🎓 5. Sınıf
📚 5. Sınıf Matematik
💡 5. Sınıf Matematik: Paralel ve Dik Doğrular Çözümlü Örnekler
5. Sınıf Matematik: Paralel ve Dik Doğrular Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen noktalardan hangisi, A(2, 3) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan doğru üzerinde yer alır?
A) (5, 3)
B) (2, 6)
C) (5, 6)
D) (3, 2)
Çözüm:
Bu soruda, x eksenine paralel bir doğru üzerinde bulunan noktaların ortak özelliğini bilmemiz gerekiyor. 💡
- Tanım: Bir noktadan geçen ve x eksenine paralel olan bir doğru üzerindeki tüm noktaların y koordinatları aynıdır.
- Verilen Nokta: A(2, 3) noktasının y koordinatı 3'tür.
- Sonuç: Bu nedenle, x eksenine paralel olan doğru üzerindeki her noktanın y koordinatı 3 olmalıdır.
- Seçenekleri İnceleme: Verilen seçenekler arasında y koordinatı 3 olan tek nokta A şıkkındaki (5, 3)'tür.
Örnek 2:
Birbirini dik kesen iki doğrunun kesişim noktasındaki açılardan biri 90 derecedir. Bu tür doğrulardan birinin denklemi \( y = 2x + 1 \) ise, bu doğruya dik olan bir doğrunun eğimi kaç olmalıdır?
Çözüm:
Dik doğruların eğimleri arasındaki ilişkiyi hatırlayalım. 📌
- Kural: Birbirini dik kesen iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir. Eğer bir doğrunun eğimi \( m_1 \) ise, ona dik olan doğrunun eğimi \( m_2 \) için \( m_1 \times m_2 = -1 \) olur.
- Verilen Eğim: \( y = 2x + 1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 = 2 \)'dir.
- Hesaplama: Dik olan doğrunun eğimini bulmak için \( 2 \times m_2 = -1 \) denklemini çözeriz.
- Sonuç: Her iki tarafı 2'ye bölersek, \( m_2 = -1/2 \) elde ederiz.
Örnek 3:
Bir şehir planında, birbirine paralel olan iki cadde (A ve B caddeleri) ve bu caddeleri dik kesen bir bulvar (C bulvarı) bulunmaktadır. Eğer A caddesinin y eksenine paralel olduğu biliniyorsa, B caddesi hakkında ne söylenebilir?
Çözüm:
Şehir planındaki caddelerin birbirine göre konumlarını ve verilen bilgiyi analiz edelim. 🗺️
- Verilen: A ve B caddeleri birbirine paraleldir.
- Ek Bilgi: A caddesi y eksenine paraleldir.
- Paralellik Kuralı: Paralel doğrular, aynı yöne bakarlar. Eğer bir doğru y eksenine paralelse, tüm y eksenine paralel doğrular da aynı yöne bakarlar.
- Sonuç: A caddesi y eksenine paralel olduğuna göre ve B caddesi de A caddesine paralel olduğuna göre, B caddesi de y eksenine paraleldir.
- Ek Not: C bulvarının bu iki caddeyi dik kesmesi, caddelerin birbirine göre durumunu etkilemez.
Örnek 4:
Koordinat düzleminde K(4, -2) noktasından geçen ve y eksenine paralel olan doğrunun denklemi nedir?
Çözüm:
Y eksenine paralel doğruların özelliklerini hatırlayalım. 💡
- Tanım: Bir noktadan geçen ve y eksenine paralel olan bir doğru üzerindeki tüm noktaların x koordinatları aynıdır.
- Verilen Nokta: K(4, -2) noktasının x koordinatı 4'tür.
- Sonuç: Bu nedenle, y eksenine paralel olan doğru üzerindeki her noktanın x koordinatı 4 olmalıdır.
- Denklem: Bu durum, \( x = 4 \) denklemi ile ifade edilir.
Örnek 5:
Bir A noktasının koordinatları \( (a, 5) \) ve bir B noktasının koordinatları \( (3, b) \) olarak verilmiştir. Eğer A ve B noktalarından geçen doğru x eksenine paralelse, \( a \) ve \( b \) değerleri için ne söylenebilir?
Çözüm:
X eksenine paralel doğruların temel özelliğini kullanacağız. 📌
- Kural: Bir doğru x eksenine paralelse, üzerindeki tüm noktaların y koordinatları aynıdır.
- Verilen Noktalar: A noktası \( (a, 5) \) ve B noktası \( (3, b) \).
- Uygulama: A ve B noktalarından geçen doğru x eksenine paralelse, bu iki noktanın y koordinatları eşit olmalıdır.
- Eşitlik: Bu durumda \( 5 = b \) olmalıdır.
- Diğer Bilgi: Doğrunun x eksenine paralel olması, x koordinatları hakkında doğrudan bir bilgi vermez. Bu yüzden \( a \) herhangi bir reel sayı olabilir.
Örnek 6:
Koordinat düzleminde \( y = -3x + 6 \) denklemi ile verilen doğrunun grafiğini çizelim. Bu doğruya A(1, 3) noktasından dik olan bir doğrunun denklemini bulalım.
Çözüm:
Önce verilen doğrunun eğimini bulup, sonra dik doğrunun eğimini hesaplayacağız. 💡
- Adım 1: Verilen Doğrunun Eğimini Bulma
\( y = -3x + 6 \) denklemi zaten eğim-kesen formundadır (\( y = mx + c \)). Buradaki \( m \) eğimdir. Dolayısıyla, verilen doğrunun eğimi \( m_1 = -3 \)'tür. - Adım 2: Dik Doğrunun Eğimini Bulma
Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir (\( m_1 \times m_2 = -1 \)).
