Kesirli Sayılar Ders Notu

Kesirli sayılar, bir bütünün eş parçalara ayrılması ve bu parçalardan bir kısmının alınması durumunu ifade eden sayılardır. Günlük hayatta sıkça kullandığımız yarım ekmek, çeyrek pasta gibi ifadeler aslında birer kesirli sayıdır.

Kesir Nedir? 🤔

Bir bütünün eş parçalara ayrıldığını ve bu parçalardan kaçının alındığını gösteren sayılara kesir denir. Kesirler üç ana bölümden oluşur:

• Pay: Kesir çizgisinin üstünde yer alır. Bütünden kaç parça alındığını gösterir.
• Payda: Kesir çizgisinin altında yer alır. Bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösterir. Payda sıfır olamaz.
• Kesir Çizgisi: Pay ile paydayı birbirinden ayıran çizgidir. Aynı zamanda bölme işlemini ifade eder.

Örneğin, bir pizzayı 4 eş parçaya ayırıp 1 parçasını aldığımızda bunu \( \frac{1}{4} \) şeklinde gösteririz. Burada 1 pay, 4 payda ve aradaki çizgi kesir çizgisidir.

Kesirler, birim kesirlerden oluşur. Birim kesir, payı 1 olan kesirdir. Örneğin \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{5} \), \( \frac{1}{10} \) birim kesirlerdir.

Kesir Çeşitleri 📚

Kesirleri, pay ve paydaları arasındaki ilişkiye göre üç çeşide ayırabiliriz:

1. Basit Kesirler

Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Basit kesirler, bir bütünden daha az bir miktarı ifade eder ve sayı doğrusunda 0 ile 1 arasındadır.

• Örnekler: \( \frac{2}{3} \), \( \frac{1}{4} \), \( \frac{5}{8} \)

2. Bileşik Kesirler

Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan kesirlere bileşik kesir denir. Bileşik kesirler, bir bütüne eşit veya bir bütünden daha fazla bir miktarı ifade eder.

• Örnekler: \( \frac{5}{5} \), \( \frac{7}{4} \), \( \frac{10}{3} \)

3. Tam Sayılı Kesirler

Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlere tam sayılı kesir denir. Bileşik kesirler tam sayılı kesre, tam sayılı kesirler de bileşik kesre dönüştürülebilir.

• Örnekler: \( 1\frac{1}{2} \), \( 3\frac{2}{5} \), \( 2\frac{1}{4} \)

Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme

Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek için; tam sayı ile paydayı çarpar, çıkan sonuca payı ekler ve paydayı aynı bırakırız.

Örnek: \( 2\frac{1}{3} \) kesrini bileşik kesre çevirelim.

\[ 2\frac{1}{3} = \frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3} \]

Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme

Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirmek için; payı paydaya böleriz. Bölüm tam kısım, kalan pay, bölen ise payda olur.

Örnek: \( \frac{9}{4} \) kesrini tam sayılı kesre çevirelim.

9'u 4'e böldüğümüzde bölüm 2, kalan 1 olur. Payda ise 4 olarak kalır.

\[ \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} \]

Kesirleri Sayı Doğrusunda Gösterme 📏

Kesirleri sayı doğrusunda göstermek için, önce kesrin hangi iki tam sayı arasında olduğunu belirleriz. Ardından bu tam sayılar arasını payda kadar eş parçaya böler ve pay kadar ilerleriz.

• Basit kesirler: Her zaman 0 ile 1 arasındadır.
• Bileşik/Tam sayılı kesirler: 1'e eşit veya 1'den büyüktür. Önce tam kısım belirlenir.

Örnek: \( \frac{3}{5} \) kesrini sayı doğrusunda gösterelim. 0 ile 1 arasını 5 eş parçaya böler ve 3. parçayı işaretleriz.

Örnek: \( 1\frac{2}{3} \) (veya \( \frac{5}{3} \)) kesrini sayı doğrusunda gösterelim. 1 ile 2 arasını 3 eş parçaya böler ve 1'den sonra 2. parçayı işaretleriz.

Denk Kesirler ✨

Değeri aynı olan kesirlere denk kesirler denir. Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayma sayısı ile çarpmak veya bölmek kesrin değerini değiştirmez, bu işlemlere genişletme ve sadeleştirme denir.

