^\circ \)'lik açının komşusu olan açının ölçüsü \( 120^\circ \)'dir. ✅
Sonuç olarak, \( 60^\circ \)'lik açının tersi \( 60^\circ \), komşusu ise \( 120^\circ \)'dir.
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir makasın ağzı açıldığında, makasın kolları arasında ve makasın menteşe noktasında dört açı oluşur.
Eğer makasın bir kolu ile diğer kolu arasında oluşan dar açı \( 40^\circ \) ise, bu açının karşısında duran açının ölçüsü kaç derecedir? Ayrıca, bu \( 40^\circ \)'lik açının makasın kolu üzerindeki komşu açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, günlük hayatta karşılaştığımız bir nesne üzerinden ters açılar ve komşu açılar kavramlarını uygulamamızı istiyor. ✂️
Makasın açılmasıyla oluşan durum, kesişen iki doğruya benzetilebilir. Menteşe noktası, doğruların kesişim noktasıdır.
Karşısındaki Açıyı Bulma (Ters Açı):
Makasın kolları arasında oluşan \( 40^\circ \)'lik açının tam karşısında, yani diğer makas kolunun diğer tarafında oluşan açı, bu açının ters açısıdır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, karşısında duran açının ölçüsü de \( 40^\circ \)'dir. ✅
Komşu Açıyı Bulma:
Makasın bir kolu üzerindeki \( 40^\circ \)'lik açının komşusu, o kolun devamındaki diğer açıdır. Bu iki açı birlikte bir doğru açı (\( 180^\circ \)) oluşturur.
Komşu açının ölçüsünü bulmak için \( 180^\circ \)'den \( 40^\circ \)'yi çıkarırız:
\[ 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \]
Bu nedenle, \( 40^\circ \)'lik açının makasın kolu üzerindeki komşu açısının ölçüsü \( 140^\circ \)'dir. ✅
Makas örneği, ters ve komşu açıların günlük hayatta nasıl karşımıza çıktığını güzel bir şekilde gösterir.
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir duvar saatinin akrep ve yelkovanı saat 3'ü 40 geçeyi gösterirken, bu iki ibre arasında oluşan açılardan biri \( 130^\circ \) olarak ölçülmüştür. (Bu bir örnek ölçüdür, gerçek saat açısı hesaplaması 5. sınıf müfredatını aşar.)
Eğer bu \( 130^\circ \)'lik açı, akrep ve yelkovan arasındaki açılardan biriyse, aynı ibrelerin oluşturduğu diğer (dış) açının ölçüsü kaç derecedir?
(İpucu: Bir tam açı \( 360^\circ \)'dir.)
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, günlük hayattan bir örnekle açılar arasındaki ilişkiyi anlamamızı sağlıyor. 🕰️
Akrep ve yelkovan arasındaki iç açı \( 130^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki ibre, saatin merkezinde birleşerek bir tam açı oluşturur.
Bir tam açının ölçüsü her zaman \( 360^\circ \)'dir. 🔄
İç açılardan biri \( 130^\circ \) ise, diğer (dış) açıyı bulmak için tam açıdan bu iç açıyı çıkarırız:
Bu nedenle, akrep ve yelkovanın oluşturduğu diğer (dış) açının ölçüsü \( 230^\circ \)'dir.
💡 Bu örnek, komşu açılar gibi olmasa da, bir noktadaki tüm açıların toplamının \( 360^\circ \) olduğu bilgisini pekiştirir.
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Birbirini kesen iki doğru parçasının oluşturduğu dört açıdan üçü aşağıdaki gibidir:
A açısı, B açısı, C açısı ve D açısı.
A açısının ölçüsü \( 80^\circ \) olarak verilmiştir.
A açısı ile B açısı komşu açılar olup bir doğru oluşturmaktadır.
A açısı ile C açısı ters açılardır.
Buna göre, B açısının ve C açısının ölçülerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, ters ve komşu açıları aynı anda kullanarak birden fazla açıyı bulmamızı istiyor. 🎯
Verilenler:
A açısı \( = 80^\circ \)
A açısı ve B açısı komşu açılar ve bir doğru oluşturuyorlar. (Toplamları \( 180^\circ \))
A açısı ve C açısı ters açılardır. (Ölçüleri eşittir)
Şimdi adım adım B ve C açılarını bulalım:
1. B Açısını Bulma (Komşu Açı):
A açısı ve B açısı bir doğru açı oluşturduğu için toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır.