\( -3 \times m_2 = -1 \)
Her iki tarafı -3'e bölersek, \( m_2 = -1 / -3 = 1/3 \) olur. Dik olan doğrunun eğimi \( 1/3 \)'tür. - Adım 3: Dik Doğrunun Denklemini Yazma
Dik olan doğru A(1, 3) noktasından geçiyor ve eğimi \( m_2 = 1/3 \). Nokta-eğim formülünü kullanalım: \( y - y_1 = m(x - x_1) \).
\( y - 3 = \frac{1}{3}(x - 1) \)
Denklemi düzenleyelim:
\( y - 3 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} \)
\( y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} + 3 \)
\( y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} + \frac{9}{3} \)
\( y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3} \)
Örnek 7:
Bir marangoz, masanın ayaklarını monte ederken iki ayağın tam olarak dik açıyla durmasını sağlamak istiyor. Eğer bir ayağın zemine olan dik mesafesi 70 cm ise ve masanın diğer ayağı zemine paralel olarak yerleştirilecekse, ikinci ayağın zemine olan dik mesafesi kaç cm olmalıdır?
Çözüm:
Bu problemde, marangozun dik ve paralel doğrular konusundaki bilgisini nasıl uyguladığını göreceğiz. 🛠️
- Verilen Bilgi: Bir masa ayağı zemine dik duruyor ve zemine olan mesafesi 70 cm.
- Diğer Bilgi: Masanın diğer ayağı zemine paralel olarak yerleştirilecek.
- Paralellik Kuralı: Zemine paralel olan doğrular, zemine aynı uzaklıkta bulunurlar.
- Mantık: Eğer bir ayağın zemine olan dik mesafesi 70 cm ise ve diğer ayak zemine paralel ise, bu ikinci ayağın zemine olan dik mesafesi de aynı olmalıdır.
- Sonuç: İkinci ayağın zemine olan dik mesafesi de 70 cm olacaktır.
Örnek 8:
Koordinat düzleminde \( y = 2x - 4 \) doğrusu ile \( y = -1/2 x + 3 \) doğrusu verilmiştir. Bu iki doğrunun kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz ve bu kesişim noktasından geçen, \( y = 2x - 4 \) doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
Bu soruda hem kesişim noktasını bulacağız hem de paralel doğru denklemi kuracağız. Zorlu ama keyifli bir problem! 💪
- Adım 1: Kesişim Noktasını Bulma
İki doğrunun kesişim noktasında, y değerleri eşittir. Bu yüzden denklemleri birbirine eşitleyebiliriz:
\( 2x - 4 = -\frac{1}{2}x + 3 \)
Şimdi x'leri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım:
\( 2x + \frac{1}{2}x = 3 + 4 \)
\( \frac{4}{2}x + \frac{1}{2}x = 7 \)
\( \frac{5}{2}x = 7 \)
x'i bulmak için her iki tarafı \( \frac{2}{5} \) ile çarparız:
\( x = 7 \times \frac{2}{5} = \frac{14}{5} \)
Şimdi x değerini denklemlerden birine (örneğin \( y = 2x - 4 \)) yerleştirerek y'yi bulalım:
\( y = 2 \times \frac{14}{5} - 4 \)
\( y = \frac{28}{5} - 4 \)
\( y = \frac{28}{5} - \frac{20}{5} \)
\( y = \frac{8}{5} \)
Kesişim noktası \( (\frac{14}{5}, \frac{8}{5}) \)'tir. - Adım 2: Paralel Doğrunun Denklemini Yazma
Paralel doğruların eğimleri eşittir. \( y = 2x - 4 \) doğrusunun eğimi 2'dir. Bu yüzden paralel olacak doğrunun eğimi de 2 olacaktır.
Paralel doğru, kesişim noktası olan \( (\frac{14}{5}, \frac{8}{5}) \)'ten geçmektedir.
Nokta-eğim formülünü kullanalım: \( y - y_1 = m(x - x_1) \).
\( y - \frac{8}{5} = 2(x - \frac{14}{5}) \)
Denklemi düzenleyelim:
\( y - \frac{8}{5} = 2x - \frac{28}{5} \)
\( y = 2x - \frac{28}{5} + \frac{8}{5} \)
\( y = 2x - \frac{20}{5} \)
\( y = 2x - 4 \)
Örnek 9:
Birbirine paralel olan iki tren rayı düşünelim. Bir rayın başlangıç noktasından diğer rayın başlangıç noktasına doğru düz bir köprü yapılıyor. Bu köprü, raylara dik olarak inşa edildiğinde, köprünün bir ray üzerindeki uzunluğu ile diğer ray üzerindeki uzunluğu arasında nasıl bir ilişki olur?
Çözüm:
Rayların ve köprünün konumlarını ve aralarındaki ilişkiyi düşünelim. 🛤️
- Verilen: İki tren rayı birbirine paraleldir.
- Yapılan: Raylara dik olarak bir köprü yapılıyor.
- Paralel Doğruların Özelliği: Paralel doğrular arasındaki en kısa mesafe, her zaman sabittir. Bu en kısa mesafe, doğrulara dik olan bir doğru parçası ile ölçülür.
- Köprünün Rolü: Köprü, raylara dik olduğu için, raylar arasındaki bu sabit mesafeyi temsil eder.
- Sonuç: Köprünün bir ray üzerindeki uzunluğu ile diğer ray üzerindeki uzunluğu aynı olacaktır. Çünkü köprü, paralel raylar arasındaki mesafeyi ölçmektedir ve bu mesafe sabittir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/5-sinif-matematik-paralel-ve-dik-dogrular/sorular