1. Kesirleri Genişletme

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayma sayısı ile çarpmaya genişletme denir. Genişletme işlemi kesrin değerini değiştirmez, sadece gösterimini farklılaştırır.

Örnek: \( \frac{1}{2} \) kesrini 3 ile genişletelim.

\[ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \]

Yani \( \frac{1}{2} \) ile \( \frac{3}{6} \) denk kesirlerdir.

2. Kesirleri Sadeleştirme

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayma sayısı ile bölmeye sadeleştirme denir. Sadeleştirme işlemi kesrin değerini değiştirmez. Bir kesir en sade haline gelene kadar sadeleştirilebilir.

Örnek: \( \frac{4}{8} \) kesrini 4 ile sadeleştirelim.

\[ \frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} \]

Yani \( \frac{4}{8} \) ile \( \frac{1}{2} \) denk kesirlerdir.

Kesirleri Karşılaştırma ve Sıralama 📊

Kesirleri karşılaştırırken veya sıralarken bazı kuralları takip ederiz:

1. Paydaları Eşit Kesirleri Karşılaştırma

Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{3}{5} \) ve \( \frac{2}{5} \) kesirlerini karşılaştıralım. Paydalar eşit (5). Paylar 3 ve 2. \( 3 > 2 \) olduğu için \( \frac{3}{5} > \frac{2}{5} \) olur.

2. Payları Eşit Kesirleri Karşılaştırma

Payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{1}{4} \) ve \( \frac{1}{2} \) kesirlerini karşılaştıralım. Paylar eşit (1). Paydalar 4 ve 2. \( 2 < 4 \) olduğu için \( \frac{1}{2} > \frac{1}{4} \) olur.

3. Pay ve Paydaları Farklı Kesirleri Karşılaştırma

Pay ve paydaları farklı olan kesirleri karşılaştırırken, önce kesirleri genişleterek veya sadeleştirerek paydalarını eşitleriz. Sonra paydaları eşit kesirleri karşılaştırma kuralını uygularız.

Örnek: \( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{2}{6} \) kesirlerini karşılaştıralım.

\( \frac{1}{3} \) kesrini 2 ile genişletirsek \( \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \) olur. Görüldüğü gibi \( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{2}{6} \) denk kesirlerdir, yani \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \).

Bir Bütünün Kesir Kadarını Bulma 🍎

Bir çokluğun (bütünün) belirtilen kesir kadarını bulmak için, o çokluğu paydaya böler ve çıkan sonucu pay ile çarparız.

Örnek: 20 elmanın \( \frac{3}{4} \)'ü kaç elma eder?

Önce 20'yi paydaya (4'e) böleriz: \( 20 \div 4 = 5 \). Bu, bir birim kesir (\( \frac{1}{4} \)) değeridir.

Sonra çıkan sonucu pay (3) ile çarparız: \( 5 \times 3 = 15 \).

Yani 20 elmanın \( \frac{3}{4} \)'ü 15 elma eder.

Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri ➕➖

Kesirlerle toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir.

1. Paydaları Eşit Kesirlerle Toplama ve Çıkarma

Paydaları eşit olan kesirleri toplarken veya çıkarırken, paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.

Örnek (Toplama): \( \frac{2}{7} + \frac{3}{7} \)

\[ \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7} \]

Örnek (Çıkarma): \( \frac{5}{9} - \frac{1}{9} \)

\[ \frac{5}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5-1}{9} = \frac{4}{9} \]

2. Paydaları Farklı Kesirlerle Toplama ve Çıkarma

Paydaları farklı olan kesirleri toplarken veya çıkarırken, önce kesirleri genişleterek veya sadeleştirerek paydalarını eşitleriz. Daha sonra paydaları eşit kesirlerle toplama veya çıkarma işlemini yaparız.

Örnek (Toplama): \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \)

Paydaları eşitlemek için \( \frac{1}{2} \) kesrini 2 ile genişletiriz:

\[ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} \]

Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:

\[ \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4} \]

Örnek (Çıkarma): \( \frac{2}{3} - \frac{1}{6} \)

Paydaları eşitlemek için \( \frac{2}{3} \) kesrini 2 ile genişletiriz:

\[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \]

Şimdi çıkarma işlemini yapabiliriz:

\[ \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6} \]

Bu kesri en sade haliyle yazmak için 3 ile sadeleştirebiliriz:

\[ \frac{3}{6} = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2} \]