Bu durumda, B açısı \( 100^\circ \) ve C açısı \( 80^\circ \) olarak bulunur.
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir ABC üçgeninde (Bu soruda üçgenin kendisi değil, sadece bir köşesindeki açıları ve uzantıları hayal etmeliyiz.) bir doğru parçası, A köşesinden uzatılarak bir D noktasına ulaşıyor. Bu uzantı, BC kenarını kesmez, sadece A köşesinden dışarı doğru uzanır.
Eğer BAC açısının komşusu olan CAD açısının ölçüsü \( 130^\circ \) ise, BAC açısının ölçüsü kaç derecedir?
(İpucu: Bir doğru üzerindeki komşu açılar toplamı \( 180^\circ \)'dir.)
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, üçgen kavramını kullanmadan, sadece komşu açılar bilgisini pekiştirmeyi amaçlar. geometri çizimi yapmadan metinsel olarak açı ilişkisini anlamalıyız. 📏
Soruyu dikkatlice okuduğumuzda, A köşesinden bir doğru parçasının uzatıldığını ve bu uzantının bir doğru oluşturduğunu anlıyoruz. Bu doğru üzerinde BAC açısı ve CAD açısı komşu açılardır.
BAC açısı ve CAD açısı aynı köşeye (A köşesi) ve ortak bir kenara (AC kenarı) sahiptir.
Bu iki açı, bir doğru üzerinde yan yana durarak bir doğru açı oluştururlar.
Doğru açının ölçüsü \( 180^\circ \) olduğu için, BAC ve CAD açılarının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
Bu nedenle, BAC açısının ölçüsü \( 50^\circ \)'dir. ✅
5. Sınıf Matematik: Ters Açılar Ve Komşu Açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Aşağıda birbiriyle kesişen iki doğru gösterilmiştir. Bu doğruların oluşturduğu açılardan biri \( 50^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu \( 50^\circ \)'lik açının tam karşısında bulunan açının ölçüsü kaç derecedir?
(İpucu: Karşılıklı açılar birbirine eşittir.)
Çözüm:
Bu soru, ters açılar kavramını anlamamızı istiyor. 💡
Birbirini kesen iki doğru, karşılıklı olarak duran dört açı oluşturur.
Bu karşılıklı açılara ters açılar denir.
Ters açıların en önemli özelliği, ölçülerinin birbirine eşit olmasıdır. ✅
Soruda verilen açı \( 50^\circ \) olduğuna göre, onun tam karşısındaki ters açının ölçüsü de aynı olacaktır.
\[ \text{Ters Açının Ölçüsü} = 50^\circ \]
Bu nedenle, \( 50^\circ \)'lik açının tam karşısında bulunan açının ölçüsü de \( 50^\circ \)'dir.
Örnek 2:
Bir doğru parçasının üzerinde, başlangıç noktası aynı olan iki ışın çiziliyor. Bu ışınlar ve doğru parçası arasında iki komşu açı oluşuyor.
Bu açılardan biri \( 110^\circ \) ise, diğer komşu açının ölçüsü kaç derecedir?
(İpucu: Doğru açı \( 180^\circ \)'dir.)
Çözüm:
Bu soru, komşu açılar ve doğru açı kavramlarını kullanmamızı gerektiriyor. 🤔
Aynı köşeye ve ortak bir kenara sahip olan, ancak iç bölgeleri çakışmayan açılara komşu açılar denir.
Eğer bu komşu açılar bir doğru üzerinde yan yana duruyorsa, yani bir doğru açı oluşturuyorlarsa, toplamları \( 180^\circ \) olur. 📏
Soruda verilen açılardan biri \( 110^\circ \) ve bu açılar bir doğru açı oluşturuyor.
Diğer komşu açıyı bulmak için \( 180^\circ \)'den verilen açıyı çıkarırız:
\[ \text{Diğer Komşu Açının Ölçüsü} = 180^\circ - 110^\circ \]
\[ \text{Diğer Komşu Açının Ölçüsü} = 70^\circ \]
Bu nedenle, diğer komşu açının ölçüsü \( 70^\circ \)'dir.
Örnek 3:
Aşağıda A noktasında kesişen iki doğru, KL doğrusu ve MN doğrusu gösterilmiştir.
Kesişim sonucu oluşan açılardan bir tanesi \( 75^\circ \) olarak verilmiştir. Bu açı, KLM açısı değildir, varsayalım ki KAN açısı \( 75^\circ \) olsun.
Buna göre, KAN açısının komşusu olan KAM açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruda hem kesişen doğruları hem de komşu açıları birlikte değerlendirmemiz gerekiyor. 🧐
KL doğrusu ve MN doğrusu A noktasında kesişiyor.
KAN açısı ve KAM açısı, A noktasında komşu açılardır ve KL doğrusu üzerinde bir doğru açı oluştururlar.
Bir doğru açının ölçüsü her zaman \( 180^\circ \)'dir. ✅
KAN açısının ölçüsü \( 75^\circ \) olarak verilmiştir. Bu açı ile KAM açısı bir doğru açı oluşturduğundan, toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır.
KAM açısının ölçüsünü bulmak için \( 180^\circ \)'den KAN açısının ölçüsünü çıkarırız:
Bu nedenle, KAN açısının komşusu olan KAM açısının ölçüsü \( 105^\circ \)'dir.
Örnek 4:
İki doğru birbiriyle kesiştiğinde dört açı oluşur. Bu açılardan birinin ölçüsü \( 60^\circ \) olarak veriliyor.
Bu \( 60^\circ \)'lik açının hem tersini hem de komşusunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, hem ters açılar hem de komşu açılar kavramlarını aynı anda kullanmamızı istiyor. 🧠
Verilen açının ölçüsü \( 60^\circ \).
Ters Açıyı Bulma:
Ters açılar, kesişen doğruların karşılıklı olarak oluşturduğu açılardır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Bu nedenle, \( 60^\circ \)'lik açının tersi olan açının ölçüsü de \( 60^\circ \)'dir. ✅
Komşu Açıyı Bulma:
Komşu açılar, aynı köşeye ve ortak bir kenara sahip olan açılardır.
Eğer bir doğru üzerinde yan yana duruyorlarsa (yani bir doğru açı oluşturuyorlarsa), toplamları \( 180^\circ \) olur.
\( 60^\circ \)'lik açının komşusu olan açı, \( 60^\circ \) ile birlikte bir doğru açı oluşturur.
Bu komşu açının ölçüsünü bulmak için \( 180^\circ \)'den \( 60^\circ \)'yi çıkarırız:
\[ 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]
Bu nedenle, \( 60^\circ \)'lik açının komşusu olan açının ölçüsü \( 120^\circ \)'dir. ✅
Sonuç olarak, \( 60^\circ \)'lik açının tersi \( 60^\circ \), komşusu ise \( 120^\circ \)'dir.
Örnek 5:
Bir makasın ağzı açıldığında, makasın kolları arasında ve makasın menteşe noktasında dört açı oluşur.
Eğer makasın bir kolu ile diğer kolu arasında oluşan dar açı \( 40^\circ \) ise, bu açının karşısında duran açının ölçüsü kaç derecedir? Ayrıca, bu \( 40^\circ \)'lik açının makasın kolu üzerindeki komşu açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soru, günlük hayatta karşılaştığımız bir nesne üzerinden ters açılar ve komşu açılar kavramlarını uygulamamızı istiyor. ✂️
Makasın açılmasıyla oluşan durum, kesişen iki doğruya benzetilebilir. Menteşe noktası, doğruların kesişim noktasıdır.
Karşısındaki Açıyı Bulma (Ters Açı):
Makasın kolları arasında oluşan \( 40^\circ \)'lik açının tam karşısında, yani diğer makas kolunun diğer tarafında oluşan açı, bu açının ters açısıdır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, karşısında duran açının ölçüsü de \( 40^\circ \)'dir. ✅
Komşu Açıyı Bulma:
Makasın bir kolu üzerindeki \( 40^\circ \)'lik açının komşusu, o kolun devamındaki diğer açıdır. Bu iki açı birlikte bir doğru açı (\( 180^\circ \)) oluşturur.
Komşu açının ölçüsünü bulmak için \( 180^\circ \)'den \( 40^\circ \)'yi çıkarırız:
\[ 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \]
Bu nedenle, \( 40^\circ \)'lik açının makasın kolu üzerindeki komşu açısının ölçüsü \( 140^\circ \)'dir. ✅
Makas örneği, ters ve komşu açıların günlük hayatta nasıl karşımıza çıktığını güzel bir şekilde gösterir.
Örnek 6:
Bir duvar saatinin akrep ve yelkovanı saat 3'ü 40 geçeyi gösterirken, bu iki ibre arasında oluşan açılardan biri \( 130^\circ \) olarak ölçülmüştür. (Bu bir örnek ölçüdür, gerçek saat açısı hesaplaması 5. sınıf müfredatını aşar.)
Eğer bu \( 130^\circ \)'lik açı, akrep ve yelkovan arasındaki açılardan biriyse, aynı ibrelerin oluşturduğu diğer (dış) açının ölçüsü kaç derecedir?
(İpucu: Bir tam açı \( 360^\circ \)'dir.)
Çözüm:
Bu soru, günlük hayattan bir örnekle açılar arasındaki ilişkiyi anlamamızı sağlıyor. 🕰️
Akrep ve yelkovan arasındaki iç açı \( 130^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki ibre, saatin merkezinde birleşerek bir tam açı oluşturur.
Bir tam açının ölçüsü her zaman \( 360^\circ \)'dir. 🔄
İç açılardan biri \( 130^\circ \) ise, diğer (dış) açıyı bulmak için tam açıdan bu iç açıyı çıkarırız:
Bu nedenle, akrep ve yelkovanın oluşturduğu diğer (dış) açının ölçüsü \( 230^\circ \)'dir.
💡 Bu örnek, komşu açılar gibi olmasa da, bir noktadaki tüm açıların toplamının \( 360^\circ \) olduğu bilgisini pekiştirir.
Örnek 7:
Birbirini kesen iki doğru parçasının oluşturduğu dört açıdan üçü aşağıdaki gibidir:
A açısı, B açısı, C açısı ve D açısı.
A açısının ölçüsü \( 80^\circ \) olarak verilmiştir.
A açısı ile B açısı komşu açılar olup bir doğru oluşturmaktadır.
A açısı ile C açısı ters açılardır.
Buna göre, B açısının ve C açısının ölçülerini bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, ters ve komşu açıları aynı anda kullanarak birden fazla açıyı bulmamızı istiyor. 🎯
Verilenler:
A açısı \( = 80^\circ \)
A açısı ve B açısı komşu açılar ve bir doğru oluşturuyorlar. (Toplamları \( 180^\circ \))
A açısı ve C açısı ters açılardır. (Ölçüleri eşittir)
Şimdi adım adım B ve C açılarını bulalım:
1. B Açısını Bulma (Komşu Açı):
A açısı ve B açısı bir doğru açı oluşturduğu için toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır.
Bu durumda, B açısı \( 100^\circ \) ve C açısı \( 80^\circ \) olarak bulunur.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde (Bu soruda üçgenin kendisi değil, sadece bir köşesindeki açıları ve uzantıları hayal etmeliyiz.) bir doğru parçası, A köşesinden uzatılarak bir D noktasına ulaşıyor. Bu uzantı, BC kenarını kesmez, sadece A köşesinden dışarı doğru uzanır.
Eğer BAC açısının komşusu olan CAD açısının ölçüsü \( 130^\circ \) ise, BAC açısının ölçüsü kaç derecedir?
(İpucu: Bir doğru üzerindeki komşu açılar toplamı \( 180^\circ \)'dir.)
Çözüm:
Bu soru, üçgen kavramını kullanmadan, sadece komşu açılar bilgisini pekiştirmeyi amaçlar. geometri çizimi yapmadan metinsel olarak açı ilişkisini anlamalıyız. 📏
Soruyu dikkatlice okuduğumuzda, A köşesinden bir doğru parçasının uzatıldığını ve bu uzantının bir doğru oluşturduğunu anlıyoruz. Bu doğru üzerinde BAC açısı ve CAD açısı komşu açılardır.
BAC açısı ve CAD açısı aynı köşeye (A köşesi) ve ortak bir kenara (AC kenarı) sahiptir.
Bu iki açı, bir doğru üzerinde yan yana durarak bir doğru açı oluştururlar.
Doğru açının ölçüsü \( 180^\circ \) olduğu için, BAC ve CAD açılarının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.